二次函数系数a.b.c与图像的关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系
下面就γ=a χ2+b χ+c (a ≠0)中的a ，b ，c 的作用归纳如下．
1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a
1.2 决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．
2 b 的作用与抛物线的顶点、a 有关，b 与a 的符号共同决定抛物线的顶点横坐标．
2.1 b 与a 同号，说明-b
2.2 b 与a 异号，说明-b
2.3 若顶点在y 轴上，则b = 0．
3 c 的作用：c 有抛物线与y 轴的交点坐标决定．
3.1 c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；
3.2 c
3.3 若抛物线过原点，则c = 0．
4 若抛物线与 x 轴交于（1，0），则a + b + c = 0；若抛物线与 x 轴交于（-1，0），则a - b + c = 0．
4.1 当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y
4.2 当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y
5 例1（重庆2004年）二次函数γ
=a χ+b χ+c (a ≠0)在（ ） 2
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D 分析：∵开口向下，∴a 0；∴
正确的是（ ）
A ．ab
B ．bc 0
分析：∵开口向下，∴a
∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b 0， bc > 0 故A 、B 均错 ∵x = 1时，y
例3（2004呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：
①γ=a χ2②γ=b χ2③γ=c χ2④γ=d χ2，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ．
A ．a > b > c > d
C ．b > a > c > d B ．a > b > d > c D ．b > a > d > c ① 分析：∵③、④的图像开口向下，∴c
∵④的张口比③的张口小，∴∣d ∣ > ∣c ∣， ∴c > d；
∵①、②的图像开口向上，∴a > 0，b > 0；
∵①的张口比②的张口小，∴∣a ∣ > ∣b ∣， ∴a > b ；∴选
2③ ④ 例4、已知二次函数γ=a
χ+b χ+c (a ≠0)的图像如图，则a 、b A ．a 0 ；B ．a
C ．a 0，c > 0 ；D ．a > 0，b 0 ；
分析：∵开口向下，∴a 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b
2χ=例5 二次函数γ=a χ+b χ+c (a ≠0)的图像如图，1为该函数图像的对称轴，3
根据这个函数图像，你能得到关于该函数的那些性质和结论呢?(写4个即可) ．
解： ①∵开口向上，∴a > 0；
②∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c
③∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b
④∵x = 1时，y
⑤∵x = -1时，y > 0，∴a - b + c > 0．
例１、已知y=ax2+bx+c图象如图1，则下列关系中成立的是( ) b
b C . 1
b b =1这里1
选C ．求值判定法，设抛物线过(α，0)(0
∴-b (α+2) a α+2α-b ===1+>1. ∴1
求中点坐标判定法，设抛物线与x 轴交于点A(α，0)(0
则A 、B 中点坐标是α+2
2=1+α
2>1 ∴1
注意：若题目为“已知抛物线y=ax2+bx+c过A(1，5) ，B(4，5) ，求对称轴直线”应怎样求？
例２为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线y=ax2+bx+c如图2，则下列结论： ①a
6060A ．①③ B ． ①④ C ． ②③ D ． ②④
剖析 排除法判定，易知c=2．4把(12，0) 代入y=ax2+bx+c中得： 1-b 144a+12b+2．4=0，12a ++b =0，由图象知a
∴12a +
11
11=0，∴12a +b -
b b a 0，∴0．∴a
例3、已知抛物线y=ax2+bx+c(a0以下结论：①a+b>0，②a+c>0，③-a+b+c>0，④b 2-2ac>5a2其中正确的个数有( )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
剖析： 特殊值判定法，∵抛物线过(-1，0) 点，∴a-b+c=0， c=b-a代入4a+2b+c>0中得．a+b>0，①正确．∵a0，∴b>0，∵a-b+c=0，∴a+c=b>0，a+c>0，②正确．
∵a0，∴c=b-a>0，-a>0，∴-a+b+c>0，③正确．
∵a-b+c=0，∴a+c=b，2a+c=a+b>0，2a+c>0，∵a0，∴c-2a>0，
∴(c-2a)(c+2a)>0，c 2-4a 2>0，c 2>4a2，∵b=a+c，
∴b 2=c2+a2+2ac，c 2=b2-a 2-2ac ，b 2-a 2-2ac>4a2，b 2-2ac>5a2， ④正确． 所以选D ． 注意 ：有时利用x=±1时，y=a±b+c，x=±2时，y=4a±2b+c中，y 符号判定a±b+c和4a±2b+c的符号．
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c图象与x 轴交于(-2，0)(x，0) 且10，③4a+c
④2a-b+1>0其中正确个数为( )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
剖析： 数形判定法，根据题意可画草图3， 对称轴x =-b 1
b >-，∴
a 0 ∴a
c 2∵抛物线过(-2，0) ，∴4a-2b+c=0， 2a+c=-2a+2b=-2(a-b)>0∴2a+c>0，②正确． ∵4a-2b+c=0，4a+c=2b
∵0-1，2a-b>-1，即2a-b+1>0 ④正确． 所以选D ． 2