第八章 控制系统的偏差
第八章 控制系统的偏差
第一节 控制系统的偏差概念 误差：系统输出量的实际值x (t ) 与
希望值x (t ) 之间的差别。
误差值=x 0r (t ) -x 0(t ) =x i (t ) μ(p ) -x 0(t ) ， μ(p ) 是变换算子。
偏差：控制系统X i (s ) 与主反馈信号
0r
H (s ) X 0(s ) 之差，记为E (s ) 。
★ ★ 只有当H (s ) =1，即单位反馈时， ★ 在数值上误差=偏差。
★ ★ 常研究的是比例环节的输出信号， 即系统的偏差信号。
偏差信号常分为两种：静态偏差和动态误差。
1、 静态偏差 e s =lim e (t ) =lim s . E (s )
t →∞
s →0
⎧e ss
e s →⎨
⎩e ns
e ss —由输入引起的定态偏差 e ns —由干扰引起的定态偏差
2、动态误差 e （t ）取决于位移、速度、加速度
第二节 输入引起的定态偏差 一、偏差计算的一般公式 图？
E (s ) =X I (s ) -X 0(S ) H (S ) =X I (s ) -E (s ) G (s ) H (s ) =X i (s ) -E (s ) G 0(s )
得
1
E (s ) =X i (s )
1+G 0(s )
s . X i (s )
e (t ) =lim s . E (s ) =lim 定态偏差：e ss =lim t →∞s →0s →01+G (s ) 0
KP m (s ) KP m (s )
设系统开环传递函数G 0(s ) =Q (s ) =s λ. Q (s ) ，
n n -λ
其中
P m (s ) =∏(τi s +1) ∏(
i =1
i =1
νμ
s 2
ω
2
di
+
2ζdi s
ωdi +
+1) 当s →0, P m (s ) =1 当s →0, Q n -λ(s ) =1
Q n -λ(s ) =∏(τi s +1) ∏(
i =1
i =1
ρσ
s 2
2ζni s
ω
2ni ωni
+1)
X i (s ) s λ. Q n -λ(s ). X i (s ) s λ+1. X i (s )
e ss =lim s . =lim s . λ=lim λ
s →0s →01+G 0(s ) s Q n -λ(s ) +KP m (s ) s →0s +K
e ss 受K 、λ, X i (s ) 三因素影响。 二、典型输入的定态偏差
s λ+1
=0 1．x i (t ) =δ(t ) →X i (s ) =1→e ss =lim λs →0s +K
2、
1s λ
x i (t ) =1(t ) →X i (s ) =→e ss =lim λ=? s →0s s +K
111. λ=0→e ss =lim =
s →01+K 1+K
ss
零型系统，
有定态偏差，K ⇑e ⇓
2. λ≥1→e =0 非零型系统， 没有定态偏差。
ss
1s λ-1
3、x i (t ) =t →X i (s ) =s 2→e ss =lim s →0s λ+K
ss
1λ=0→e
⇒∞
0型系统 坏 Ⅰ型系统 一般，
20λ=1→e ss =
1
K
希望K 大 3λ≥2→e
ss
=0
Ⅱ型以上系统 好
4、
121s λ-2
x i (t ) =t →X i (s ) =3→e ss =lim λ
s →0s +K 2s
ss
1λ=0→e
2λ=1→e
⇒∞
ss
0型系统 坏 ⇒∞ Ⅰ型系统 坏
1K
30λ=2→e ss =
Ⅱ型系统 一般
4λ≥3→e =0 Ⅲ型系统 好 以上列表对比。
ss
5、分析
1、在一种信号作用下，开环系统的型级越高，跟踪能力（偏差小）越强，但稳定性能差。
2、在有误差的情况下，若使偏差e 小，即跟踪能力提高，应使K 增大，但将导致系统稳定性能变差。 第三节 输入引起的动态偏差
ss
1010
举例：G 01(s ) =s (0. 1s +1) , G 02(s ) =s (100s +1)
两者之间的定态偏差e ss1和e ss2相同(因不能充分反映出系统动态性能的区k =k =10) ，
别（指过渡过程的快度性难以反映）。
为使客观反映两系统间的差别，现将偏差传递函数在s=0邻域展成泰勒级数（便于求拉氏变换），得
1
2
(0) s +1G (0) s 2+... 1G (k ) (0) s k +... G e (s ) =G e (0) +G e e e
2k !
s =0
(k )
d G e (s ) (k )
其中，G e (0) =ds k
, k =1. 2..
偏差的时间响应
e (t ) =L -1[E (s )]=L -1[G e (s ). X i (s )]=
1 L [G e (0) X i (s ) +G e (0). s . X i (s ) +G e (0). s 2. X i (s ) +... 2
-1
则
1 i (t ) +G e (0). i (t ) +.... e (t ) =G e (0). x i (t ) +G e (0). x x 2
系统的动态偏差等于输入信号及其各阶导数引起的偏差分量之和。
2
x (t ) =2+3t +t , 例题：输入信号i
10
开环传递函数G 0(s ) =s (2s +1) ，
求闭环系统的动态偏差e （t ）。解：
1s +2s 2G e (s ) ===2
1+G 0(s ) 10+s +2s
1 1 2 G e (0) +G e (0) s +G e (0) s +G e (0) s 3+.. 26
=(0+0. 1s +0. 19s 2-0. 039s 3-0. 0341s 4+..)
x i (t ) =2+3t +t 2 i (t ) =3+2t x i (t ) =2x i (t ) =0x
G e (0) =0
(0) =0. 1G
其中1G (0) =0. 19
21
G e (0) =-0. 0396
e
e
(0) x (0) i (t ) +G i (t ) e (t ) =G e (0) x i (t ) +G x e e
=0⨯x (t ) +0. 1⨯(3+2t ) +2⨯0. 19=0. 2t +0. 68
（位置+速度+加速度）
第四节 负载或干扰引起的偏差
由图 则
E (s ) =X i (s ) -X 0(s ) H (s ) =
X I (s ) -[E (s ) G 1(s ) G 2(s ) +N (s ) G 2(s )]H (s )
X i (s ) -N (s ) G 2(s ) H (s )
E (s ) ==
1+G 0(s ) G ei (s ) X i (s ) +G eN (s ) N (s ) =E i (s ) +E N (s )
1
G (s ) =ei 其中 1+G 0(s )
由输入信号x (t ) 引起的偏差传递函数
i
-G 2(s ) H (s ) G eN (s ) = 1+G 0(s )
由干扰信号N (t ) 引起的偏差传递函数 E i (s ) =G ei (s ) X i (s )
输入引起的偏差分量，时域写成e (t ) 。 E N (s ) =G eN (s ) N (s )
干扰引起的偏差分量，时域写成e (t ) 。
i N
现只考虑干扰引起的定态偏差e （不考虑符号）。则
Ns
=lim e N (t )
t →∞
e Ns =lim e N (t ) =lim s . E N (s ) =lim s . G eN (s ). N (s ) =
t →∞
s →0
s →0
s . G 2(s ). H (s ). N (s ) lim s →01+G 0(s )
KP m (s )
一般情况下，G 0(s ) =s λ. Q (s ) , 且当s →0时，
n -λ
P m (s )
和Q
n -λ
(s ) ⇒1,
e Ns
s λ+1. G 2(s ) H (s ) N (s ) =lim s →0s λ+K
N
代入上式得
例题：若负载（或干扰）为阶跃函数，N (t ) =K ，1
G 2(s ) =2
s 2ζs ++12
T n T n 系统为单位反馈系统（H (s ) =1），求e Ns 。 解：单位反馈系统，即H (s ) =1，N (s ) =K s ，
N
G 2(s )
已知，系统的λ. K 未知。
s
e Ns =lim
λ+1
s →0
K n 1. 2. 1.
s s 2ζs
++12
T n T n s λ. K n
=lim λ
λs →0s +K s +K
Ns
10、对于0型系统， 即λ=0, e
=
K n
1+K
有偏差。
Ns
2、对于Ⅰ及以上型系统，即λ≥1, e ⇒0
无偏差。
★★★此例说明，对于Ⅰ型及以上系统，抗干扰能力强.
第九章 控制系统的设计和校正
这一章是前面各章节的综合，内容多而
乱，必要同步复习前述内容。
第一节 综述
一、控制系统的设计内容
1、合理确定系统的结构方案（固定元件、可调元件）；
2、静态计算，即合理选择参数； 3、动态计算。
二、设计的一般步骤
1、根据主要性能指标，绘制开环频率特性Bode 图；
2、选择二阶近似系统，以达到某几个主要的性能指标；
3、在Bode 图上进行校正设计，使系统达到预期的或最好指标。 三、系统的设计指标
1、时间响应指标（时域、在单位阶跃响应下的指标）；
1、瞬态响应时间t （调整时间）
2、峰值时间t
3、上升时间t
s
p
r
4、最大超调量M 2、频率响应指标
p
ν=180+ϕ(ω) 1、相位裕量
1
0k q =2、增益裕量G (j ω)
3、谐振峰值M 40、谐振频率ω 0
5、截止频率和带宽（0→ω） 3、偏差指标：e (t ). e ss . e Ns
关于截止频率ω的解释：闭环系统幅频特性的幅值(j ω) 下降到(j 0) 的0.707倍时的角频率，用ω表示。在Bode 图下降3dB 处
r r
j
j
j
φ(j ω) 2
（20lg φ(j ω) =20lg 0. 707=20lg 2=-3db ）。
闭环系统将高于截止频率ω的信号分量进行极大地衰减（也称滤波，或称截止），只允许信号在（0→ω）之间通过，带宽为0≤ω≤ω。
要求：1. ω↑↑, t ↓↓，重现输入信号的能力强。 2. ω↑↑，缺点是噪声大。
第二节 希望对数幅频特性曲线的绘制
j
j
j
j r
j
根据各项性能指标而绘制的、全面满足各项指标要求的对数幅频特性曲线，称做希望对数幅频特性曲线，记做L (ω) 。
L (ω) 一般按低频、中频、高频三段分别绘制。
一、三频段设计准则
1、低频段：要以最小的误差跟踪输入，e ↓↓, K ↑。因为各种机器、仪器的输入信号为低频信号。例如，X6132万能铣床，其
ds
ds ss
主轴n m ax
=1500rpm .
，切削力基频1500⨯610
60
（齿）=150250HZ 。一般动力传动齿轮 600—2000HZ 。
2、中频段：指增益交界频率ω左右，特性曲线的斜率应限制在-20， 目的是保证系统稳定。
3、高频段：指大于ω的区域，要严格控制噪声，希望开环频率特性快速衰减。 二、低频段L (ω) 曲线的绘制
目的是建立低频段曲线的渐近线，即斜率和高度。
若给定了定态偏差e 。
c
c
ds
ss
s λ+1. X i (s )
由e ss =lim 来确定系统的型级s →0s λ+K
λ
和增益K 。
例题：某系统要求e ≤0.1，x (t ) =t ，暂选Ⅰ型系统，即λ=1（斜率）
ss
i
12s λ+1. X i (s ) 1lim =e =lim 由ss s →0s λ+K =s →0s +K K ≤0. 1，
s 2.
则K ≥10.
由于初选Ⅰ型系统，在低频处
K
G (j ω) =
j ω
L (ω) =20lg G (j ω) =20lg K -20lg ω
ds
三、中频段L (ω) 曲线绘制
为确保系统相对稳定性，增益交界频率ω处的 曲线斜率只取-20。 1、 增益交界频率ω的确定
若是大系统可近似地简化为单位反馈的二阶系统，闭环传递函数为
c
c
2ωn
φ(s ) =2
2
s +2ζωn s +ωn
，
则开环传递函数为
2ωn
G 0(s ) =
s (s +2ζωn ) 。
开环谐和传递函数
2ωn
G 0(j ω) =
j ω(j ω+2ζωn )
开环幅频特性（在ω处）
c
G 0(j ωc ) =
2ωn
ωc ωc 2+(2ζωn ) 2
=0，
2
令L (ωc ) =20lg G 0(j ωc ) 即G
(j ωc ) =
2ωn
ωc +(2ζωn ) 2c
=1
ωc =ωn
+4ζ4-2ζ2
n
c
n
只有知道其中的ζ. ω后，才能确定ω。而ζ. ω的确定与各项指标有关。
1、若按谐振频率ω和谐振峰值M 的要求确定ω。
r
r
c
由M =2ζ
r
1-ζ
-2ζ
2
1≅⇒定出ζ2ζ
⇒ωn =
。
由ω=ωn
r
2
ωr
-2ζ
2
得ωc =ωr
+4ζ4-2ζ2
1-2ζ2
n
20、若满足相位裕量ν和固有角频率ω要求确定ω。
c
由ν=180+ϕ(ω) =
ωc ωc 0
180+[-90-arctg ]=90-arctg
2ζωn 2ζωn
ωc ωc
tg ν=tg [90-arctg ]=ctg (arctg ) =
2ζωn 2ζωn
2ζωn 2ζ
=ωc
+4ζ4-2ζ2
2ζn
ω=c 从上式可解出ζ，得tg ν。
30、若提出时域值，即峰值时间t p 、超调量M p 。
t p =
， ωn -ζ
2
π
或者M p =
x 0(t p ) -x 0(∞)
x 0(∞)
n
c
-
πζ1-ζ2
⨯100
=e
⨯100
从上式可解出ω. ζ⇒ω。
4、若提出上升时间t 和响应时间t ，并限制误差范围。
r
s
∆=0. 02, t s ≥∆=0. 05, t s ≥
4
ζωn
3
ζωn
另外，t r =
n
π-ϕωn -ζ
2
，而ϕ=arctg
c
-ζ2
ζ
求得ω和ζ后，也能定出ω。 2、中频段渐近线长度的确定
⎧L a =9-12db
按经验公式⎨ ⎩L b =-8--7db
相对应的有ω=(0. 25-0. 36) ω; ω=(2. 24-2. 5) ω 三、高频段L (ω) 曲线的绘制
高频段对系统性能影响很小，一般无特殊要求，可按固定元件的特性，自中频段末端自然延伸（斜率的绝对值要大）。 四、频率段间的过渡
1、各折点斜率增量尽可能取±20，最大不超过±40。斜率相差不宜过大。 2、联线斜率可与固定元件、固有频率同。
第三节 校正方法与校正环节
一、校正方法
1、增益调整，G c (s ) =K
即在前向通道中串联比例环节K ，以改变开环增益。
a
c
b
c
ds
2、串联校正
在前向通道中串联校正环节G (s ) 。特点：0
1、G (s ) 一般加在低功率部分，目的是减少功率损耗；20、G (s ) 与G (s ) 之间一般要加放大器，以提高增益。 3、并联校正
10、H (s ) 可加在前向通道的任何部位； 0
2、无需加放大器，因为信号是由高功率向低功率部位流动。 4、顺馈校正 二、校正环节 （一）、无源串联校正环节（常用的是无源四端电路网络）
1、相位导前校正环节
c
c
c
c
U (s )
利用复阻抗概念Z (s ) =I (s )
U i (s ) -U 0(s ) =U AB (s )
=I 1(s ) ⎫1⎪
⎪
I (s ) =I 1(s ) +I 2(s ) U AB (s )
=I 2(s ) ⎬ 1⎪
⎪cs ⎭
U 0(s ) =I (s ). R 2U AB (s )
★★求四端电路网络传递函数：
R 2
(R 1cs +1)
R 2(R 1cs +1) R 1+R 2
φ(s ) =G c (s ) ==
R 2R 1R 2cs +(R 1+R 2)
R 1cs +1
R 1+R 2
α(R 1cs +1) α(Ts +1)
==αR 1cs +1αTs +1
其中T =
R 2
R 1c （时间常数），0
12
这是一个导前环节(Ts +1) 和一个惯性环节
1
，另一个比例环节α。 αTs +1
★★乃氏图分析 谐和传递函数：
α(1+j ωT ) α(1+αT 2ω2) αωT (1-α)
G c (j ω) ==+j =22222
1+j ωT α1+αT ω1+αT ω R e (ω) +jI m (ω)
由R (ω) 和I (ω) 知，R (ω) ＞0，I (ω) ＞0（α＜1）， 曲线在第一象限。
坐标平移后，经简化，可写成圆方程：
e
m
e
m
1+α2⎛1-α⎫2
[R e (ω) -]+I m (ω) = ⎪
2⎝2⎭
2
）
1-α1+α
圆心坐标（2, j 0）半径为（2
当ω=0，R (ω) =α ，I (ω) =0 当ω⇒∞，R (ω) =1，I (ω) =0 ϕ(ω) =∠G (j ω) =arctg ωT -arctg ωT α
e
m
e
m
c
c
没有滞后，相角为正，故称为该系统为导前环节，最大导前角ϕ(ω) 由下式求出。
m
令
d ϕc (ω) T αT 1
=0⇒-=0, ⇒ω=d ω1+ω2T 21+α2ω2T 2T
第三节 校正方法与校正环节
一．校正方法
1. 增益调整，G (s )=K =Φ(s ) 即在前向通道中串联比例环节K ，以改变开环增益。 2. 串联校正
在前向通道中串联校正环节G (s )。特点：1. G (s )一般加在低功率部分，目的是减小功率损耗；2. G (s )与G (s )之间一般要加放大器， 以提高增益。
3. 并联校正（局部反馈校正）
1°H (s )可加在前向通道的任何部位；
2°无需加放大器，因为信号由高功率向低功率部位流动。
4. 顺馈校正（复合控制系统）
二．校正环节
（一）无源串联校正环节（常用的是无源的端电路网络）
C
c
C
C
C
C
1. 相位导前校正环节 利用复阻抗概念
U AB (s )
2°R =I 1(s )
1
U (s )Z (s )=
I s
1°U i (s )-U 0(s )=U AB (s )
⇒I 1(s )+I 2(s )=I (s )
U AB (s )
3°1=I 2(s )
cs
4°U 0(s )=I (s )⋅R 2
求四端网络系统传函
R 2(R 1cs +1)ΦC (s )=G C (s )==R 1+R 2(R 1cs +1) R 2
(R 1cs +1)
R 2(R 1cs +1)R 1+R 2
=
R 2R 1R 2cs +(R 1+R 2)
R 1cs +1 R 1+R 2
α(R 1cs +1)α(TS +1)==αR 1cs +1αTS +1
R 2其中T =R 1c （时间常数），0＜α=R +R
12
＜1
这是一个导前环节（TSH ）和一个阶惯性环
1
节αTS +1，另一个比例环节α。
乃氏图分析 谐和
传函：
α(1+j ωT )α(1+αT 2ω2)αωT (1-α)G C (jw )==+j =R e (ω)+jI m (ω)222222
1+j ωT α1+αT ω1+αT ω
由R (ω)和I (ω)知，R (ω)＞0，I (ω)＞0 （α＜1），曲线在第Ⅰ象限
坐标平移后，经简化，可写成圆方程：
e
m
e
m
1+α⎤⎡⎛1-α⎫2
()()R ω-+I ω= ⎪m ⎢e ⎥2⎦⎣⎝2⎭
22
1+α⎛⎫⎛1+α⎫⎪。 , j 0⎪, 半径为 圆心坐标
⎝2⎭⎝2⎭
当ω=0时，R (ω)=α，I (ω)=0；
当ω→∞时，R (ω)=1，I (ω)=0。
ϕ(ω)=∠G (j ω)=arctg ωT -arctg ωT α＞0，没有滞后，相角为正，故称系统为导前环节，最大导前角ϕ(ω)由下式求出。
d ϕC (ω)T αT
=0⇒-=0⇒解及令22222
d ω1+ωT 1+αωT
e
m
e
m
C
C
m
ω=
T
1
1
（引用关系式
ϕm =arctg
1
-arctg =arctg
1+
-1
），
再利用1+tg 2
ϕ=1
cos 2，
1-sec 2ϕ=cos 2
ϕ
ϕ 关系，ϕ=ϕ(m )-1
1-α
m C
=sin 1+α
或者 α=1-sin ϕm
1+sin ϕ
。
m
导前角ϕm
是人们预先希望的校正值，然后求出α值，定出R 1和R 2即可。
对数坐标图
2
G α+ω2T 2
α1+⎛ ω⎫ω⎪⎝1⎪
⎭C (j ω)=
+α2ω2T 2
=
2
+⎛ ω⎫ ⎪⎝ω2
⎪⎭
＜ϕC (j ω)=arctg ωT -arctg αωT ＞0
因1
1α＜1，转角频率ω1=T ＜ω2=αT 即先是导前环节，后是惯性环节。
因α＜1，lg α＜0，在低频段有衰减功能。 当ω→∞时，G (j ω)→1，20lg 1=0，对高频段没有衰减作用。此系统称为高通德波器。ϕ是对ϕ(j ω)
C
m C
求导方法获得ϕm 和ω=
1T 。所谓中点，是相
。
1⎡11⎤1
lg +lg =lg 对对数坐标而来。即2⎢
T ⎥T ⎣2T ⎦
2. 相位滞后校正环节
1°U i (s )-U 0(s )=U AB (s )=E (s )
E (s )
2°R =I (s )
1
1
3°U 0(s )=I (s )⋅R 2+I (s )⋅cs
U 0(s )R 2cs +1
G C (s )== U i S ⎛R 1⎫
1+R ⎪⎪R 2cs +1
2⎭⎝
令
R 1
r=R2c 时间常数，β=1+R
2
＞1
TS +1
则G C (s )=βTS +1
1+j ωT 1+ω2βT 2ωT (β-1)G C (j ω)==-j 2222221+j ωT β1+βωT 1+ωβT
=R e (ω)=jI m (ω)
e
m
∵R (ω)＞0, I (ω)＜0, 特性曲线在第四象限。 ϕ(ω)=arctg ωT -arctg βωT ＜0
C
G C (j ω)又可写成（为绘制Bode 图）
1+j
ωG (j ω)=
ω2
C 1+j
ω
ω1
ω11=
βT
＜ω1
2=T
先是惯性环节，后是导前环节。
令d ϕC (ω)
1d ω=0，解得ω=Y β
ϕβ-1m =arcsin ββ 或者=
1-sin ϕm
+1
1+sin ϕm
这是一个低通滤波器（对高频段有衰减，对低频段无衰减。） 3. 滞后导前环节
1°U i (s )-U 0(s )=U AB (s )=E (s )
E (s 2°)R =I 1(s )1
E (s )3°1=I 2(s )
c 1s
4°U +I (s )⋅1⎛1⎫
0(s )=I (s )⋅R 2cs =I (s ) R ⎝
2+c s ⎪⎪⎭ 2
G C (s )=
⎛T 2⎫ (βT 2s +1) β+1⎪⎪⎝⎭
⎫
⎪
⎪＞1 ⎭
(T 2s +1)(T 1s +1)
T 1+T 2+T 3⎛T 1T 2
β=1+-2 2T 2T +T +T 123⎝
其中 T =R c ；T =R c ；T
Nyquist 图分析：
1
11
2
22
3
=R 1c 2
⎛ 1+
G (j ω)=⎝
⎛ 1+⎝
2
1
ω⎫⎛ω⎫ ⎪j 1+j ⎪⎪ ω2⎭⎝ω3⎪⎭ω⎫⎛ω⎫ ⎪j ⎪1+j ⎪ ω1⎭⎝ω4⎪⎭
1
设T ＞T ，ω
ω3
=
1βT 2
＜ω
2
=
1T 2
＜ω
3
=
1T 1
＜ω
4
=
β
T 2
圆半径
(β-1)(T 1+T 2)
2T 1+β2T 2
⎛(β+1)(T 1+T 2)⎫
圆心坐标 2T +β2T , j 0⎪⎪ 12⎝⎭
-1
ϕ=sin 最大导前、滞后角 m
β-1
β+1
从Boele 图上看，在低频段和高频段没有衰减，相当于“带阻滤波器”。 （二）有源串联校正环节
是由一个高增益运算放大器和四端网络组成。
1. 有源网络传递函数的一般形式
U 0(s )X 2(s )
Gc (s )=U s =-X s
i 1 其中X 1(s )、X 2(s )为复阻抗
2. 比例—积分校正环节（P —I 调节器） 这里X 1(s )=R 1，X 2(s )=R 2+
1R c s +1=22 c 2s c 2s
⎛R 2R 2c 2s +11⎫
G C (s )=-R 1c 2s =- R +R c s ⎪⎪ 12⎭⎝1
3. 比例—积分—微分校正环节（P —I —D 调节器）
R 2c 2s +1R 1
() X 1(s )=R c s +1，X 2s =c s
211
G C (s )=-
(R 1c 1s +1)(R 2c 2s +1)
R 1c 2s
=-
(τ1s +1)(τ2s +1)
Ts
⎛⎫1
=- k P ++T D s ⎪⎪T I s ⎝⎭
P
τ，
=R 2c 2
T =R c ，
12
其中k
=
τ1+τ2
T
T ，
I
=T
, T
D
=
τ1τ2
T
, τ
1
=R 1c 1
2
第四节 控制系统的增益调整
一、给定增益裕量Kg 在Nyquist 图上，
1
若G (j ω)曲线交负实轴于a ＜不够，oa =1。Kg
1
即Kg 大的不够，则需要串入比例环节，使得Kg 复成Kg (Kg 是希望的增益值) 。需要串入的增益为;
1
1
Kg 1ob 1
K C =oa =oa ⋅Kg =Kg
第五节 控制系统的串联校正
为什么要进行串联校正？
使不满足品质指标的系统达标。具体做法是在开环频率特性图上进行校正（Bode 图上），目的是解决以下三个问题：
1. 系统稳定，瞬态响应好，频率响应好，但定态精度性能差，即e ↑； 2. 定态精度好（e ↓），系统稳定或不稳定，但瞬态响应不理想；
3. 系统稳定，但定态精度性能差（e ↑），同时瞬态响应也不理想。
ss
ss
ss
针对第一个问题，串联校正的目的赢解决低频段的增益(K ↑→e ↓)。
针对第二个问题，串联校正的目的应使
ss
ωC =ωn
+4ξ4-2ξ2
，ωC ↑→ωn ↑
第六节 控制系统的局部反馈校正
一、局部反馈部分的等效传递函数 下图中，G (S)校正前的局部传递函数 H c(S)校正环节的传递函数
a
Z i 0
(s)
校正后的传递函数为：
G a (S )
G eq (S)=1+G (S ) H (S )
a c
10 H c (S)=Kc ~~比例环节~~称为硬反馈 0
2H c (S)= Kc S ~~ 微分环节~~称为软反馈 1、 硬反馈的等效传递函数
设H c (S)=Kc ，则等效传递函数一般公式为：
G a (S )
H eq (S ) =
1+K c ⋅G a (S )
10 G (S ) 为比例环节时，G a (S ) =K
a
a
则
K a
H eq (S ) =
1+K c ⋅K a
校正后仍是比例环节，只是增益有变化。
K a 0
2若G a (S)为积分环节，即G a (S ) =S
则
1
K eq K a K c
G eq (S ) ===
11+T eq S K a K c +S
1+S K a K c
校正后减为惯性环节，增益K eq
1
T =eq 时间常数K a K c
1
=
K c ，
对积分环节进行硬反馈校正，可以有效地减少相位滞后，增大相位裕量，且时间常数可通过改变K 来调整，非常方便。
c
K a
0 G (S ) 3为惯性环节，G a (S ) =1+T a S a
K a
K eq 1+K a K c
G eq (S ) ==
T a ⋅S T eq S +1 +11+K a K c
则
校正后仍是惯性环节，增益和时间常数都比原来减少（1+K K ）倍
对惯性环节进行硬反馈校正，可提高相位裕量。
40 若G (S)为振荡环节，
a
c
a
即G a (S ) =T 2S 2+2ξ
a
K a
T S +1a a
K a
1+K a K c
则G
eq
(S )
=⎛
⎫2⎛ξa
⎪S +2 +K K ⎪ +K K
a c a c ⎝⎭⎝
T a
2
⎫⎛T a
⎪
⎪ +K K
a c ⎭⎝
⎫
⎪S +1⎪⎭
=T
2
eq
S 2+2ξeq T eq S +1
K eq
校正后仍是振荡环节，增益减少到原来的1+K 倍，时间常数和阻尼比均减小到原来K K
a a
c
的
1+K a K c
倍。
2、软反馈的等效传递函数 H C (S )=K C S
等效传递函数一般公式为
G a (S )
G eq (S ) =K a ⋅SG a S +1
1G (S)为比例环节，即G (S)= K，则
a
a
a
K eq K a
=G eq (S ) =K a K c S +1T eq S +1
成为惯性环节，增益不变，时间常数
T eq =K a K c 2
K a
G a (S ) =T S +1，为惯性环节
a
K eq K a
=G eq (S ) =T a +K a K c S +1T eq S +1
仍为惯性环节
K a
0 G (S ) 3=S ，为积分环节 a
K a
K eq 1+K a K c =G eq (S ) =S S 仍为积分环节，
增益变化。 4
G a (S ) =
K a
T a S 2+2ξa T a S +1
K a
2
，为振荡环节， ⎫
⎪⎪T a S +1⎭
G eq (S ) =
⎛K a K c
T a S +2 ξ+ a
2T a ⎝
2
2
=T
K eq
2
eq
S 2+2ξeq T eq S +1
仍为振荡环节增益，时间常数无变化，
阻尼比增大。
第七节 控制系统的顺馈校正
一、 用顺馈校正补偿输入引起的偏差
Z i 0(s)
针对上图，
E (S ) =X i (S ) -H (S ) X 0(S ) =
X i (S ) -H (S )(E (S ) G 1(S ) +X i (S ) G x (S )) G 2(S ) =
1-G x (S ) G 2(S ) H (S )
X i (S )
1+G 1(S ) G 2(S ) H (S )
校
X 0(S ) [G 1(S ) +G x (S ) ]G 2(S )
Φ(S ) ==
X i (S ) 1+G 1(S ) G 2(S ) H (S )
从上式可看出，校正环节传递函数G (S ) 若
x
取G x (S ) =
1
时，通过校正，可使偏差G 2(S ) H (S )
1
E(S)=0。此时，Φ(S ) =H (S ) ，若能达到上述
要求，系统由输入量X (S ) 变化引起的一切定态、动态偏差都为零，系统跟随输入信号的灵敏性能达到最佳。
i
1
为了校正方便，可将G 2(S ) H (S )
展成泰勒级数（或用长除法）
1
=A 0+A 1S +A 2S 2+
G 2(S ) H (S )
取前K 项的和代替G (S ) 的理论值，即G xk (S ) =A 0+A 1S + A k S k ，
i A S 其中第i 项i （i=0,1,2……）的作用是消
除由于输入X (t ) 的i 阶速度引起的动态偏差。
x
i
通过上述代替，校正通道变为下图：
☆一般情况下，取k=2已能得到很好补偿效果。
☆此种方法不影响系统的稳定性。 二、用顺馈校正补偿负载引起的偏差
对下图图形：
E (S ) =X i (S ) -H (S ) X 0(S )
X 0(S ) =N (S ) W (S ) +[E (S ) -N (S ) G n (S ) ]G (S )
整理得：
X i (S ) +N (S ) H (S ) [G n (S ) G (S ) -W (S ) ]E (S ) ==E 1(S ) +E 2(S )
1+G (S ) H (S )
N (S ) H (S ) [G n (S ) G (S ) -W (S ) ]
其中E 2(S ) = 1+G (S ) H (S )
是由负载或干扰引起的偏差函数。 若校正环节传递函数
W (S )
G n (S ) =
G (S )
，则
E 2(S ) ⇒0，利用此方法可以消除由于负载或
干扰对系统的影响而产生的一切定态和动态偏差。
对G (S ) 可按G (S ) 的同样的方式以G (S ) 替代。
随机的，难用确切的数字W (S ) 是各类干扰，
表达式来描述。上述所有方案只是理论上的，故多用泰勒级数来逼近。
n
x
nk