柯西不等式另两种形式的应用
06-24
广东省中山一中高中部 许少华
柯西不等式是非常重要的不等式,它的应用很广泛、且应用过程也相当灵活,真正可以体现“数学是思维的体操”,本文介绍柯西不等式另两种形式的应用,供参考:
1.柯西不等式的向量形式
设
是两个向量,则
,当且仅当
是零向量或存在实数
,使
时,等号成立;这是柯西不等式的向量形式,下面谈谈这一形式在解题中的应用。
例1 已知
,若
恒成立,求
的最大值。
解析:设
,由
得:
,即
。
例2 设
,求
的最小值。
解析:设
。
由
得:
,
即
,故
的最小值为
。
例3 求函数
的最大值及最小值。
解析:由原函数式得
,设
,由
得
,
故最大值及最小值分别为
与
。
点评:对于上述三道例题都是通过构造向量,利用柯西不等式的向量形式完成求解的。恰当、合理的构造向量是求解的关键,有一定的灵活性,当然也有一定的难度,突破它要靠平时多留心、多积累。
2.柯西不等式的三角形式
设
都是实数,则
。此为柯西不等式的三角形式,可以借助三角形任意两边和大于第三边加以理解。下面谈谈这一形式在解题中的应用。
例4 求函数
的最小值。
解析:由
,
得
,
。
点评:在应用三角形式求最小值时,我们要注意两点:①在使用公式过程中,要能够抵消变量;②要尽可能的使定值最大。比如本题若变成
虽产生结论,但“2”并不是最小值。
例5 求函数
的最大值;
解析:由三角形式稍作变化,即得
,
由于
。
点评:在应用三角形式求最大值时,我们也要注意两点:①在使用公式过程中,要能够抵消变量;②要尽可能的使定值最小。比如本题若变成
虽产生结论,但
并不最大值。
至此,我们看出了柯西不等式另两种形式的应用,也许对你以后的解题会有所启发,使你的解题思路就得格外活跃。
2012-02-07 人教网