绝对值.方程与不等式
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即
⎧a , a >0, ⎪|a |=⎨0, a =0,
⎪-a , a
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:a -b 表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 绝对值的基本性质:①a ≥0;②a 2=a 2=a 2;③ab =a ⋅b ;④a
b =a (b ≠0) ; b
⑤a +b ≤a +b ;⑥a -b ≥a -b
分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐类讨论;④归纳总结
例题:1、当x =x +2时,求19x +3x +27的值
2、解方程x +5-3x -7=1
3、解不等式-
4、解不等式:x -+x -3>4.
练习
1、若x -2+(x -y +3) =0,那么(x +y ) =
2、填空:
(1)若x =5,则x =_________;若x =-4,则x =_________.
(2)如果a +b =5,且a =-1,则b =________;若-c =2,则c =________.
3、化简:x -5-2x -(x >5) .
4、解方程x +1-1=3x
2243x -5>3 4
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-b c ,x 1·x 2=.这一关系也被称为韦达定a a
理.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x 2+px +q =0,若x 1,x 2是其两根,由韦达定理可知
x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q , 即 p =-(x 1+x 2) ,q =x 1·x 2,
1、 已知方程5x +kx -6=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.
2、已知关于x 的方程x 2+2(m -2) x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值.
3、已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
4、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根.
(1)求| x1-x 2|的值;
(2)求211的值; +22x 1x 2
(3)x 13+x 23.
5、若关于x 的一元二次方程x 2-x +a -4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a 的取值范围.
练习
1、填空:
(1)若方程x 2-3x -1=0的两根分别是x 1和x 2,则11+=. x 1x 2
(2)方程mx 2+x -2m =0(m ≠0)的根的情况是 .
(3)以-3和1为根的一元二次方程是 .
2
|b -1|=0,当k 取何值时,方程kx 2+ax +b =0有两个不相等的实数根?
23、已知方程x -3x -1=0的两根为x 1和x 2,求(x 1-3)( x2-3) 的值.
1、已知x =5,y =1,求x -y 的值。
2、解不等式3x -5≤4
3、解方程x +3-x -=1+x
4、设x 1,x 2是方程3x -2x -4=0的两根,不解方程,求下列各式的值:
①
5、已知一元二次方程3x +mx +n =0的两根分别是m ,n ,求m ,n 的值。
6、已知关于x 的方程2x 2-(4m -3) x +m 2-2=0,根据下列条件,分别求出m 的值:①两根互为相反数;②两根互为倒数;③有一根为零;④有一根为1。
7、已知是关于x 的方程x -kx +22x x 1133;②2+1;③(x 1-x 2) 2;④ x 1。 ++x 2x 1x 2x 1x 2211k (k +4) =0的两个实根,k 取什么值时,(x 1-2)(x 2-2) =9。 44
28、当k 为何值时,一元二次方程2(k -3) x +4kx +3k +6=0的两实根的绝对值相等,求出与k 值相应
的实数根。