第一课时--整式
整式
知识框架:
单项式
单项式定义:只含有数与字母的积的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母
也是单项式.如:-2,a ,,都是单项式,而,1+x都不是单项.
单项式有数字因数和字母因数组成。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,例如:6a 2的系数是6,a 3的系数是1,-n 的系数是-1,-的系数是-.
单项式表示数字与字母相乘时,通常把数字写成前面,•当一个单项式的系数是1或-1时通常省略不写.
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如,2.5x•中字母x 的指数是1,2.5x 是一次单项式;vt 中字母v 与t 的指数和是2,vt 是二次单项式,-ab 2c 中字母a 、b 、c 的指数和是4,-ab 2c 是4次单项式. 用代数式表示下列各题:
(1)比(2)比
的和的平方小的数。 的积的2倍大5的数。
(3)甲乙两数平方的和(差)。 (4)甲数与乙数的差的平方。
(5)甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 (6)甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。 (7)比的平方的2倍小1的数。
例1.用单项式填空,并指出它们的系数和次数. (1)每包书有12册,n 包书有_______册.
(2)底边长为a ,高为h 的三角形的面积是______.
(3)一个长方体的长和宽都是a ,高是h ,它的体积是_______.
(4)一台电视机原价a 元,现按原价的9折出售,这台电视机现在售价为 元.
(5)一个长方形的长为0.9,宽是a ,这个长方形的面积是_________. 例2.下列各式是不是单项式?为什么? (1)x-2y ; (2)-
; (5)-1.
例3. 判断下列各说法是否正确,错误的改正过来. (1)单项式-xy 2的系数是0,次数是2. (2)单项式27a 2的系数是2,次数是9. (3)单项式-
的系数是-,次数是n+1.
例4. 请你写出系数为-,含有x 、y ,次数为4的所有单项式.
课堂同步: 一、判断题.(对的打“∨”,错的打“×”) 1.x 是单项式.( ) 2.6不是单项式.( )
3.m 的系数是0,次数也是0.( ) 4.单项式
xy 的系数是
,次数是2.( )
二、填空题.
1.x 表示一个两位数,y 表示一个三位数,如果将x 放在y 的左边,则得到一个五位数是____________________
2. 某种商品每件标价a 元,若以标价的八折销售,每件仍可获利b 元,则这种商品每件的进价为_____
3. 一箱苹果售价a 元,箱子与苹果的总质量为m kg,箱子的质量为n kg,则每千克苹果的售价是_________ 元
4.x 2yz 的系数是________,次数是________.
5. 写出系数为-4,含有字母a ,b 的四次单项式_________ 6. 若(a -1) x 2y b 是关于x ,y
的五次单项式,且系数为
则a =______,b =
______.
7. 写出系数为5,含有x 、y 、z•三个字母且次数为4•的所有单项式,•它们分别是____.
8. 已知轮船在逆水中前进的速度是千米/时,水流的速度是2千米/时,则这轮船在静水中航行的速度是 千米/时. 9. 规定一种新的运算
:小:
, 比
如
(填“>”、“=”或“>”).
, 请比较大
11. 下列代数式中单项式共有( ).
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 12. 如果
是关于x,y 的单项式,且系数为,次数10,求a,n 的值。
13. 苹果的价格比梨贵35%,如果梨的价格是每千克m 元,那么苹果的价格是多
少?如果梨的价格比苹果便宜10%,梨的价格仍是每千克m 元,那么苹果的价格是多少?
14. 如果
,则等于多少?
课后练习:
1.x 表示一个两位数,现将数字5放在x 的左边,则组成的三位数是( )
A 、5x B、10x+5 C、100x+5 D、5×100+x 2. 已知a+b+c=0,则代数式(a+b)(b+c)(c+a)+abc的值为( )
A 、-1 B、1 C、0 D、2
3. 甲、乙两地距离是m 千米,一汽车从甲地开往乙地,汽车速度为a 千米/时,现走了一半路程,它所行的时间是( ).
A.
B.
C.
D.
4. 在代数式中有( )
A.5个整式 B.4个单项,3个多项式
C.6个整式,4个单项式 D.6个整式,单项式与多项式个数相同
5. 如果,,则的值为( )
A.14 B.2 C.44 D.不能确定
6. 用代数式表示:
(1)比m 多1的数______. (2)比n 少2的数______.
(3)3与y 的差的相反数______. (4)a与b 的和的倒数______.
(5)x与4的差的
______. (6)a与b 和的平方______.
(7)a与b 平方的和______. (8)被5除商m 余1的数______.
(9)5除以x 与2和的商______. (10)除以a 2+b 的商是5x 的数______. (11)与b +3的和是5x 的数______. (12)与6y 2的差是x +3的数______. (13)与3x 2-1的积是5y 2+7的数______.
7. 一个三位数百位数字是3,十位数字和个位数字组成的两位数字是b ,用代数式表示这个三位数是_______
8. 李先生要用按揭贷款的方式购买一套商品房,由于银行提高了贷款利率,他想尽量减少贷款额,就将自己的全部积蓄a 元交付了所需购房款的60%,其余部分向银行贷款,则李先生应向银行贷款____________元.
9. 如图,(1)中阴影部分面积是______;(2)中阴影部分面积是________.
(1) (2)
10.n 张长为acm 的纸片,一张接一张的贴成一个长纸条,每张贴合部分的长度都是bcm ,这个纸条的总长应是 cm .
11. 定义一种运算,观察下列式子。1⊙3=1×2+3=5 3⊙1=3×2+1=7 3⊙4=3×2+4=10 4⊙3=4×2+3=11 „„
(1)请你猜想:a⊙b=___________,b⊙a=_________;若a≠b,那么 a⊙b______b⊙a(填“=”或“≠”)
(2)计算:
12.
次数
30a
-x 3
y
ab 2c 3
πr 2
的值。
13. 代数式的求值:(1)已知,求代数式
(2)已知
的值是7,求代数式的值。
(3)已知
;,求的值
14.
已知:当
时,代数式的值为2007
,求当
时,代数式
的值。
能力提高:
1.
10,则输出的数是_______.
1 2 3 4 5 B 2 5 10 17 26 2
2. 观察下列单项式:0,3x ,8x 3,15x 4,24x 5,„按此规律写出第13个单项式 3. 观察下列单项式:
0,3x 2,8x 3,15x 4,24x 5„„,按此规律写出第10个单项式是_________ 4.
,和
分别可以按如图所示方式“分裂”成个、个和个连续奇数的
“分裂”出的奇数中最大的是 .
和,83也能按此规律进行“分裂”,则
5. 已知
,求的值。
6. 若
个人完成一项工程需要天,则个人完成这项工程需要多少天?
课后小练
1. 下列各式中单项式的个数是( ).
姓名:
,x+1,-2,-.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
22
2. 单项式-x yz 的系数、次数分别是( ).
A.0.2 B.0.4 C.-1,5 D.1,4
3. 某电影院共有座位n 排, 已知第一排的座位为m 个, 后一排总是比前一排多1个, 则电影院中共有座位( )个.
A.
B. C.mn+n
D.
的系数和次数,则a ,b ,c ,d 四个
4. 设a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c ,d 分别是单项式
-x 数的和是( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
5. 的系数是______,次数是_______;-2n
4
的系数是______,次数是_______
6. 如果单项式-2x y 与单项式a b 的次数相同,则n=________. 7. 五次单项式8. 若
的系数为
是关于x 、y 的一个单项式,且系数是4,次数是5,则
=
9. 买一级肉5千克和买二级肉6千克用的钱同样多,如果一级肉每千克a 元,那么二级肉每千克多少元?如果用买b 千克一级肉的钱去买二级肉,可以买多少千克?
10. 已知代数式的值为8,求代数式的值。
多项式
定义:由两个或两个以上单项式和的形式,叫做多项式。 多项式的项数和次数:
项数:多项式中每个单项式叫做这个多项式的项,但多的一个数字叫做常数项。
次数:在多项式里,次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。 多项式的读法:几次几项式。 注意:
11
(1)多项式的各项应包括它前面的符号,比如,多项式6x 2-x -3中第二项是-x ,
22
1
而不是x ,常数项是-3,不是3.多项式没有系数概念,但其每一项均有系数,每一项的
2
系数应包括自己的符号. (2)多项式的次数与单项式的次数概念不同,但又有联系,•首先求出此多项式各项(单项式)的次数,次数最高的就是这个多项式的次数.
(3)一个多项式的最高次项可以不唯一,次高项也可以不唯一,•如,•多项式3x 2y-
xy 2+x2-xy-5中,最高次项为3x 2y 和-x y 2,二次项也有2项,x 2和-xy ,•这个多项式为二次
五项式.
(4)单项式和多项式统称为整式,例如:100t ,6a 3,vt ,-n ,2x-3,3x+5y+2z等都是.
降幂排列:把一个多项式的各项按照某个字母的指数从 高 到 低 的顺序排列。 升幂排列:把一个多项式的各项按照某个字母的指数从 低 到 高 的顺序排列。 同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项,几个
常数项也是同类项.
两个相同:(1)含有相同的字母;(2)相同字母的指数相等 两个无关:(1)同类项与系数大小无关;(2)与它们所含相同字母的顺序无关 合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 注意事项:
(1) 合并的前提是同类项。
(2) 合并指的是系数相加,字母和字母的指数保持不变。。 (3) 合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律。
例1. 下列式子中,哪些是单项式?哪些是多项式?哪些是整式? 3x,2x-1,例2. 如果多项式
,-ab ,-5,-1,3m-4n+m2n .
是x 的五次三项式,求n 与p 的值。
例3. 把多项式-x 2-1+3x+x 3重新排列:
(1)按x 升幂排列,得_________________________________. (2)按x 降幂排列,得_________________________________. 例4. 下列各组是不是同类项:
(1)0.5x 2y 和0.2xy 2; (2)4abc 和4ab ;
(3)-5m 2n 3和2n 3m 2; (4)7x n y n+1和-3x n y n+1 例5. 合并下列各式的同类项:
(1)xy 2-xy 2; (2)-3x 2y+2x2y+3xy2-2xy 2; (3)4a 2+3b2+2ab-4a2-4b 2.
例6. 已知多项式
数与这个多项式的次数相同,求n 的值。
是六次四项式,单项式的次
例7. 当k= 时,多项式例8. 已知:值。
中不含xy 项。
,求代数式
的
例9. (1)求多项式2x 2-5x+x2+4x-3x2-2 的值,其中x=.
(2)求多项式3a+abc-c 2-3a+c 2的值,其中a=-,b=2,c=-3.
例10. 已知有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示,化简
:
的值。
例11. 试说明:无论x,y 取何值时,代数式
(x3+3x2y-5xy+6y3)+(y3+2xy2+x2y-2x 3)-(4x2y-x 3-3xy 2+7y3) 的值是常数.
课堂同步: 1. 判别正误:
22
(1)多项式-x y+2x-y 的次数2.( ) (2)多项式--a+3a2的一次项系数是1.( )
(3)-x-y-z 是三次三项式.( )
2.a 是三位数,b 是一位数,如果把b 放在a 的左边,那么组成的四位数应表示为( )
A.ba B.100b+a C.10b+a D.1000b+a 3. 若4.
,
,
,
,„
观察上面一系列等式,你能发现什么规律?设n (n≥1)表示自然数,用关于n
的等式表示这个规律为:_________________________ 5. 已知多项式3
+y-8与多项式-n +2y+7的差中, 不含有x 、y, 求+mn的值.
6.
7. 若
+(b-2)2=0,A=3a2-6ab+b2,B=-a2-5,求A-B 的值.
8. 如图所示,探求“△”叠加的层数与“△”的个数之间的关系.
(1)“△”叠加的层数为4时,“△”的个数是多少? (2)“△”叠加的层数为n 时,“△”的个数是多少?(用含n 的代数式表示)
课后练习:
1. 鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 个. 2. 在式子-ab ,多项式的是_______. 3.
按的升幂排列为________
,-a 2bc ,1,x 3-2x+3,,+1中,单项式的是______,
4. 若3x 2-2x+b+(-x-bx+1)中不存在含x 的项,则b= 5. 一个三位数的百位数字是
,
,将百位数
字6. 与个位数字交换位置,所得的三位数字与原三位数的差为 ,这
个差必能被 整除.
7. 一个五次多项式,它任何一项的次数( ).
A.都小于5 B.都等于5 C.都不小于5 D.都不大于5 8. 下列说法正确的是( ). A.x 2+x3是五次多项式 B.不是多项式 C.x 2-2是二次二项式 D.xy 2-1是二次二项式 9. 从2a+5b减去4a ﹣4b 的一半,应当得到( )
A.4a﹣b B.b﹣a C.a﹣9b D.7b 10. 下列运算中正确的是( ).
2222
A.3a -2a =a B.3a -2a 2=1 C.3x 2-x 2=3 D.3x 2-x=2x 11. 将2(x+y)-3(x-y)-4(x+y)+5(x-y)-3(x-y)合并同类项得( )
A.-3x-y B.-2(x+y) C.-x+y D.-2(x+y)-(x-y)
12. 若-4x 2y 和-23x m y n 是同类项,则m ,n 的值分别是( )
A.m=2,n=1 B.m=2,n=0 C.m=4,n=1 D.m=4,n=0 13. 化简下列各题: (1)x 2-x 2- (2)
14. 先化简再计算:2(x-2y )2-4(2x-y )+(x-2y )2-3(2x-y ),其中x=-1,y=
.
15. 如果关于x 的多项
式与3x n +5x是同次多项式,
求
的值.
16. 若
,求:值.
17. 值。
,,的
18. ,, 求
19. (1)水库中水位第一天连续下降了a 小时,每小时平均下降2cm ,•第二天连续上升了a
小时,每小时平均上升0.5cm ,这两天水位总的变化情况如何?
(2)某商店原有5袋大米,每袋大米为x 千克,上午卖出3袋,•下午又购进同样包装的大米
4袋,进货后这个商店有大米多少千克?
能力提高:
1.
当
时,代数式
的值为( )
A.2001 B.-2001 C.2000 D.-2000
2. 如果(k-5)x |k-2|y 3是关于x ,y 的六次单项式,则k=_______
3. 当2y -x=5时,5(x-2y) 2-3(-x+2y)-100的值是________
4. 已知代数式x 2+4x-2的值是3,则代数式2x 2+8x-5的值是_____
5. 已知3a -5b+19=0,a+8b-1=0,不用求出a ,b 的值,•你能计算出下列代数式
的值吗?(1)-12a -9b ;(2)4a -26b
的值等于2002
,那么当
时,代数式
6. 为了加强地球和月球,人们在地球和月球上各加上了一道铁箍,•现在想把铁
箍各向外扩展1米,问哪个所增加的铁箍长.
7. 已知:
,其中a>1.(1)求证:; (2)试比较A 、B 、C 三者之间的大小关系,并说明理由.
9. 当整数n 为何值时,多项式
是三次三项式。
10. 已知
,求的值。
1. 在代数式中,下列结论正确的是( )
A. 有3个单项式,2个多项式 B.有4个单项式,2个多项式
C. 有5个单项式,3个多项式 D.有7个整式
2. 下列各组式子中是同类项的是( ).
A.-2a与a B.2ab 与3ab C.5abc 与-b ac D.-22222ab 和4ab c 22
3. 已知出租汽车行驶3千米以内(包括3千米) 的车费是7元,以后每行驶1千米,•再加1元.如果某人坐出租汽车行驶了m 千米(m 是整数,且m≥3),则车费是( )
A.(7+m)元 B.(4+m)元 C.(7-m) 元 D.(3+m)元 4. 合并同类项后,所得多项式是( )
A.二次二项式 B.二次三项式 C.一次二项式 D.单项式
5. 多项式中,最高次项的系数和常数项分别为( )
A.2和8 B.4和-8 C.6和8 D.-2和-8
226.2x -3xy +x-1的各项分别为________.
7. 若是关于的四次二项式,则、满足的条件是_______
8. 多项式-+2x-3是___次____项式,最高次项的系数是______,常数项是________.
9. 在代数式-x +8x-5+
322x +6x+2中,-x 和 是同类项,8x 和 是同类项,2和 是同类项. 22210. 把多项式2x y -4y +5x-3重新排列:
(1)按x 降幂排列,得_________________________________.
(2)按y 升幂排列,得________________________
11. 计算:
12. 化简:3a b-4ab -4+5ab+2ab+7
13. 已知多项式经合并后,不含有的项,求的值。 2222
2214. 已知A=6X-4x-2,B=-2x+5,C=2x-3,求(A+B)-[2A-(C-3B )]