集合与函数测试题
2010—2011学年度上学期高三一轮复习
数学文单元验收试题(2)【新人教】
命题范围:基本初等函数
全卷满分150分,用时150分钟。
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代
号填在题后的括号内(每小题5分,共60分)。
1.下列函数中,值域为(0,+∞) 的是
1
2-x
( )
A .y =5
B .y =() 1-x
1
1
13
C .y =
1
() x -1 D .y =-2x 2
( )
-1
2.已知a +=7,则a 2+a 2=
a
A .3 B .9 C .–3 D .±3 3.已知函数f (x ) =log a (x +1), 若f (a ) =1, 则a =
A .0
B .1
C .2
D .3
( )
4.如图,给出幂函数y =x n 在第一象限内的图象,n 取±2, ±
1
四个值,则相应于曲线2
( )
C 1, C 2, C 3, C 4的n 依次为
1111
A .-2, -, ,2 B .2, , -, -2
22221111
C .-, -2,2, D .2, , -2, -
2222
5. 函数y =log 2x 的图象大致是
6.f (x ) =log 2(3+1) 的值域为
A .(0,+∞)
B .[0, +∞)
ax
x
( )
C .(1,+∞)
D .[1, +∞)
( )
7.当a ≠0时,函数y =ax +b 和y =b 的图象只可能是
( )
8.函数y =
x 2+2x -24的单调递减区间是
B .[-6, +∞)
( )
A .(-∞, -6] C .(-∞, -1] D .[-1, +∞)
9.某人2007年7月1日到银行存入a 元,若年利率为p, 按复利计算,则到2010年7月1日本息共 ( )
A .a (1+p )
33
B .a +p D .a (1+p )
( )
3
3
C .a +a (1+p )
10.已知函数f (x ) =|lg x |. 若a ≠b , 且f (a ) =f (b ) ,则a +b 的取值范围是
A .(1, +∞) C .(2, +∞)
B .[1, +∞) D .[2, +∞)
11.设a >1,实数x , y 满足f (x ) =a ,则函数f (x ) 的图象形状大致是
图4
x
( )
e x -e -x
12.已知f (x ) =,则下列正确的是
2
( )
A .奇函数,在R 上为增函数 B .偶函数,在R 上为增函数 C .奇函数,在R 上为减函数 D .偶函数,在R 上为减函数 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24
分)。 13.幂函数f(x)的图象过点,则f(x)的解析式是14.计算
⎛b ⎫⎪. ÷ 1-2 24a ⎪a +2ab +4a ⎝⎭
a 4-8ab
15.函数f (x ) =log 3(x +3) 的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 16.下列几个命题
①方程x +(a -3) x +a =0的有一个正实根,一个负实根,则a
;
②函数y =
2
③函数f (x ) 的值域是[-2,2],则函数f (x +1) 的值域为[-3,1];
④ 设函数y =f (x ) 定义域为R ,则函数y =f (1-x ) 与y =f (x -1) 的图象关于y 轴对
称;
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。 17.(12分)求函数y =log 3(2x -5x -3) 的单调区间。
2
18.(12分)(1)已知f (x ) =
x
2
+m 是奇函数,求常数m 的值; x
3-1
(2)画出函数y =|3-1|的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程|3x -1|=k 无解?
有一解?有两解?
19.(12分)下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.
(1)y =x ;(2)y =x ;(3)y =x ;(4)y =x -2;(5)y =x -3;(6)y =x .
1
-2
321323
(A ) (B ) (C ) (D ) (E ) (F ) 图5
a x -1
20.(12分)已知函数f (x ) =x (a >1).
a +1
(1)判断函数f (x ) 的奇偶性; (2)求f (x ) 的值域;
(3)证明f (x ) 在(-∞,+∞) 上是增函数.
21.(12分)设函数f (x ) =log 2(4x ) ⋅log 2(2x ), (1)若t=log2x , 求t 取值范围; (3分)
1
≤x ≤4, 4
(2)求f (x ) 的最值,并给出最值时对应的x 的值。
22.(14分)已知函数f (x ) =log a
(1)求实数m 的值;
(2)判断函数f (x ) 在(1,+∞) 上的单调性,并给出证明;
(3)当x ∈(n , a -2) 时,函数f (x ) 的值域是(1,+∞) ,求实数a 与n 的值; (4)令函数g (x )=-ax +8(x -1)a
2
f (x )
1-mx
(a >0, a ≠1, m ≠1) 是奇函数. x -1
-5,a ≥8时,存在最大实数t ,使得x ∈(1, t ]
-5≤g (x )≤5恒成立,请写出t 与a 的关系式。
参考答案
一、BABACA AAACDA 13.f (x ) =x (x ≥0) 14.a 15.(0,-2) 16.①⑤
17.解:由2x -5x -3>0得x 3,
2
3
43
12
524912
令u=2x -5x -3, 因为 u=2(x -) -在(-∞, -上单调递减,
482
2
在(3,+∞) 上单调递增
因为y =log 3u 为减函数,所以函数y =log 3(2x -5x -3) 的单调递增区间为(3,+∞) ,单调递减区间为(-∞, -) 。
2
1
2
18.解:解:(1)常数m =1
(2)当k
交点, 即方程无解;
x
y =|3-1|的图象有≥当k =0或k 1时, 直线y =k 与函数
x
唯一的交点,所以方程有一解;
当0
x
不同交点,所以方程有两解。
19.解:六个幂函数的定义域,奇偶性,单调性如下: (1)y =x =数;
32
x 3定义域[0,+∞) ,既不是奇函数也不是偶函数,在[0,+∞) 是增函
(2)y =x =x 定义域为R ,是奇函数,在[0, +∞) 是增函数;(3)y =x =x 2定义域为R ,是偶函数,在[0, +∞) 是增函数;
2
313
(4)y =x -2=(5)y =x -3(6)y =x
-12
1
定义域R +UR -是偶函数,在(0, +∞) 是减函数;2x 1
=3定义域R +UR -是奇函数,在(0, +∞) 是减函数;x =1x
定义域为R +既不是奇函数也不是偶函数,在(0, +∞)
上减函数.
通过上面分析,可以得出(1)(A ),(2)(F ),(3)(E ),(4)(C ),(5)(D ),(6)(B ).
20.解:(1)是奇函数.(2)值域为(-1,1).(3)设x 1<x 2,
x 1x 2x 1x 2
a x 1-1a x 2-1(a -1)(a +1) -(a +1)(a -1) 则f (x 1) -f (x 2) =x 。=-
a 1+1a x 2+1(a x 1+1)(a x 2+1)
∵a >1,x 1<x 2,∴a <a
x 1x 2
. 又∵a +1>0,a
x 1x 2
+1>0,
∴f (x 1) -f (x 2) <0,即f (x 1) <f (x 2). 函数f(x)在(-∞,+∞) 上是增函数.
21.解:(1) t =log 2x ,
1
≤x ≤4 4
∴log 2
1
≤t ≤log 24 4
即-2≤t ≤2
(2)f (x )=log 2x +3log 2x +2
2
1⎛3⎫
∴令t =log 2x ,则,y =t 2+3t +2= t +⎪-
4⎝2⎭
2
331
∴当t =-即log 2x =-, x =22时,f (x )min =-
224
当t =2即x =4时, f (x )m ax =12
-3
22.解:(1)由已知条件得f (-x ) +f (x ) =0对定义域中的x 均成立.
mx +11-mx +log a =0. -x -1x -1mx +11-mx 即⋅=1 ∴m 2x 2-1=x 2-1对定义域中的x 均成立. -x -1x -1
∴log a
∴m =1 即m =1(舍去)或m =-1. ∴ m =-1.
2
(2)由(1)得f (x ) =log a
x +1
, x -1
x +1x -1+22设t =, ==1+
x -1x -1x -1
∴当x 1>x 2>1时,t 1-t 2=
2(x 2-x 1) 22
-= ∴t 1
当a >1时,log a t 11时,f (x ) 在(1,+∞) 上是减函数. 同理当0
(3) 函数f (x ) 的定义域为(1,+∞) ⋃(-∞, -1) ,
∴①n
1+n ⎧
=1⎪log a
则⎨; n -1(无解)⎪⎩a -2=-1
②1≤n 3. ∴f (x ) 在(n , a -2) 为减函数,
⎧n =1
⎪
要使f (x ) 的值域为(1,+∞) , 则⎨, a -1
log =1a ⎪a -3⎩
∴a =2n =1. (4)g (x )=-ax +8(x -1)a
2
f (x )
416-5=-ax 2+8x +3=-a (x -) 2+3+,
a a
则函数y =g (x ) 的对称轴x =
44⎛1⎤
, a ≥8∴x =∈ 0, ⎥.
a ⎝2⎦a
∴函数y =g (x ) 在x ∈(1, t ]上单调减.
则1
t 是最大实数使得x ∈(1, t ]恒有-5≤g (x ) ≤5成立,
∴-at +8t +3=-5即at -8t -8=0.
2
2