一次函数的应用

一次函数的应用

知识要点

1. 一次函数

(1)一次函数的形式y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0），

正比例函数的形式y =kx （k 为常数，k ≠0）正比例函数是特殊的一次函数 (2)、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数y =kx +b 的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数y =kx 的图像是经过原点（0，0）的直线。

2. 一次函数的性质和正比例函数的性质

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k

当b>0 直线交y 轴正半轴 b

3. 一次函数与y 轴的交点坐标为（0，b ）；一次函数与x 轴的交点坐标，另y 等于0，求出x 的值. 即（—

4. 一次函数与坐标轴围成的三角形面积：

b

，0） k

1

×／与x 轴的交点横坐标／×／与y 轴的交点纵坐标／ 2

5. 两个一次函数k 1=k2,b 1 ≠ b2两直线平行

k1≠k 2,b 1= b2两直线相交于y 轴上的点（0，b ） k1×k 2=-1.两直线垂直

6. 直线y=2x向上平移三个单位得到y=2x+3，向下平移三个单位得到y=2x-3

7. 在实际问题的图像常取在第一象限，读图时注意x 轴y 轴代表的信息，若图中有两条直线应标注各个直线的名称。

8. 一次函数与一元一次方程的关系：

由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应x 的值．

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x 轴交点的横坐标值．

典 型 例 题

1．某移动公司开设了两种通信业务：“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费0.4元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费0.6元．若一个月通话x （min ），两种收费方式的费用分别为y 1和y 2元． （1）求y 1、y 2与x 的函数解析式？

（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的？ （3）若x=300，选择哪种收费方式更合适？

2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h ，两车之间的距离为y km ，如图所示的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究：

（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； （3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

3．某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.4元．

（1）写出应收车费y （元）与出租汽车行驶路程x （千米）之间的函数关系式． （2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元？

（3）若小华付车费19.2元，则出租车行驶了多少千米？

4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x （分钟）表示所用时间，y （千米）表示李欢离家的距离．

（1）分别求出线段0≤x ≤10和15≤x ≤40的函数解析式； （2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米？

5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）之间的关系如下表：

（1）如果物体的质量为x kg，弹簧长度为y cm，根据上表写出y 与x 的关系式； （2）当物体的质量为2.5kg 时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度； （3）当弹簧的长度为17cm 时，根据（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．

6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．

（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲商店付款为y 甲（元），在乙商店付款为y 乙（元），分别写出y 甲，y 乙与x 的关系式；

（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？

7．百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程y （米）与时间x （分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）最先达到终点的是 队，比另一对早 分钟到达； （2）在比赛过程中，乙队在第 分钟和第 分钟时两次加速； （3）求在什么时间范围内，甲队领先？

（4）相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30m 的时间范围是 ．

8．甲、乙两个工程队共同修建一条乡镇公路，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队遇到山坡路段，工作效率降低，当乙队完成山坡路段时恰好公路修建完成，此时甲队工作了60天，设甲、乙两队各自修建的公路的长度为y （米），甲队工作时间为x （天），y 与x 之间的函数图象如图所示． （1）求甲队的工作效率；

（2）求乙队在山坡路段施工时，y 与x 之间的函数关系式； （3）求这条乡镇公路的总长度．

9．如图，在四中八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离S （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ．根据图象的信息，解答以下问题： （1）甲同学前15秒跑了 米， 同学先到终点．

（2）出发后第几分钟两位同学第一次相遇？本次测试的全程是多少米？ （3）两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方？

10．某校张老师暑假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：

（1）设学生数为x （人），甲旅行社收费为y 甲（元），乙旅行社收费为y 乙（元），两家旅行社的收费各是多少？

（2）哪家旅行社收费较为优惠？

经典练习

11．某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示

（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为13800元． ①该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

②全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？

（2）若设购进甲种矿泉水x 箱，全部售完后商场共获得利润为y 元． ③求出y 与x 之间的函数关系式；

④若商场进货部门拟定了两种进货方案：方案a ：甲、乙两种矿泉水各进250箱，方案b ：甲种矿泉水进300箱，乙种矿泉水进200箱，哪一种进货方案获利大？

12．小王计划租一间商铺，下面是某房屋中介提供的两种商铺的出租信息：

设租期为x （月），所需租金为y （元），其中x 为大于1的整数．

（1）若小王计划租用的商铺为90m 2，请分别写出在商座A ，B 租商铺所需租金y A （元），y B （元）与租期x （月）之间的函数关系式；

（2）在（1）的前提下，请你帮助小王分析：根据租期，租用哪个商座的商铺房租更低．

13．甲乙两台智能机器人从同一地点P 出发，沿着笔直的路线行走了450cm 到点Q ．甲比乙先出发，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．甲匀速走完全程．两机器人行走的路程y （cm ）与时间x （s ）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）乙比甲晚出发 秒，乙提速前的速度是每秒 cm ，t= ； （2）当x 为何值时，乙追上了甲？

（3）若两台机器人到达终点Q 后迅速折返，并保持折返前的速度继续匀速行走返回到点P ，乙比甲早到多长时间？

14．一个容积为400升的水箱，安装A 、B 两个进水管向水箱注水，注水过程中A 水管始终打开，两水管进水的速度保持不变，当水箱注满时，两水管自动停止注水，注水过程中水箱中水量y （升）与A 管注水时间x （分）之间的函数图象如图所示． （1）分别求出A 、B 两注水管的注水速度．

（2）当8≤x ≤16时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当两水管的注水量相同时，直接写出x 的值．

15．为了保证安全，某仓库引进A 型、B 型两台机器人搬运某种有毒货物到仓库存放，这两台机器人充满电后，各能连续工作5h ，按照指令，A 型机器人于某日零时开始搬运，过了1h ，B 型机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量y A （kg ）与A 型机器人搬运时间x （h ）之间的关系图象，线段EF 表示B 种机器人的搬运量y B （kg ）与A 型机器人的时间x （h ）之间的关系图象，根据图象提供的信息解答下列问题： （1）点P 表示的意义为：当x=3h时

（2）直接写出线段OG 所表示的搬运量与时间x （h ）之间的关系式

（3）A 型机器人每小时搬运有毒货物 kg ，B 型机器人每小时搬运有毒货物 kg ．

（4）到工作结束（各5h ），A 型、B 型两台机器人共搬运多少有毒货物？

16．一辆机动车以40km/h的速度匀速行驶若干小时候，邮箱中剩余的油量Q （L ）与行驶时间t （h ）之间的关系如下：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）机动车出发前油箱内存油 L ；每小时耗油量为 L ； （2）写出Q 与t 的函数关系式；

（3）若该机动车从出发到目的地的路程为300km ，问邮箱中的油够用吗？为什么？

17．我市某风景区门票价格如图所示，某旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W 元． （1）求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．

18．如图，分别表示甲步行与乙汽自行车（在同一条路上）行走的路程S 甲、S 乙与时间t 的关系，观察图象并回答下列问题： （1）乙出发时，乙与甲相距 千米；

（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时； （3）乙从出发起，经过 小时与甲相遇； （4）甲行走的平均速度是多少千米/小时？

（5）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？

19．某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg 以上（含3000kg ）的顾客采用两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元．

（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y （元）与所购买的水果量x （kg ）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．

20．移动营业厅推出两种移动电话计费方式：方案一，月租费用15元/月，本地通话费用0.2元/分钟，方案二，月租费用0元/月，本地通话费用0.3元/分钟．

（1）以x 表示每个月的通话时间（单位：分钟），y 表示每个月的电话费用（单位：元），分别表示出两种电话计费方式的函数表达式；

（2）问当每个月的通话时间为300分钟时，采用哪种电话计费方式比较合算？

21．小文，小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一时间后，小亮骑自行车沿相同路线行走，两人均匀速前行，他们的路程差s （米）与小文出发时间t （分）之间的关系如图所示．

（1）求小文和小亮的速度各是多少？

（2）求学校到少年宫的距离．

（3）求图中的a ，b 的值．

22．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A 地出发前往B 地，乙出发2h 后甲再出发，且甲、乙两人离A 地的距离y 甲、y 乙与时间x 之间的函数图象如图所示．

（1）乙的速度是 km/h；

（2）当2≤x ≤5时，求y 甲关于x 的函数解析式；

（3）当甲与B 地相距120km 时，乙与A 地相距多少千米？

23．一辆汽车和一辆摩托车分别从A ，B 两地去同一城市C ，它们离A 地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象中的信息解答以下问题：

（1）A ，B 两地相距 km ；

（2）分别求出摩托车和汽车的行驶速度；

（3）若两图象的交点为P ，求点P 的坐标，并指出点P 的实际意义．

参考答案与试题解析

1．某移动公司开设了两种通信业务：“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费0.4元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费0.6元．若一个月通话x （min ），两种收费方式的费用分别为y 1和y 2元．

（1）求y 1、y 2与x 的函数解析式？

（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的？

（3）若x=300，选择哪种收费方式更合适？

【解答】解：（1）根据题意得

y 1=50+0.4x；

y 2=0.6x；

（2）当y 1=y2，则50+0.4x=0.6x，

解得x=250．

∴通话250分钟两种费用相同；

（3）当x=300时，y 1=50+0.4x=50+0.4×300=170，

y 2=0.6x=0.6×300=180，

∴y 1＜y 2，

∴选择“全球通”比较合算．

2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h ，两车之间的距离为y km ，如图所示的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究：

（1）甲、乙两地之间的距离为 900 km ；

（2）请解释图中点B 的实际意义；

（3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

【解答】解：（1）由图象可得，

甲、乙两地之间的距离为900km ，

故答案为：900；

（2）图中点B 的实际意义时当两车出发4小时时相遇；

（3）由题意可得，

慢车的速度为：900÷12=75km/h，

快车的速度为：（900﹣75×4）÷4=150km/h，

即慢车的速度是75km/h，快车的速度是150km/h；

（4）由题可得，

点C 是快车刚到达乙地，

∴点C 的横坐标是：900÷150=6，纵坐标是：900﹣75×6=450，

即点C 的坐标为（6，450），

设线段BC 对应的函数解析式为y=kx+b，

∵点B （4，0），点C （6，450）， ∴，得，

即线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式是y=225x﹣900（4≤x ≤6）．

3．某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.4元．

（1）写出应收车费y （元）与出租汽车行驶路程x （千米）之间的函数关系式．

（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元？

（3）若小华付车费19.2元，则出租车行驶了多少千米？

【解答】解：（1）y=

（2）x=4时y=1.4×4+3.8=9.4（元）

，y=

小明乘坐出租车行驶4千米应付9.4元

（3）y=19.2时1.4x+3.8=19.2，所x=11

若小华付车费19.2元，则出租车行驶了11千米

4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x （分钟）表示所用时间，y （千米）表示李欢离家的距离．

（1）分别求出线段0≤x ≤10和15≤x ≤40的函数解析式；

（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米？

【解答】解：（1）设OA 的解析式为y 1=kx，

则10k=2，

解得k=，

所以，y=x ，

设直线BC 解析式为y 2=k1x+b，

∵函数图象经过点（15，2），（40，0）， ∴， 解得．

所以，直线BC 解析式为y=﹣x+；

∴线段0≤x ≤10的函数解析式为y 1=x （0≤x ≤10），

线段15≤x ≤40的函数解析式为y 2=﹣（2）当y 1=0.5km时，0.5=x ，x=2.5

x+（15≤x ≤40）；

当y 2=0.5km时，0.5=﹣x+，x==33.75，

∴李老师在这次晨跑过程中分别于6点22.5分和6点53.75分距离家500米．

5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）之间的关系如下表：

（1）如果物体的质量为x kg，弹簧长度为y cm，根据上表写出y 与x 的关系式；

（2）当物体的质量为2.5kg 时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度；

（3）当弹簧的长度为17cm 时，根据（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．

【解答】解：（1）由表可知：常量为0.5，12，

所以，弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （㎏）之间的函数关系式为y=0.5x+12，

（2）当x=2.5时，y=0.5×2.5+12=12.75cm，

∴弹簧的长度是12.75cm ；

（3）当y=17时，即0.5x+12=17，

∴x=10，

∴弹簧所挂物体的质量是10kg ．

6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．

（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲商店付款为y 甲（元），在乙商店付款为y 乙（元），分别写出y 甲，y 乙与x 的关系式；

（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？

【解答】解：（1）y 甲=20×4+5（x ﹣4）=60+5x（x ≥4）；

y乙=20×0.9×4+5×0.9x=4.5x+72（x ≥4）；

（2）y 甲=y乙时，60+5x=4.5x+72，解得x=24，即当x=24时，到两店一样合算；

y 甲＞y 乙时，60+5x＞4.5x+72，解得x ＞24，即当x ＞24时，到乙店合算；

y 甲＜y 乙时，60+5x＜4.5x+72，x ≥4，解得4≤x ＜24，即当4≤x ＜24时，到甲店合算．

7．百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程y （米）与时间x （分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）最先达到终点的是 乙 队，比另一对早 0.6 分钟到达；

（2）在比赛过程中，乙队在第 1 分钟和第 3 分钟时两次加速；

（3）求在什么时间范围内，甲队领先？

（4）相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30m 的时间范围是 0＜x ≤0.5或3≤x ≤ ．

【解答】解：（1）由图象可得，

最先达到终点的是乙队，比甲队早到：（5﹣4.4）=0.6分钟，

故答案为：乙，0.6；

（2）由图象可得，

在比赛过程中，乙队在第1分钟和第3分钟时两次加速，

故答案为：1，3；

（3）设甲队对应的函数解析式为y=kx，

5k=800，得k=160，

即甲队对应的函数解析式为y=160x，

当3≤x ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为y=ax+b，

，得，

即当3≤x ≤4.4时，乙队对应的函数解析式为y=250x﹣300，

令250x ﹣300＜160x ，得x ＜

即当0＜x ＜， 时，甲队领先；

（4）当0＜x ＜1时，设乙对应的函数解析式为y=mx，

m=100，

即当0＜x ＜1时，乙对应的函数解析式为y=100x，

160x ﹣100x ≤30，

解得，x ≤0.5，

即当0＜x ≤0.5时，甲乙两队之间的距离不超过30m ，

当1＜x ＜3时，设乙队对应的函数解析式为y=cx+d， ，得，

当1＜x ＜3时，乙队对应的函数解析式为y=175x﹣75，

160x ﹣（175x ﹣75）≤30，得x ≥3（舍去），

乙在BC 段对应的函数解析式为y=250x﹣300，

则160x ﹣（250x ﹣300）≤30，得x ≥3，

令160x=250x﹣300，得x=，

时，甲乙两队之间的距离不超过30m ，

． 由上可得，当0＜x ≤0.5或3≤x ≤故答案为：0＜x ≤0.5或3≤x ≤

8．甲、乙两个工程队共同修建一条乡镇公路，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队遇到山坡路段，工作效率降低，当乙队完成山坡路段时恰好公路修建完成，此时甲队工作了60天，设甲、乙两队各自修建的公路的长度为y （米），甲队工作时间为x （天），y 与x 之间的函数图象如图所示．

（1）求甲队的工作效率；

（2）求乙队在山坡路段施工时，y 与x 之间的函数关系式；

（3）求这条乡镇公路的总长度．

【解答】解：（1）甲队工作效率为150÷50=3（米/天）．

答：甲队的工作效率为3米/天．

（2）设乙队在山坡路段施工时，y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b（k ≠0），

将A （25，100）、B （50，150）代入y=kx+b中，

，解得：，

∴乙队在山坡路段施工时，y 与x 之间的函数关系式为：y=2x+50（25≤x ≤60）．

（3）甲队完成的长度为3×60=180（米），

∵当x=60时，y=2x+50=170，

∴甲队完成的长度为170米，

∴公路的总长度为180+170=350（米）．

答：这条乡镇公路的总长度为350米．

9．如图，在四中八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离S （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ．根据图象的信息，解答以下问题：

（1）甲同学前15秒跑了 100 米， 甲 同学先到终点．

（2）出发后第几分钟两位同学第一次相遇？本次测试的全程是多少米？

（3）两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方？

【解答】解：（1）由图象可知，甲同学前15秒跑了100米，甲先到终点． 故答案为100，甲．

（2）设线段AB 解析式为y=kx+b，把（15，100），（35，200）代入得解得， ， ∴线段AB 解析式为y=5x+25，

当y=150时，150=5x+25，x=25．

∴出发后第25分钟两位同学第一次相遇，

设线段OD 解析式为y=k′x ，把（25，150）代入得k ′=6，

∴线段OD 解析式为y=6x，

当x=100时，y=600，

∴本次测试的全程是600米．

（3）设线段BC 解析式为y=mx+n，把（35，200），（97.5，600）代入得解得， ∴线段BC 解析式为y=6.4x﹣24． 由解得，

600﹣360=240，

∴两位同学第二次相遇是在距终点240米的地方．

10．某校张老师暑假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：

（1）设学生数为x （人），甲旅行社收费为y 甲（元），乙旅行社收费为y 乙（元），两家旅行社的收费各是多少？

（2）哪家旅行社收费较为优惠？ 【解答】解：（1）根据题意得：

甲旅行社时总费用：y 甲=400+400×50%x， 乙旅行社时总费用：y 乙=400×60%（x+1）；

（2）设我校区级“三好学生”的人数为x 人，根据题意得： 400+400×50%x＜400×60%（x+1）， 解得：x ＞4，

400+400×50%x＞400×60%（x+1）， 解得：x ＜4，

400+400×50%x=400×60%（x+1）， 解得：x=4，

当学生人数超过4人，甲旅行社比较优惠，当学生人数4人之内，乙旅行社比较优惠，刚好4人，两个旅行社一样．

11．某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示

（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为13800元．

①该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

②全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？

（2）若设购进甲种矿泉水x 箱，全部售完后商场共获得利润为y 元． ③求出y 与x 之间的函数关系式；

④若商场进货部门拟定了两种进货方案：方案a ：甲、乙两种矿泉水各进250箱，方案b ：甲种矿泉水进300箱，乙种矿泉水进200箱，哪一种进货方案获利大？ 【解答】解：（1）①设商场购进甲种矿泉水x 箱，购进乙种矿泉水y 箱，

，

解得，

，

答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱； ②由题意可得，

300×（36﹣24）+200×（48﹣33） =3600+3000 =6600（元），

答：该商场共获得利润6600元； （2）③由题意可得，

y 与x 之间的函数关系式是：y=（36﹣24）x+（48﹣33）（500﹣x ）=﹣3x+7500， 即y 与x 之间的函数关系式是y=﹣3x+7500； ④由③可知， y=﹣3x+7500，

∴全部售完后商场共获得利润为y 随购进甲种矿泉水箱数x 的增大而减小， 又∵250＜300，

∴选用方案a ，可使商场获利大些， 即a 种进货方案获利大．

12．小王计划租一间商铺，下面是某房屋中介提供的两种商铺的出租信息：

设租期为x （月），所需租金为y （元），其中x 为大于1的整数．

（1）若小王计划租用的商铺为90m 2，请分别写出在商座A ，B 租商铺所需租金y A （元），y B （元）与租期x （月）之间的函数关系式；

（2）在（1）的前提下，请你帮助小王分析：根据租期，租用哪个商座的商铺房租更低． 【解答】解：（1）根据题意，得y A =3900x， y B =90×60+90×40（x ﹣1），即y B =3600x+1800；

（2）y A =yB 时，3900x=3600x+1800，解得x=6； y A ＞y B 时，3900x ＞3600x+1800，解得x ＞6； y A ＜y B 时，3900x ＜3600x+1800，解得x ＜6；

所以，当租期1＜x ＜6时，租用商座A 的房租低；租期x=6时，租用两个商座房租一样；租期x ＞6时，租用商座B 的房租低．

13．甲乙两台智能机器人从同一地点P 出发，沿着笔直的路线行走了450cm 到点Q ．甲比乙先出发，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．甲匀速走完全程．两机器人行走的路程y （cm ）与时间x （s ）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）乙比甲晚出发 15 秒，乙提速前的速度是每秒 15 cm ，t= 31 ； （2）当x 为何值时，乙追上了甲？

（3）若两台机器人到达终点Q 后迅速折返，并保持折返前的速度继续匀速行走返回到点P ，乙比甲早到多长时间？

【解答】解：（1）由图象可得，

乙比甲晚出发15秒，乙提速前的速度为：30÷（17﹣15）=15cm/s，t=17+（450﹣30）÷（15×2）=31，

故答案为：15，15，31；

（2）设甲对应的函数解析式为：y=kx， 310=31k，得k=10，

即甲对应的函数解析式为：y=10x， 设乙提速后对应的函数解析式为y=mx+n，

，得

，

∴乙提速后对应的函数解析式为y=30x﹣480， ∴

，得

，

即当x 为24时，乙追上了甲； （3）甲全程用：900÷10=90秒， 乙全程用：31+450÷30=31+15=46秒， 90﹣46=44秒， 即乙比甲早到44秒．

14．一个容积为400升的水箱，安装A 、B 两个进水管向水箱注水，注水过程中A 水管始终打开，两水管进水的速度保持不变，当水箱注满时，两水管自动停止注水，注水过程中水箱中水量y （升）与A 管注水时间x （分）之间的函数图象如图所示． （1）分别求出A 、B 两注水管的注水速度．

（2）当8≤x ≤16时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当两水管的注水量相同时，直接写出x 的值．

【解答】解：（1）A 注水管注水速度为45÷8=6（升/分），

B 注水管注水速度为（400﹣6×16）÷（16﹣8）=38（升/分）． 答：A 注水管的注水速度为6升/分，B 注水管的注水速度为38升/分． （2）当8≤x ≤16时，设y 与x 的函数关系为y=kx+b， 将（8，48）、（16，400）代入y=kx+b，

，解得：

．

∴当8≤x ≤16时，y 与x 之间的函数关系式为y=44x﹣304．

（3）根据题意得：6x=38（x ﹣8）， 解得：x=9.5．

答：当两水箱注水量相同时，x 的值为9.5．

15．为了保证安全，某仓库引进A 型、B 型两台机器人搬运某种有毒货物到仓库存放，这两台机器人充满电后，各能连续工作5h ，按照指令，A 型机器人于某日零时开始搬运，过了1h ，B 型机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量y A （kg ）与A 型机器人搬运时间x （h ）之间的关系图象，线段EF 表示B 种机器人的搬运量y B （kg ）与A 型机器人的时间x （h ）之间的关系图象，根据图象提供的信息解答下列问题： （1）点P 表示的意义为：当x=3h时 A 型、B 型各搬运有毒货物240千克

（2）直接写出线段OG 所表示的搬运量与时间x （h ）之间的关系式 y A =80x（0≤x ≤5） （3）A 型机器人每小时搬运有毒货物 80 kg ，B 型机器人每小时搬运有毒货物 120 kg ．

（4）到工作结束（各5h ），A 型、B 型两台机器人共搬运多少有毒货物？

【解答】解：（1）P 点的含义是：当x=3h时A 型、B 型各搬运有毒货物240千克． 故答案为：A 种机器人搬运3小时时，A 、B 两种机器人的搬运量相等，且都为180千克．

（2）设线段OG 所表示的搬运量与时间x （h ）之间的关系式为y A =kx， 将（3，240）代入y A =kx，得3k=240，

解得：k=80，

故线段OG 所表示的搬运量与时间x （h ）之间的关系式为y A =80x（0≤x ≤5）．

（3）240÷3=80（kg ）， 240÷（3﹣1）=120（kg ）．

故A 型机器人每小时搬运有毒货物80kg ，B 型机器人每小时搬运有毒货物120kg ．

（4）（80+120）×5 =200×5 =1000（千克）．

答：A 型、B 型两台机器人共搬运多少有毒货物1000千克．

故答案为：A 型、B 型各搬运有毒货物240千克；y A =80x（0≤x ≤5）；120，80．

16．一辆机动车以40km/h的速度匀速行驶若干小时候，邮箱中剩余的油量Q （L ）与行驶时间t （h ）之间的关系如下：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）机动车出发前油箱内存油 42 L ；每小时耗油量为 6 L ； （2）写出Q 与t 的函数关系式；

（3）若该机动车从出发到目的地的路程为300km ，问邮箱中的油够用吗？为什么？ 【解答】解：（1）机动车出发前油箱内存油42L ；每小时耗油量为6L ． 故答案为42，6；

（2）∵机动车出发前油箱内存油42L ，每小时耗油量6L ，

∴邮箱中剩余的油量Q （L ）与行驶时间t （h ）之间的关系式为Q=42﹣6t ；

（3）∵一辆机动车以40km/h的速度匀速行驶， ∴该机动车行驶300km 所用的数据为：∵机动车每小时用油6L ， ∴要准备油6×7.5=45（L ）， ∵45＞42，

=7.5（h ）．

∴油箱中的油不够用．

17．我市某风景区门票价格如图所示，某旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W 元． （1）求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．

【解答】解：（1）∵甲团队人数为x 人，乙团队人数不超过50人， ∴120﹣x ≤50， ∴x ≥70，

①当70≤x ≤100时，W=70x+80（120﹣x ）=﹣10x+9600， ②当100＜x ＜120时，W=60x+80（120﹣x ）=﹣20x+9600， 综上所述，W=

（2）∵甲团队人数不超过100人， ∴x ≤100， ∴W=﹣10x+9600， ∵70≤x ≤100，

∴x=70时，W 最大=8900（元），两团联合购票需120×60=7200（元）， ∴最多可节约8900﹣7200=1700（元）．

答：甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1700元．

18．如图，分别表示甲步行与乙汽自行车（在同一条路上）行走的路程S 甲、S 乙与时间t 的关系，观察图象并回答下列问题： （1）乙出发时，乙与甲相距 10 千米；

（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 1 小时； （3）乙从出发起，经过 3 小时与甲相遇；

；

（4）甲行走的平均速度是多少千米/小时？

（5）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？

【解答】解：（1）由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10千米． 故答案为10．

（2）由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为=1.5﹣0.5=1小时， 故答案为1．

（3）图图象可知，乙从出发起，经过3小时与甲相遇． 答：乙从出发起，经过3小时与甲相遇 （4）甲行走的平均速度是（22.5﹣10）÷3=答：

千米/小时．

千米/小时．

（5）不一样．理由如下： 乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度

=15千米/小时．

=10千米/小时．

所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．

19．某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg 以上（含3000kg ）的顾客采用两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元．

（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y （元）与所购买的水果量x （kg ）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由． 【解答】解：（1）甲方案：每千克9元，由基地送货上门， 根据题意得：y=9x；x ≥3000，

乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元，

根据题意得：y=8x+5000；x ≥3000．

（2）根据题意可得：当9x=8x+5000时， x=5000，

当购买5000千克时两种购买方案付款相同， 当大于5000千克时，9x ＞8x+5000， ∴甲方案付款多，乙付款少， 当小于5000千克时，9x ＜8x+5000， ∴甲方案付款少，乙付款多．

20．移动营业厅推出两种移动电话计费方式：方案一，月租费用15元/月，本地通话费用0.2元/分钟，方案二，月租费用0元/月，本地通话费用0.3元/分钟．

（1）以x 表示每个月的通话时间（单位：分钟），y 表示每个月的电话费用（单位：元），分别表示出两种电话计费方式的函数表达式；

（2）问当每个月的通话时间为300分钟时，采用哪种电话计费方式比较合算？ 【解答】解：（1）根据题意知，

方案一中通话费用关于时间的函数关系式为：y=15+0.2x，（x ≥0）， 方案二中通话费用关于时间的函数关系式为：y=0.3x，（x ≥0）；

（2）当x=300时，方案一的费用y=15+0.2×300=75（元）， 方案二的费用y=0.3×300=90（元）， ∴采用方案一电话计费方式比较合算．

21．小文，小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一时间后，小亮骑自行车沿相同路线行走，两人均匀速前行，他们的路程差s （米）与小文出发时间t （分）之间的关系如图所示．

（1）求小文和小亮的速度各是多少？ （2）求学校到少年宫的距离． （3）求图中的a ，b 的值．

【解答】解：（1）由图象得出小文步行720米，需要9分钟， 所以小文的运动速度为：720÷9=80（m/分）， 当第15分钟时，小亮运动15﹣9=6（分钟）， 运动距离为：15×80=1200（m ），

∴小亮的运动速度为：1200÷6=200（m/分）；

（2）∵小亮运动19﹣9=10（分钟），运动总距离为：10×200=2000（m ）， ∴学校到少年宫的距离是2000（m ）；

（3）此时小亮运动19﹣9=10（分钟）， 运动总距离为：10×200=2000（m ）， ∴小文运动时间为：2000÷80=25（分钟）， 故a 的值为25，

∵小文19分钟运动距离为：19×80=1520（m ）， ∴b=2000﹣1520=480，

22．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A 地出发前往B 地，乙出发2h 后甲再出发，且甲、乙两人离A 地的距离y 甲、y 乙与时间x 之间的函数图象如图所示． （1）乙的速度是 50 km/h；

（2）当2≤x ≤5时，求y 甲关于x 的函数解析式； （3）当甲与B 地相距120km 时，乙与A 地相距多少千米？

【解答】解：（1）300÷6=50（km/h）．

故答案为：50；

（2）当2≤x ≤5时，设y 甲=kx+b（k ≠0），

将（2，0）、（5，300）代入y 甲=kx+b， 得：，解得：，

∴y 甲关于x 的函数解析式为y 甲=100x﹣200（2≤x ≤5）．

（3）∵甲与B 地相距120km ，

∴甲与A 地相距180km ，

∴y 甲=100x﹣200=180，

解得：x=3.8．

∴乙与A 地相距50×3.8=190（km ）．

答：当甲与B 地相距120km 时，乙与A 地相距190千米．

23．一辆汽车和一辆摩托车分别从A ，B 两地去同一城市C ，它们离A 地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象中的信息解答以下问题：

（1）A ，B 两地相距 20 km ；

（2）分别求出摩托车和汽车的行驶速度；

（3）若两图象的交点为P ，求点P 的坐标，并指出点P 的实际意义．

【解答】解：（1）由图象可知，A ，B 两地相距20km ．

故答案为20；

（2）摩托车的行驶速度为：

汽车的行驶速度为：

=40（km/h）， =60（km/h）；

（3）设摩托车离A 地的路程y （km ）随时间x （h ）变化的函数解析式为y=kx+b． 将（0，20），（4，180）代入， 得，解得，

即摩托车离A 地的路程y （km ）随时间x （h ）变化的函数解析式为y=40x+20． 设汽车离A 地的路程y （km ）随时间x （h ）变化的函数解析式为y=mx，

将（3，180）代入，得30m=180，解得m=60，

即汽车离A 地的路程y （km ）随时间x （h ）变化的函数解析式为y=60x． 由，解得，

则点P 的坐标为（1，60），

点P 的实际意义：表示汽车出发后1小时，在距离A 地60km 处追上摩托车．