立体几何经典大题(各个类型的典型题目)

1．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．

（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．

E

F

A

2．已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。 （1）求证：MN //平面PAD ； （2）当∠PDA ＝45°时，求证：MN ⊥平面PCD ；

D

C

B

1

3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证： （1）直线EF// 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．

D C A

4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC AD ⊥CC 1；

（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1， 求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；

（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由

]

C

1

2

5. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点． 求证：（1）MN//平面ABCD ； （2）MN ⊥平面B 1BG ．

6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；

（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．

A 1

_ B

_ C

_ B

_ 1

_A

_ D

_ C

_ 1

1_

N _ _ D

F

3

7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点

1

(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥面FCC 1；

A (2)证明：平面D 1AC ⊥面BB 1C 1C 。 B 1

E 1 E

A

F

B

8．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a ，点E ，F 分别在PD ，BC 上，且PE ：ED=BF：FC 。

（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求证：EF//平面PAB 。

4

9．如图，在三棱锥P-ABC 中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，F 为PC 上的一点，且PF :FC=3:1． （1）求证：PA ⊥BC ；

（2）试在PC 上确定一点G ，使平面ABG ∥平面DEF ； （3）求三棱锥P-ABC 的体积．

10、直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC =BC =BB 1=1，AB 1=．（1）求证：平面AB 1C ⊥平面B 1CB ； （2）求三棱锥A 1-AB 1C 的体积．

P

A

F

B

E

D C

B

C

A

B

5

立体几何大题训练(6)

11、如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D 、E 分别为CC 1、A 1B 1的中点． （1）求证C 1E ∥平面A 1BD ； （2）求证AB 1⊥平面A 1BD ；

A 1

C

C 1

B

1

12. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=2，AA 1=1，D 是BC 的中点，点P 在平面BCC 1B 1内，PB 1=PC1=2. （I ）求证：PA 1⊥BC ；（II ）求证：PB 1//平面AC 1D ；

6

13. 如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60︒，AB =2, AD =4将∆CBD 沿BD 折起到∆EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD

（I ）求证：AB ⊥DE （Ⅱ）求三棱锥E -ABD 的侧面积。

14. 如图, 在四棱锥P -ABCD 中, 侧面PAD ⊥底面ABCD , 侧棱PA ⊥PD , 底面ABCD 是直角梯形, 其中

BC //AD , ∠BAD =900, AD =3BC , O 是AD 上一点. (Ⅰ) 若CD //平面PBO , 试指出点O 的位置； (Ⅱ) 求证:平面PAB ⊥平面PCD .

7

P

A

O

第14题

D

B

15 、如图所示：四棱锥P-ABCD 底面一直角梯形，BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB，PA ⊥底面ABCD ，

E 为PC 的中点.

（1）证明：EB ∥平面PAD ；

（2）若PA=AD，证明：BE ⊥平面PDC ；

16．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC，点D 是AB 的中点。 （I ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1。

8

17．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2）求证：AE ∥平面BFD ．

A

E

（第17题）

C

B

18．如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BB 1，AC 1⊥平面A 1BD , D 为AC 的中点． （1）求证：B 1C //平面A 1BD ； （2）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；

（3）设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由．

C 1

A 1D

A

C

9

19．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AC ，D 、E 分别为BC 、B 1C 的中点， （1）求证：DE //平面ABB 1A 1； （2）求证：平面ADE ⊥平面B 1BC

E 、F 分别为直角三角形ABC 的直角边AC 和斜边AB 的中点，20．如图，沿EF 将∆AEF 折起到∆A ' EF

的位置，连结A ' B 、A ' C ，P 为A ' C 的中点． （1）求证：EP //平面A ' FB ；

（2）求证：平面A ' EC ⊥平面A ' BC ；

10

21．如图，四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E 、O 分别为PC 、BD 的中点．

求证：（1）EO ∥平面PAD ； （2）平面PDC ⊥平面PAD ．

O

A B

22．在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ； P （Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求证CE ∥平面PAB ．

E

F A B

C

D

23. 在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ,E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，连接EF ，求证：

（1） 平面BDO ⊥平面ACO (2) 直线EF //平面OCD

24、已知：等边∆ABC 的边长为2，D , E 分别是AB , AC 的中点，沿DE 将∆ADE 折起，使AD ⊥DB ，连

AB , AC , 得如图所示的四棱锥A -BCED (Ⅰ) 求证：AC ⊥平面ABD (Ⅱ) 求四棱锥A -BCED 的体积

A

D

E

B

C

A

B

E C

25、如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，E 是PD 的中点 （1）求证：PB ∥平面AEC

（2）求证：平面PDC ⊥平面AEC

P

26．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 点D 在B 1C 1上，A 1B 、AC 1的中点，1D ⊥B 1C 。B

D

⊥平面BB 1C 1C . 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面A 1FD

E 、F 分别为DD 1、DB 的中点． 27、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，

（1）求证：EF //平面ABC 1D 1；（2）求证：EF ⊥B 1C ；（3）求三棱锥V B 1-EFC 的体积．

A 1

E

1

D 1

C 1

F

A

28. 正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长与侧棱长都是2，D , E 分别是BB 1, CC 1的中点. （Ⅰ）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的全面积； （Ⅱ）求证：BE ∥平面ADC 1;

（Ⅲ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1.

A 1

C

B 1

E

D

C A B

∆ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90，29. 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，且A B =A A

分别为B 1A , C 1C , BC 的中点， （1）求证：DE //平面ABC ； （2）求证：B 1F ⊥平面AEF ； （3）求三棱锥E-AB 1F 的体积。

30．已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为 CD的中点，沿AE 将AED 折起，使DB ＝

O 、H 分别为AE 、AB 的中点．

（1）求证：直线OH//面BDE ； （2）求证：面ADE ⊥面ABCE.

1

D , E , F =2，

B

C

C

A

B H

B

31．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=DD1 =4，AD=AB=2，E 、F 分别为BC 、CD 1中点． (I)求证：EF ∥平面BB 1D 1D ； (Ⅱ) 求证：BC ⊥平面BB 1D 1D ； D 1

C 1

(Ⅲ) 求四棱锥F-BB 1D 1D 的体积.

A 1

D

C E

A

B 第31题图

F

B 1

32、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB,∆ACD 是正三角形，AD =DE =2AB ，且F 是CD 的中点。

（I ）求证：AF //平面BCE ；

（II ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；

33. 如图已知平面α, β，且α β=AB , PC ⊥α, PD ⊥β, C , D 是垂足． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；

（Ⅱ）若PC =PD =1, CD =α与平面β的位置关系，并证明你的结论．

34．如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长和侧棱长均为1，∠BAD =∠BAA 1=∠DAA 1=60 , O 1为AC 11中点．

（I ）求证：AO 1//平面C 1BD . ；

C 1

（II ）求证：BD ⊥AC ； 1

（III ）求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积．

A

35. 如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =AA 1，M 为CC 1的中点． （Ⅰ）求证：BM ⊥AB 1；

（Ⅱ）试在棱AC 上确定一点N ，使得AB 1//平面BMN ．

1

A 1

B

B 1

36． 正三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，点D 是BC

的中点，BC =1．设B 1D BC 1=F ． （Ⅰ）求证:A 1C ∥平面AB 1D ; （Ⅱ）求证:BC 1⊥平面AB 1D ．

答案与评分标准

1. 证明（1）取AB 的中点M ，连FM ，MC ，

∵ F、M 分别是BE 、BA 的中点，

∴ FM∥EA ，FM=

1

2

EA ． ∵ EA、CD 都垂直于平面ABC ，

∴ CD∥EA ，∴ CD∥FM ． ………………3分 又 DC=a，∴FM=DC．

∴四边形FMCD 是平行四边形，

∴ FD∥MC ．即FD ∥平面ABC ．……………7分 （2）∵M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形， ∴CM ⊥AB ，又CM ⊥AE ，

∴CM ⊥面EAB ，CM ⊥AF ，FD ⊥AF ， ………………………………11分 又F 是BE 的中点，EA=AB，∴AF ⊥EB ． 即由AF ⊥FD ，AF ⊥EB ，FD ∩EB ＝F ，

可得AF ⊥平面EDB ． ……………………………………………………14分 2. （1）取PD 的中点E ，连接AE 、EN

∵EN 平行且等于

12DC ，而1

2

DC 平行且等于AM ∴AMNE 为平行四边形MN ∥AE

∴MN ∥平面PAD

（2）∵PA ⊥平面ABCD ∴CD ⊥PA 又

∵ABCD 为矩形 ∴CD ⊥AD, ∴CD ⊥AE ，AE ∥MN ，MN ⊥CD ∵AD ⊥DC ，PD ⊥DC ∴∠ADP=45°, 又E 是斜边的PD 的中点∴AE ⊥PD ，∴MN ⊥PD ∴MN ⊥CD ，∴MH ⊥平面PCD. 3、证明：（1）∵E,F 分别是AB ，BD 的中点．

∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，

∵E F ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ； （2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，

∵CB=CD，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD

4、(1)证明∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC

∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1

(2)证明延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N

∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1

∵A 1B 1=A 1C 1，∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1

∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C

(3)解结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性

过M 作ME ⊥BC 1于E ，∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1

∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点

∴AM =DE =1CC 1

21=

AA 1，∴AM =MA 2

5. 证明：（1）取CD 的中点记为E ，连NE ，AE ． 由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点可得

NE ∥D 1D 且NE=1

2D 1D ， ………………………………2分

又AM ∥D 1D 且AM=1

2

D 1D ………………………………4分

所以AM ∥EN 且AM=EN，即四边形AMNE 为平行四边形 所以MN ∥AE ， ……………………… ………6分 又AE ⊂面ABCD, 所以MN ∥面ABCD ……8分 （２）由AG ＝DE ，∠BAG =∠ADE =90︒，DA ＝AB

可得∆EDA 与∆G AB 全等 ……………………………10分

所以∠ABG =∠DAE ， ……………………………………………………………11分 又∠DAE +∠AED =90︒，∠AED =∠BAF ，所以∠BAF +∠ABG =90︒，

所以AE ⊥BG ， ………………………………………………12分 又BB 1⊥AE , 所以AE ⊥面B 1BG ， ……………………………………………………13分 又MN ∥AE ，所以MN ⊥平面B 1BG ………………………………………… …15分 6. （1）证明:连结BD .

在长方体AC 1中，对角线BD //B 1D 1.

又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴EF //BD . ∴EF //B 1D 1. 又B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1，∴ EF ∥平面CB 1D 1.

（2） 在长方体AC 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，∴ AA 1⊥B 1D 1. 又 在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又 B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 7、证明:（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， 1

所以CDA 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A1D ， A F B 1

1

又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A1D ，

E 1

所以CF 1//EE1，又因为EE 1⊄平面FCC 1，CF 1⊂平面FCC 1，

E

A

F

B

所以直线EE 1//平面FCC 1.

（2）连接AC, 在直棱柱中，CC 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 1

所以CC 1⊥AC, 因为底面ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2, A B 1 F 是棱AB 的中点, 所以CF=CB=BF，△BCF 为正三角形，

∠BCF =60︒, △ACF 为等腰三角形，且∠ACF =30︒

E 1

所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C, A F

B 所以AC ⊥平面BB 1C 1C, 而AC ⊂平面D 1AC, 所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.

8．（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，

∴AB=AD=AC=a.在△PAB 中， ∵PA 2+AB2=2a2=PB2,

∴PA ⊥AB ，同时PA ⊥AD ，又AB AD=A，

∴PA ⊥平面ABCD. ……………………4分 （2）作EG//PA交AD 于G ，连接GF.

………………6分 则

AG PE BF

==, GD ED FC

∴GF//AB.……………………8分 又PA AB=A，EG GF=G，

∴平面EFG//平面PAB ，……………………9分 又EF ⊂平面EFG ，

∴EF//平面PAB. ……………………10分 9．(1) 在△PAC 中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

222

∴PA +AC =PC ，∴PA ⊥AC ；又AB=4，PB=5，∴在△PAB 中，

同理可得 PA ⊥AB

∵AC AB =A ，∴PA ⊥平面ABC ∵BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC.

(2) 如图所示取PC 的中点G ，

连结AG ，BG ，∵PF:FC=3:1,∴F 为GC 的中点 又D 、E 分别为BC 、AC 的中点，

∴AG ∥EF ，BG ∥FD ，又AG∩GB=G，EF∩FD=F ∴面ABG ∥面DEF 即PC 上的中点G 为所求的点。 （3

）10、（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，

则BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，

又由于AC=BC=BB1=1，AB 1=，则AB=2，

则由AC +BC=AB可知，AC⊥BC，

又由上BB 1⊥底面ABC 可知BB 1⊥AC，则AC⊥平面B 1CB ，

所以有平面AB 1C⊥平面B 1CB ； ----------------------------------- 8分 （2）三棱锥A 1—AB 1C 的体积V A 1-AB 1C =V B 1-A 1AC =

2

2

2

111

⨯⨯1=．----------14分 326

//1A A ．……2分 11、（1）设AB 1与A 1B 相交于F ，连EF ，DF ．则EF 为△AA 1B 1的中位线，∴EF =1

2//1A A ，∴EF //C D ，则四边形EFDC 为平行四边形，∴DF ∥C E ． ……4分

∵C 1D =111=1

2

21

∵C 1E ⊄平面A 1BD ，DF ⊂平面A 1BD ，∴C 1E ∥平面A 1BD ． ……6分 （2）取BC 的中点H ，连结AH ，B 1H ，

由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，知AH ⊥BC ， ……8分 ∵B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AH ．∵B 1B ∩BC ＝B ，∴AH ⊥平面B 1BCC 1．∴AH ⊥BD ． ……10分

在正方形B 1BCC 1中，∵tan ∠BB 1H ＝tan ∠CBD ＝1

2，∴∠BB 1H ＝∠CBD ．则B 1H ⊥BD ．……12分

∵AH ⊥∩B 1H ＝H ，∴BD ⊥平面AHB 1．∴BD ⊥AB 1．

在正方形A 1ABB 1中，∵A 1B ⊥AB 1．而A 1B ∩BD ＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BD ． ……14分 12. 解：（I ）证明：取B 1C 1的中点Q ，连结A 1Q ，PQ ，

∴△PB 1C 1和△A 1B 1C 1是等腰三角形， ∴B 1C 1⊥A 1Q ，B 1C 1⊥PQ ， …………2分 ∴B 1C 1⊥平面AP 1Q ， …………4分 ∴B 1C 1⊥PA 1， …………6分 ∵BC ∥B 1C 1，∴BC ⊥PA 1. …………7分

（II ）连结BQ ，在△PB 1C 1中，PB 1=PC1=2，B 1C 1=2，Q 为中点， ∴PQ=1，∴BB 1=PQ，…………9分

∴BB 1∥PQ ，∴四边形BB 1PQ 为平行四边形， ∴PB 1∥BQ. …………11分 ∴BQ ∥DC 1，

∴PB 1∥DC 1，…………12分 又∵PB 1⊄面AC 1D ，

∴PB 1∥平面AC 1D. …………14分

13. 证：（I ）证明：在∆ABD 中， AB =2, AD =4, ∠DAB =60︒

∴BD =∴AB 2

+BD 2

=AD 2

, ∴AB ⊥DE

又 平面EBD ⊥平面ABD

平面EBD 平面ABD =BD , AB ⊂平面ABD ∴AB ⊥平面EBD

DF ⊂平面EBD , ∴AB ⊥DE

（Ⅱ）解：由（I ）知AB ⊥BD , CD //AB , ∴CD ⊥BD , 从而DE ⊥D 在Rt ∆

DBE 中， DB =DE =DC =AB =2

∴S ∆ABE =

1

2

DB ⋅DE = 又 AB ⊥平面EBD , BE ⊂平面EBD , ∴AB ⊥BE BE =BC =AD =4, ∴S ∆ABE =

1

2

AB ⋅BE =4

22

DE ⊥BD , 平面EBD ⊥平面ABD ∴ED ⊥，平面ABD 而AD ⊂平面ABD , ∴ED ⊥AD , ∴S ∆ADE =

1

AD ⋅DE =4 2

综上，三棱锥E -

ABD 的侧面积，S =8+

14. (Ⅰ) 解:因为CD //平面PBO , CD ⊂平面ABCD , 且平面ABCD 平面PBO =BO ,

所以BO //CD ……………………………………………………………………………………………(4分) 又BC //AD , 所以四边形BCDO 为平行四边形, 则BC =DO ……………………………………(6分) 而AD =3BC , 故点O 的位置满足AO =2OD ………………………………………………………(8分) (Ⅱ) 证: 因为侧面PAD ⊥底面ABCD , AB ⊂底面ABCD , 且AB ⊥交线AD ,

所以AB ⊥平面PAD , 则AB ⊥PD …………………………………………………………………(10分) 又PA ⊥PD , 且PA ⊂面PAB , AB ⊂面PAB , AB PA =A , 所以PD ⊥平面PAB …………(14分) 而PD ⊂平面PCD , 所以平面PAB ⊥平面PCD …………………………………………………(16分) 15、（1）取PD 中点Q ，连EQ 、AQ ，则∵QE ∥CD ，CD ∥AB ，∴QE ∥AB ， 又QE =

1

CD =AB 2

∆ABEQ 是平行四边形, ∴BE ∥AQ

又AQ ⊂平面PAD ∴BE ∥平面PAD

（2）PA ⊥底面ABCD ∴CD ⊥PA ，又CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD ∴AQ ⊥CD 若PA=AD，∴Q 为PD 中点， ∴AQ ⊥PD ∴AQ ⊥平面PCD ∵BE ∥AQ ，∴BE ⊥平面PCD

16．证明：（I ）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是三直棱柱，

∴平面ABC ⊥平面A 1ABB 1，∵AC=BC，点D 是AB 的中点，

∴CD ⊥AB ，平面ABC ∩平面A 1ABB 1=AB，∴CD ⊥平面A 1ABB 1。 （II ）证明：连结BC 1，设BC 1与B 1C 的交点为E ，连结DE 。

∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE//AC1。 ∵DE ⊂平面CDB 1，AC ⊄平面CDB 1， ∴AC 1//平面CDB 1。

17．（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，

∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ．

∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． 又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ．

∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ．

（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点， ∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．

而BC=BE，∴F 是EC 中点． …………………10分

23

C

A

E

B

在△ACE 中，FG ∥AE ，

∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，

∴ AE∥平面BFD ． ………………………14分

18、解：（1）证明：连接AB 1与A 1B 相交于M ，则M 为A 1B 的中点，连结MD ，又D 为AC 的中点，∴B 1C //MD ，又B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1BD ．…………4分 1C //平面A

（2）∵AB =B 1B ，∴四边形ABB 1A 1为正方形，∴A 1BD ，∴AC 1⊥A 1B ，1B ⊥AB 1，又∵AC 1⊥面A ∴A 1B ⊥面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1，

又在直棱柱ABC -A 1B 1C 1中BB 1⊥B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A ．………………8分 （3）当点E 为C 1C 的中点时，平面A 1BD ⊥平面BDE ，

D 、E 分别为AC 、C 1C 的中点，∴DE //AC 1， AC 1平面A 1BD ，

∴DE ⊥平面A 1BD ，又DE ⊂平面BDE ，∴平面A 1BD ⊥平面BDE ．…………14分 19、证明：（1）在∆CBB 1中， ∵D 、E 分别为BC 、B 1C 的中点， ∴DE //BB 1 4分

又 BB 1⊂平面ABB 1A 1, DE ⊄平面ABB 1A 1

∴DE //平面ABB 1A 1. ………………7分 （2）∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱 ∴BB 1⊥平面ABC ， ∵AD ⊂平面ABC ，

∴BB 1⊥AD ………………9分 ∵在∆ABC 中，AB =AC ，D 为BC 的中点，

∴AD ⊥BC ………………11分 ∵BB 1⋂BC =B , BB 1、BC ⊂平面B 1BC ,

∴AD ⊥平面B 1BC

24

又 AD ⊂平面ADE

∴平面ADE ⊥平面B 1BC . ………………14分

20．(1)证明： E 、P 分别为AC 、A′C 的中点，

∴ EP∥A′A ，又A′A ⊂平面A A′B ，EP ⊄平面A A′B

∴即EP ∥平面A′FB …………………………………………7分

(2) 证明：∵BC ⊥AC ，EF ⊥A′E ，EF ∥BC ∴BC ⊥A′E ，∴BC ⊥平面A′EC BC⊂平面A′BC

∴平面A′BC ⊥平面A′EC …………………………………………14分 21．（1）证法一：连接AC ．

因为四边形ABCD 为矩形，所以AC 过点O ，且O 为AC 的中点．

又因为点E 为PC 的中点，所以EO //PA ．…………………………………………………………4分 因为PA ⊂平面PAD ，EO ⊂/平面PAD ，所以EO ∥面PAD ．……………………………………7分

证法二：取DC 中点F ，连接EF 、OF ．

因为点E 、O 分别为PC 和BD 的中点，所以EF //PD ，OF //BC ． 在矩形ABCD 中，AD //BC ，所以OF //AD ． 因为OF ⊂/平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OF //平面PAD ．

同理，EF //平面PAD ．

因为OF ∩EF ＝F ，OF 、EF ⊂平面EOF ，

所以平面EOF //平面PAD ． …………………………………………………………………………4分 因为EO ⊂平面OEF ，所以EO ∥平面PAD ．……………………………………………………7分 证法三：分别取PD 、AD 中点M 、N ，连接EM 、ON 、MN ．

∥1CD ，ON ∥1． 因为点E 、O 分别为PC 和BD 的中点，所以EM ＝＝22

∥CD ，所以EM ∥ON ． 在矩形ABCD 中，AB ＝＝

所以四边形EMNO 是平行四边形．所以EO //MN ．………………………………………………4分 因为MN ⊂平面PAD ，EO ⊂/平面PAD ，所以EO ∥面PAD ． …………………………………7分 （2）证法一：因为四边形ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．…………………………………………9分 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，

所以CD ⊥平面PAD ．………………………………………………………………………………12分 又因为CD ⊂平面PDC ，

所以平面PDC ⊥平面PAD ． ………………………………………………………………………14分 证法二：在平面PAD 内作PF ⊥AD ，垂足为F ．

因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PF ⊥平面ABCD ．

因为CD ⊂平面ABCD ，所以PF ⊥CD ． ………………………………………………………9分 因为四边形ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．……………………………………………………11分 因为PF ∩AD ＝F ，所以CD ⊥平面PAD ．………………………………………………………12分 又因为CD ⊂平面PDC ，

所以平面PDC ⊥平面PAD ．………………………………………………………………………14分 22. 解：（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BC AC ＝2．

在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，

F P

E

B

A

D

C

∴CD ＝

AD ＝4． ∴S ABCD ＝

1111AB ⋅BC +

AC ⋅CD =⨯1⨯2⨯ 22221则V

＝2=

3（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，

∴AF ⊥PC ． ……………… 7分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，

∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，

∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 9分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 10分 （Ⅲ）证法一：

取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥PA ． ∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴EM ∥平面PAB ． ……… 12分 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． ……… 14分 ∵EM ∩MC ＝M ，

∴平面EMC ∥平面PAB ． ∵EC ⊂平面EMC ，

∴EC ∥平面PAB ． ……… 15分

P

E

F A B

D

N

23.

24、证明 ：(Ⅰ) 连DC ，在等边∆ABC 中有BD ⊥CD ，而BD ⊥AD ，AD ⋂DC =D

∴BD ⊥面ADC , 又AC ⊂面ADC ∴BD ⊥AC ----3分

在∆ADB 中，AD =DB =1，∠ADB =90︒，则AB =2，由对称性知，AC =2 在∆ABC 中，AB =2，AC=2，BC=2，则AB ⊥AC

A

26

B

E C

又BD ⋂AB =B ，∴AC ⊥面ABD ----7分 (Ⅱ) 在梯形BCED 中，易知S ∆CDE :S ∆BCD =1:2

3

∴V A -BCD =2V A -DCE ----10∴V A -BCED =V A -BCD

2

11112

又V A -BCD =V C -ADB =⨯⋅AD ⋅DB ⋅AC =⨯⨯2=

32326

322

∴V A -BCED =⨯=-------14分

264

25．（1）连结BD 交AC 于O 点，连结EO ，

因为O 为BD 中点，E 为PD 中点，所以EO //PB ， …………………2分 EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB //平面AEC ，………………6分

（2）因为PA ⊥平面ABCD , CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，

又因为AD ⊥CD ，且AD PA =A ，所以CD ⊥平面PAD ．…………8分

因为AE ⊂平面PAD ，所以 CD ⊥AE ．………………………………………………………………10分 因为PA =AD , E 为PD 中点，所以AE ⊥PD ．

因为CD PD =D ，所以AE ⊥平面PDC ．……………………………………………………………12分 又因为AE ⊂平面PAD ，所以平面PDC ⊥平面AEC ．………………………………………………14分 26．

27、证明：（1）连结BD 1，在∆DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则

⎫⎪

D 1B ⊂平面ABC 1D 1⎬⇒EF //平面ABC 1D 1 EF ⊄平面ABC 1D 1⎪⎭

（2）

EF //D 1B

A 1

D 1

B 1

E

C 1

⎫

⎪B 1C ⊥BC 1⎪⎬⇒

AB , B 1C ⊂平面ABC 1D 1⎪

⎪AB BC 1=B ⎭

B 1C ⊥平面ABC 1D 1⎫⎬⇒

BD 1⊂平面ABC 1D 1⎭

A

B 1C ⊥AB

F

C

27

B 1C ⊥BD 1⎫

EF //BD ⎬⇒EF ⊥B 1C

1⎭

（3） CF ⊥平面BDD 1B 1

∴CF ⊥平面EFB 1 且

C F =B F

=

EF =

1

2

BD 1=B 1F ===

B 1E ===3

∴EF 2+B 1F 2=B 1E 2 即∠EFB 1=90

∴V 111

B 1-EFC =V C -B 1EF =3⋅S ∆B 1EF ⋅CF =3⨯2

⋅EF ⋅B 1F ⋅CF

=

13⨯1

2

=1 28．解:（1）解由三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，且棱长均为2，

可知底面是正三角形，侧面均为正方形，

故三棱柱ABC -

A =21B 1C 1的全面积S 22

+3⨯22=12+(2) 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，因为D , E 分别是BB 1, CC

1可知BD =

1BB 1

1=CC 1=EC 1, 又BD ∥EC 1A 1 1

所以四边形2, BDC 2

1E 是平行四边形，故BE ∥DC 1, 又DC 1⊂平面ADC 1, BE ⊄平面ADC 1, 所以BE ∥平面ADC 1.

D

(3) 连AC 1, 设AC 1与AC 1相交于

O ， 则由侧面ACC 1A 1互相平分. 在Rt △B 1C 1D 中，DC 1==A B

同理可得AD =故DC 1=AD ,

连OD , 可得OD ⊥AC 1. 连CD , A 1D , 同理可证OD ⊥AC 1,

又AC 1与AC 1相交于

O ，故OD ⊥平面ACC 1A 1. 因为OD ⊂平面ADC 1, 故平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1.

29. 解：（1）取BB 1 中点G ，连DG,EG

∵B 1D=AD， B 1G=GB，∴DG//AB，同理GE//BC,

∵DG ⋂GE=G，AB ⋂BC=B，∴平面DGE//平面ABC ,

∵DE ⊂平面DGE ，∴DE//平面ABC . ………………5分 （2） ∵AB=AC=2 ∠BAC=90

, ∴在 B 1FE 中EC=1 ∴B 1E =3 B 1F =∴B 1F ⊥FE

28

又∵AF ⊥BC . AF ⊥BB 1 , ∴AF ⊥平面B 1C , ∴AF ⊥B 1F

∵B 1F ⊥FE ，AF ⊥B 1F , ∴B 1F ⊥平面AFE ………………10分 （3）

B 1F =6. B 1E =3，V A -EFB 1=1 …14分 30. 解：(1)证明∵O 、H 分别为AE 、AB 的中点

∴OH//BE，又OH 不在面BDE 内 ∴直线OH//面BDE

(2) O为AE 的中点AD ＝DE ，∴DOAE

∵

BO ＝10

2

∴DB =DO +BO

∴DO ⊥OB 又因为AE 和BO 是相交直线 所以，DO 面ABCE ， 又OD 在面ADE 内 ∴面ADE 面ABCE. 31．证明：

(I)连结BD 1，∵E 、F 分别为BC 、CD 1中点；

∴EF ∥BD 1， ………………2分 又∵BD 1⊂平面BB 1D 1D ，EF ⊄平面BB 1D 1D

∴EF ∥平面BB 1D 1D ； ………………4分(少一条件扣1分) (Ⅱ) 取CD 中点M ，连结BM ，则DM=CM=2， ∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，

∴四边形ABMD 是正方形，则DM=CM=BM=2，

∴BC ⊥BD ， ………………7分（或由计算证明） 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，有BC ⊥BB 1，且BD ∩BB 1=B，

∴BC ⊥平面BB 1D 1D ； ………………9分

D 1 (Ⅲ) 取BD 1中点N ，连结FN ，则FN ∥BC ， ………………10分 由(Ⅱ) 知BC ⊥平面BB 1D 1D ，∴FN ⊥平面BB 1D 1D ， 则FN 是四棱锥F-BB 1D 1D 的高，且FN =∵S 四边形BB D D =1

1

222

C 1

1

BC = 2

A 1

N D

F

16∴V = ………………14分

3

A

B

E

C

第31题图

29

32.

33、解：（Ⅰ）因为PC ⊥α, AB ⊂α，所以PC ⊥AB ．同理PD ⊥AB ． 又PC PD =P ，故AB ⊥平面PCD ． 5分

（Ⅱ）设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ．因为AB ⊥平面PCD ， 所以AB ⊥CH , AB ⊥DH ，所以∠CHD 是二面角C -AB -D 的平面角．

又PC =PD =1, CD =CD 2=PC 2+PD 2=2，即∠CPD =90︒． 在平面四边形PCHD 中，∠PCH =∠PDH =∠CPD =90︒， 所以∠CHD =90︒．故平面α⊥平面β． 14分 35. 解：（Ⅰ）证明：取BC 的中点D ，连接AD

因为∆ABC 是正三角形， 所以AD ⊥BC

1

又ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱， E

所以B 1B ⊥面ABC ，所以B 1B ⊥AD A 1

所以有AD ⊥面BB 1C 1C 因为BM ⊂面BB 1C 1C B

B 1

所以BM ⊥AB 1；

（Ⅱ）N 为AC 的三等分点，CN :NA =1:2．

30

连结B 1C ，B 1C BM =E ， ∵ CEM ∽ B CE

1EB ，∴ EB =CM =1．

1BB 12

∴ CN

NA =CE

EB =1， ∴ AB 1//NE 12

又∵EN ⊂面BMN ，AB 1⊄面BMN ∴ AB 1//平面BMN

36．证明:（Ⅰ）连结A 1B ，设A 1B 交AB 1于E , 连结DE ． ∵点D 是BC 的中点, 点E 是A 1B 的中点， ∴DE ∥A 1C ． …………3分 ∵A 1C ⊄平面AB 1D , DE ⊂平面AB 1D , ∴A 1C ∥平面AB 1D ． …………6分 （Ⅱ）∵∆ABC 是正三角形, 点D 是BC 的中点,

∴AD ⊥BC .

∵平面ABC ⊥平面B 1BCC 1, 平面ABC 平面B 1BCC 1=BC , AD ⊂平面ABC , ∴AD ⊥平面B 1BCC 1. ∵BC 1⊂平面B 1BCC 1, ∴AD ⊥BC 1. ………………………………9分

∵点D 是BC 中点

, BC 1，

A ∴BD =1．

∵BD CC 1

BB ==, 1BC B D C

∴Rt △B 1BD ∽Rt △BCC 1． F ∴∠BDB 1=∠BC 1C ．

B

∴∠FBD +∠BDF 1C 1

（第17题）

31

＝∠C 1BC +∠BC 1C =900． ∴BC 1⊥B 1D , …………………………………13分 ∵B 1D AD =D , ∴BC 1⊥平面AB 1D ． ………………………………15分

32