概率A试题与答案
《概率论》试题A 与答案
一、填空题(每格2分,共20分) 1.已知P (A ) =0.2,P (A B ) =0.6,则
当A 与B 互斥时,P (B ) = ;当A 与B 独立时,
P (B ) = .
2.设
X P (λ) (泊松分布),
P {X =3}P {X =1}
=6,则
D (X ) = ,P {X >1}= .
3.设X N (μ, σ) (正态分布),其概率密度
-x +4x -4
2
2
f (x ) =Ae
A =
18
,则
,E (X ) = .
4.设X 与Y 独立,X U (-1,1) ,Y E (3),Y 的概率
⎧3e -3y , y >0
密度为f (y ) =⎨0, y ≤0,则
⎩
E (X -Y ) =D (3Y -1) =,
E (XY ) =
,
.
5.将三个不同的球随机放入4个杯子中,则杯中的球的个数最多为2的概率是 . 二、选择题(每小题3分,共15分)
1.设A 和B 是两个随机事件,则与A B =B 不等价的是
( )
(A )A ⊂B (B )B ⊂A (C )A ⋅B =Φ (D )A ⋅B =Φ 2.设X
1
分布密度分别为, X 2的分布函数分别为F 1(x ), F 2(x ) ,
f 1(x ), f 2(x ) ,则( )
(A )F (x ) +F
1
2
(x )
必是某随机变量的分布函数
(B )F (x ) ⋅F
1
2
(x ) 必是某随机变量的分布函数
(C )(D )
f 1(x ) +f 2(x ) 必是某随机变量的分布密度 f 1(x ) ⋅f 2(x ) 必是某随机变量的分布密度
3.设
X N (μ1, σ1) ,Y N (μ2, σ2)
2
2
,且
P {X -μ1P {Y -μ2
(A )σ(D )μ
1
1
μ2
(B )σ
1
>σ2
(C )μ
1
2
4.设随机变量X 的E (X ) =μ, D (X ) =σ存在,则对任意
常数c ,必有( ) (A )
2
E [(X -c ) ]=E [(X -μ) ]
2
22
(B )
E [(X -c ) ]≥E [(X -μ) ] E [(X (C )
-c ) ]
2
2
E [(X (D )
-c ) ]=E (X ) -c
22
X ) =11, (D ) X 95.设E (
=
,用雪比晓夫不等式估计
概率p =P {2
p ≥1/9
(B )
p ≤1/9
(C )p ≥8/9
(D )p ≤8/9
三、计算题(每小题10分,共40分)
1.设同一年级有两个班:一班40名学生,其中10名女生;二班30名学生,其中6名女生.在两个班中随意选一个班,然后从该班中先后各挑选一名学生,求:(1)先选出的一名是女生的概率;(2)在已知先选出一名是女生的条件下,后选出的一名也是女生的条件概率(必须写出设题和已知的概率,并写出所用的概率公式,第(2)题不必计算最后结果).
2.从含有4个白球,2个黑球的袋子中任取3个,(1)求所取3个球中白球数X 的分布列;(2)求所取3个球中白球数较多的概率;(3)求E (X ) 和D (X ) .
3.已知随机变量X 的分布密度求(1)系数k ;(2)P {1
⎧k (2x -x 2), x ∈(0,2)
f (x ) =⎨,
⎩0, 其他
(3)E (-X ) . ≤3};
4.设X 的概率密度为
⎧1
⎪2, -1
f X (x ) =⎨, 0≤x
4⎪
⎪0, 其他⎪⎩
, Y ≤4}
2
的
概率密度;(2)求P {X
≤-
12
.
四、计算题(每小题10分,共20分)
X \Y
11/152/15
22/154/15
32/154/15
1.设(X , Y ) 的联合分布列为
01
.(1)
求(X , Y ) 的边缘分布列;(2)判别X 与Y 是否独立;(3)求
Z =X +Y
的分布列. .
设
(X , Y )
2的
1
联合概率密度
⎧2-x -y f (x y =, ⎨)
⎩0,
≤, x ≤0≤y ≤
其他
,(1)求关于X 和Y 的边际概率
密度;(2)判别X 与Y 是否独立;(3)求P {X >2Y }.
五、证明题(5分) 设二维随机变量(X , Y )
N (0,0,1,1, 0) ,求证:P {
2
2
X Y
12
.
答案:
一、填空题(每格2分,共20分) 1.0.4,0.5. 2.6,1-7e -6. 3
916
2. 4.-
13
,0,1.
5.
13
(提示:p =4C 32C 3. /4)
二、选择题(每小题3分,共15分) 1.D . 2.B . 3.A . 4.B . 5.C . 三、计算题(每小题10分,共40分) 1.(1)
940
40110⨯916⨯5
(⋅+⋅) . 9240⨯39230⨯29
.(2)11/5
2.(1)
X P
23/5
31/5
;(2)
45
;(3)E (X ) =2,D (X ) =
25
.
⎧3/0
⎪11⎪
3.(1)k =3/4;(2);(3)-1.4.(1
)f Y (y ) =⎨1/≤y
24⎪
0, 其他⎪⎩
四、计算题(每小题10分,共20分) 1.(1)
X P Z P
01/311/15
12/32
,
Y P
11/53
22/544/15
32/5
;(2)X 与Y 独立;
(3)
4/156/15
.
⎧3⎧3
⎪-x , 0
2.(1)f X (x ) =⎨2,f Y (x ) =⎨2;(2)X 与Y 不相否
⎪0, 其他⎪0, 其他⎩⎩
独立;(3)
724
.
五、证明题(5分)
) 于是因(X , Y ) N (0,0,1,1, 0) ,ρ=0,得X , Y 独立,且X , Y N (0, 1,P {X Y
0}P {Y 0}=
12⨯12+12⨯12=12
2
2
2
.