几何画板实例教程

例1、作出长方形绕其一边旋转成圆柱体的过程。

1、用自定义工具画一个椭圆(中心为O) ，在椭圆上任取一点A ；

2、选中点O 和A ，将它们向下平移适当的距离，得到点O’和A’，画出四边形内部，连结AA’，并跟踪AA’；

3、作点A 在椭圆上的动画，并隐藏椭圆，点击动画按纽以，观看效果。 例2、从正方体上切下一个小三棱锥

1、如图，作一个正方体，点A 、B 、C 是图中正方体上三边上的任三个点； 2、任作一点S’，让S’点分别按标记向量SA 、SB 、SC 平移得到点A’，B’，C’ ； 3、在点C’的旁边画一点M ，分别作点C’向点C 、点C’向点M 移动的动画按纽； 4、用不同颜色标出立体图形的侧面，隐藏多余的图形。

例3、作正六边形在平面内的投影

1、如图，点O 为旋转中心，点A 旋转60度生成点B ，点B 旋转60度生成点C ，……；作正六边形A BCDEF 的内部，任选一点M ，连结DM 、BM ，作直线AB ；

2、在正六边形内部（边沿）选一点N ，过N 分别作NN’垂直直线AB 于点N’，NP 平行于DM ，过N’作N’P平行于BM ，BM 交NP 于点P ； 3、选中点N 和点P ，点击轨迹命令，

隐藏多余的图形，拖动点M 可改变投影的形状。 例4、作一个旋转的正方体

1、作线段a 、b, 选中a 、b 标记线段比;

2、作圆O ，作一条经过点O 的直线l, 在圆O 上取一点A ，让它以O 为中心旋转90度得A’； 3、作AC 垂直直线l 于点C ，标记点C ，，让点A 按标记比缩放得点B ，同理将点A’缩放得到点D ，作点A 在圆O 上和动画，隐藏多余的图形；

4、让点B 和D 绕点O 旋转180度得点E 和F ，作四边形BDEF ，让四边形BDEF 向上平移适当距离，连结对应顶点。

例5、作一个有虚线效果旋转的长方体作法：

1、画点O 、点A ，双击点O ，将点A 绕点O 旋转900, 得点B ；将点B 绕点O 旋转900, 得点C ；将点C 绕点O 旋转900, 得点D ，拖动点B ，使A 、B 两点水平放置，分别构造 2、以O 为圆心画一个大圆，作大圆的半径OP ，交

、

、

、, 和纵坐标

；，

于点E ，度量点E 的横坐标

计算, 画点E’（

, ）；选中点E 和E’，创建新工具＃1；

3、让E 绕点O 旋转900得点F ，选取新工具＃1，点击点F 得点F’；将点E’和F’绕点O 旋转1800得点E’’和F’’，作出四边形E’F’E’’F’’；

4、让四边形E’F’E’’F’’在垂直方向上平移7cm, 连结对应顶点得长方体，将图中的三条棱变为虚线； 5、当OP 转到完成作图。

6、选中点P ，创建动画按纽，并隐藏多余的图形。

、

、

时，前面的图形随交点的消失而消失，分别重复前面的作图过程

例6、作一个滚动的车轮

1、以O 为圆心，线段r 为半径作圆O ，作线段AE ，在AE 上取一点B ，在圆O 上取一点M ，度量线段

r 的长和A 、B 两点间的距离，计算的值并标记这个角度，让点M 按标记角绕点O 旋转得点M ；

2、新建参数t1, 取一点P ，让点P 绕点O 旋转20度得点P’，连结OP 、OP’，选中点P 和参数t1，按住Shift 健，点击带参数的迭代，完成后选中参数，用小健盘上的“+”或“-”健调整迭代次数，生成车轮的轴，选取点P 和点M’，在编辑莱单中点击合并点命令，作点B 在线段AE 上的动画，合并点O 和点B ，追踪点M 。

例7、圆化直线

?

??????????????????? 1、画线段AB ，作AB 的中点C ，度量AB

的长度，计算半径r=O ；

, 将点C 向上移动r 得点O ，以点O 为圆心，r 长为半径画圆

2、作直径为DE 的半圆F ，在DE 上取一点G ，作DH 垂直DE 交半径于点H ，度量∠EFH ，计算—∠E

FH 和r’=;

3、将点C 向上平移r’得点C’；以C’为旋转中心，分别将点C 旋转∠EFH 和—∠EFH 得点M 和N ，作

以C’为圆心的弧MCN ，拖动点G 观看效果。 例8、作长度为15cm 的线段的n 等分点

1、新建参数名称为总长度，值为15cm ；作线段AB ，在AB 上取一点C ，分别度量A 、C 和A 、B 两点

间的距离，计算AB 与AC 的比值，计算trunc(和每一分的长度；

) （等分数）、迭代次数trunc()-1（迭代次数）

2、作一点D ，让点D 沿水平方向平移一份的长度得点D’，选中点D 和D’，让它们向上平移1.5cm, 连结点D 、D’和它平移后生成的点，找出中点后作两个小圆（如上图）；

3、选中点D 和trunc()-1，按住Shift 健，点击带参数的迭代。

选中点C ，将复制的图片粘贴在点C 作为控制按纽。

例9、周长为定值的长方形边长与面积的关系

1、作线段AE ，在AE 上取一点B ，让点E 以点B 为旋转中心旋转- 90度得点C ，让点C 按标记向量B A 平移得点D ，作长方形ABCD ；

2、度量AB 、AD 的长度，计算长方形ABCD 的周长和面积；

3、建立平面直角坐标系，以AB 和面积的长度为横坐标和纵坐横画点P ，并跟踪点P ，拖动点B ，观察边长AB 和面积的关系。

例10、一个半径为R 的定圆和一个半径为r=迹。

的小圆相内切，当小圆滚动时，画出小圆上一定点的轨

1、画定长为R 的⊙O, 在⊙O 上取两点A 、B ，作弧AB ，并度量弧AB 的度数；

2、新建一个参数n=4,计算和, 双击点B ，将点O 按缩放比缩放得点O’，以O’为圆心，

OO’为半径画圆；双击点O’，让点B 绕点O’旋转

选中参数n, 可用小健盘上的加号和减号控制参数的大小。 例11、圆的面积公式推导

得点B’，选择点B 和点B’，点击轨迹命令。

1、以O 为圆心，R 长为半径作⊙O ，度量R 的长度，计算-R ；新建参数n （目的是将圆2n 等分）, 计算

n-1、、、-；

2、双击点O ，在⊙O 上取一点A ，让点A

旋转得点A’、让A’’

旋转得A’’，作弧AA’，

并构造扇形内部，颜色为红色，让红色的扇形内部旋转，将旋转出的扇形内部颜色变为黄色；

3、选中点A 和n-1, 按住Shift 健进行带参数的迭代，弹出对话框后点击点A’’后点击迭代按纽，便可将⊙O 四等分。

4、作一点C ，让它向上平移R 得点C’，双击点C ，让点C’绕点C 分别旋转和-得点C’’

和点C’’’，作黄色扇形CC’’C’’’；选中点C 和n-1，进行带参数的迭代；同理作出红色的扇形； 5、作一点H ，作点G’到点C’’的移动动画，并将按纽命名为拼图；作点G 到点H 的移动动画，并将按纽命名为还原。

调整n 的大小，观察图形随着n 的增大发生的变化。 例12、神奇的勾股树

1、作线段AB ，让点B 绕点A 旋转90度，得点B’，让点A 绕点B’旋转90度得点A’，作正方形ABA’B’，选中正方形创建新工具“正方形”；

2、作A’B’的中点D ，以D 为圆心，DA’长为半径作半圆，在半径上任选一点E ，用正方形工具作正方形B’EB’’E’和正方形EA’E’’A’’；

3、新建参数t1、t2、t3、t4, 分别用t1、t2、t3叁个参数控制三个正方形内部有颜色，隐藏半圆，选中A 、B 和参数t4进行带参数的迭代，生成一个彩色图形；

4、同时选中t1、t2、t3、t4和点E ，点击动画命令，在弹出的对话框中设置动动的速度与参数的取值范围后，点击确定，生成动画按纽。

例13、作两圆的外公切线

作法：

1、如图，作⊙O 和⊙O ’，度量两圆的半径R 、r, 计算R+r的值，选中点O 和R+r,构造以O 为圆心，R+r为半径的圆C2；

2、连结OO’，以OO’为直径作圆C3, 交圆C2于点A ，连结OA 交圆C1于点B ，连O’A，标记向量AB ，让O’A按标记向量平移得两圆的内公切线BC 。 例14、文字动画效果

1、如图，画一条线段，在线段上任取一点，用文本工具给这一点加上标签，将标签改为圆的认识； 2、用圆规工具画一个圆并构造圆内部，新建一个参数t1控制圆内部的颜色，将圆放在适当的位置，并调整圆的大小；

3、选中参数和直线上标签为圆的认识的点作动画, 点击参数选项将背景颜色设置成与字体样的颜色。 例15、抛物线的翻转

1、绘制点A （-3，0）、B （3，0），以O 为圆心，OA 长为半径画半圆，画线段OB ，在线段OB 上取一

点E ，度量点O 、B 、E 的横坐标，并计算xE2和H ，点击轨迹命令；

, 绘制点G （xO, xE2）、H （xE 、xE2），选中点E 、

2、作线段AB ，在线段AB 上取一点C ，过点C 作x 轴的垂线交半圆于点D ，双击点C ，让点D 按1/2进

行缩放得点F ；双击点O ，让点F 按选中点E 、G’，点击轨迹命令。 拖动点C ，观看翻转效果。 例16、三角形的翻转

进行缩放得点F’,标记向量OF’，让点G 按标记向量平移至点G’，

1、如图，用点工具画三点A 、E 、F ，作ΔAEF的内部，度量点D 的横坐标与纵坐标，过点A 作x 轴的垂线，垂足为G ，隐藏直线，让点G 绕点O 旋转180度得点G’，分别选中点OG’G作半圆；

2、新建参数t1=0.25，度量点G 、O

的横坐纵，计算, 作线段G’G，并在线段G’G上取一点H ，过H 作

x 轴的垂线交半圆于点I ，双击点H ，让点按t1=0.25进行缩放得点I’；双击点O ，让点I’按进行缩放

得点I’’，标记向量OI’’；作点M （xO,yD ）, 让点D 按标记向量OI’’平移至点M’，选中点D 与M’，点击轨迹命令。

数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换。下面介绍的变换菜单。

“变换”菜单中的命令项是否可用，取决于工作区中选中的对象是否符合使用该菜单项的前提条件。对于“旋转”、“缩放”，要基于一个标记中心，对于“反射”，要先“标记镜面”。如果要按可变的量进行变换，还要标记相关的量。

第一节 按“固定的角度”或按“标记的角度”旋转对象

如图，画ΔBCD，在作图板上任意画一点A ，选中点A ，在变换莱单中点击“标记中心命令”（或双击点A ），选择要旋转的ΔBCD，在变换莱单中点击“旋转”命令，在弹出的对话框中设置旋转角度后，点击旋转按纽。 如果想让三角形按一个标记的角∠LMN 旋转，分别选取点L 、M 、N 后（第二个点为角的顶点），选择“标记角度”命令，此时三角形便可按标记角度进行旋转。

试一试：分别选取点N 、M 、L ，再标记向量，三角形的旋转情况有什么不同；拖动点L ，并观察旋转后的图形变化。

第二节 平移或按“标记向量”平移对象

通过平移能够准确作出几何图形，平移的方法有两种，一种是在直角坐标系（或极坐标系）中平移，另一种是按标记向量平移。

例1、画一个边长分别为6cm 和4cm, 邻边所夹锐角为60度的平行四边形。

选取一点A ，在“变换莱单”中选择“平移”命令，在弹出对话框中选择直角坐标系，水平方向设置为6cm, 垂直方向设置为0cm ，按下平移按纽，得到点B ；同时选取A 、B 两点，选择“平移”，在弹出对话框中选择极坐标系，固定距离设置为4cm, 固定角度设置为60度，得到点C 、D ，连结A 、B 、C 、D 得到平行四边ABCD 。

例2、用标记向量的方法，画一个三角形和已知三角形△ABC 全等

如图，在绘图板中画一个点D ，分别选取点A 、点B ，标记向量AB ，选中点D ，点击变换莱单中的平移命令，在弹出的对话框后，单击平移按纽得到D’;同理标记向量BC ，选取点D’，让它按向量BC 平移后得到点D’’，连结D 、D’、D’’,ΔDD’D’’?????? ≌ΔABC。

例3、作一个相邻三条棱都可以改变的平行六面体

1、作线段AB 、AC 、AD ；

2、标记向量AB ，选中线段AC 、AD 及其顶点，让它们按移，连结DD’；

AC ，选中四边形ABD’D及其顶点，让它按标记向量平移，连结对应顶点。 第三节、按“固定比例”或按“标记比例”缩放对象 例3、画一条线段的三等分点。

画线段AB ，选中点A 并标记为缩放中心，选中点B 后，单击变换莱单中的缩放命令，在弹出的对话框中将缩放参数设为1：3，得到第一个三等分点，再次选取点B ，单击变换莱单中的缩放命令，在弹出的对话框中将缩放参数设为2：3，得到第二个三等分点。 例4、画一个三棱台

标记向量平3、标记向量

? 1、画ΔABC和点O ，双击点A ；

2、选中ΔABC，点击缩放命令，按缩放比为1：3缩放，得ΔA’B’C’；

3、连结AA’、BB’、CC’

例5、构造并标记一个比例因子，让已知五角形按标记比进行缩放。

画线段AB ，在AB 上画一点C ，分别度量出A 、C 与A 、B 两点间的距离，再用度量莱单中的计算器，计算出AC 与AB 的比值，选取这一比值将它标记为标记比，双击缩放中心O ，选中单击变换莱单中的缩放命令，便可得到一个按标记比进行缩放的五角星。拖动点C ，观察图形变化。

第四节 称图形

用反射变换作轴对如图，画线段AB ，并将它标记为镜面，按住Shift 健，用点工具画出人脸形状，

选中人脸，点击反射命令，便出现了一个完整的人脸。

第五节 “迭代”与“带参数的迭代”

用旋转变换不难画出正多边形，如要画正十边型，得让一点绕圆心旋转变换9次，而“迭代”为我们提供了简便快捷的作图方法。 例1、画雪花曲线

1、画线段AB 及AB 的三等分点B’、B’’，让点B’’绕点B’旋转60度，得到B’’’，隐藏线段AB ，连结A B’、 B’ B’’’、 B’’’ B’’、 B’’ B

2、选取A 、B 两点，在构造莱单栏中点击迭代，弹出如图对话框，用鼠标分别选取A 、B’两点后，在结构莱单点击添加新的映射，再用鼠标分别选取B’、B’’’两点，用同样的方法再增加两个映射。 3、在显示莱单中选择迭代次数和最终迭代，按迭代按纽。

隐藏线段A B’、 B’ B’’’、 B’’’ B’’、 B’’ B及图中的点，得到下图。

例2、正n 边形的画法

我们知道参数可以控制颜色变化，本例中我们要用参数来控制迭代次数。

1、在图表莱单中点击新建参数，将将弹出对话框名称改为n, 值设置为3，点击确定。

2、计算360o/n和n-1(计算n-1时，打开计算器，用鼠标单击参数n,n 便写入计算器中) ；3、画点O 和点B ，让B 点围绕点O 旋转360o/n得B’，连接BB’。

4、选定B 点和n-1，按住Shift 健，单击 “变换菜单”

中“带参数的迭代”，出现上面对话框 5、单击 B’，对话框变为下图后，单击迭代按纽完成作图。 6、选定参数n ，按小键盘上的“＋”或“－”

键，可改变n 的值，从而改变多边形的边数，即得到正n 边形。

例3、六瓣花的绘制

1、作半径为R 的圆A ，在圆A 上任取一点B ，双击点A ，让点B 分别绕点A 旋转60度和-60度得点C 和点D ；

2、分别选取点D 、B 、A 点击圆上的弧命令，并作出弓形内部；分别选取点C 、A 、B 点击圆上的弧命令，并作出弓形内部；

3、选中点B ，点击迭代命令，弹出对话框后，用鼠标点击点C ，将迭代次数设为5，点击确定。 例4、作一个底面是正n 边形的棱柱

1、新建参数n=3,计算n-1和CD 、DE 和点F ，连结EF ；

, 画点O 并双击点O ，画点A ，让它绕点O 旋转得点A’，作线段

2、作AG ⊥CD 于点G ，过点A 作EF 的平行线，过点G 作DE 的平行线，两直线相交于点H ，同理得点A ’的对应点I ，隐藏多余的图形，使图中只剩下点O 、A 、A’、H 、I ；

3、作线段LM 并标记向量LM ，连结HI ，选中点H 、I 让它们按标记向量平移得H’和I’，作四边形H I I’H’；

4、选中点A 及n-1，按住Shift 健，点击带参数的迭代，弹出对话框后，用鼠标点击点A’后，点击迭代按纽。

隐藏多余的图形，选中参数n, 用小健盘上的“+”和“－”健可调整参数的大小，拖动点M ，可改变棱柱的方向。

例5、作出表示无理数的线段：

、

、

、

、

……

1、新建参数R=1cm,n=1,画线段AB ，以A 为圆心，R 为半径画圆A ； 2、作AC ⊥AB 交圆A 于点C ，隐藏直线，连结AC 、BC ；隐藏圆A ；

3、选中点A 和参数n, 按住Shift 健，点击带参数的迭代，弹出对话框，鼠标点击点C 后，点击迭代按纽； 4、让点A 的水平方向上平移1cm 得点A’，选中点A’和点B ，点击合并点命令； 改变参数n 的大小，生成图形中的直角三角形的斜边分别为

、

、

、

、

、

……

例6、作Sierpinski 三角形（分形图）

1、新建参数n, 作线段AB ，双击点A ，让点B 绕点A 旋转60度得点C ，连结AC 、BC ； 2、选中AB 、BC 、AC ，点击中点命令, 生成D 、E 、F 三点，作ΔDEF的内部；

3、选中A 、B 两点和参数n ，进行带参数的迭代，弹出对话框后，分别点击A 、D 两点，再增加两个映射，分别点击E 、F 和D 、B 两点，点击迭代按纽。 改变n 的值，得到不同的Sierpinski 三角形。 作业：

1、用平移的方法制做一个长方体。

2、用“迭代”命令制作一个正n 边形。