四边形 多边形的内角和
四边形 多边形的内角和
知识要点:
1. 四边形的有关概念:内角、外角、对角线、凸四边形。
2. 凸四边形:把四边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫凸四边形。如图(1)是凸四边形,下图(2)不是凸四边形。
图(1) 图(2)
我们只研究凸四边形和凸多边形。
3. 多边形的对角线, 四边形有两条对角线。如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是它的两条对角线。类似地我们可
以给出多边形对角线的概念,如图,五边形ABCDE 中,AC ,AD ,BD ,BE ,CE 是它的五条对角线。即
同样,我们可以计算出六边形有
我们可以得出n 边形的对角线有
=5(条)。 =9(条)对角线(请同学们自己动手画图)„„。条(n 为正整数)。
4. 四边形内角和定理:四边形内角和等于360°,(一条对角线将四边形分成两个三角形,由此推出四边形内角和为2×180°=360°)。
类似地我们可以得出五边形内角和为3×180°=540°,n 边形内角和等于(n-2)·180°(即多边形内角和定理)。
四边形外角和等于360°,任意多边形的外角和也是360°(多边形内角和定理的推论)。
5. 多边形的有关问题
多边形的内角和定理:n 边形的内角和为180°(n-2) 。
多边形的外角和定理:多边形的外角和为360°。
多边形的对角线:多边形共
注意问题 条对角线。
1、关于四边形的概念,可以仿照三角形,通过类比的分法来建立,但要注意的是,三角形的三个顶点确定一个平面,所以三顶点总是共面的,也就是说三角形一定是平面图形,但四边形就不是这样,它的四个顶点有不共面的情况,又限于我们现在研究的是平面图形,所以在四边形的定义加上“在同一平面内”这个条件。
2、三角形的三边确定后,三角形的形状就确定了,而四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变,四边形改变形状时,只改变某些角的大小,它的边长不变,周长不变,这正是四边形的不稳定性,但它仍是四边形,所以它的内角和不变。
例题分析
第一阶段
[例1]如图4—1—5,求:∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度数和。
思路分析:
一个不规则的几何图形,只有转化为规则的几何图形,才便于我们研究,考虑到四边形的内角和为定值,连结AD ,∠E、∠F转移至四边形中,六角之和为360°就一目了然了。
解:连结AD ,在△AOD和△EOF中,∵∠AOD与∠EOF是对顶角,∴∠E+∠F=∠OAD+∠ODA。又∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°。
[例2]如图4—1—7,AB 、BC 、CD 是三根长度分别为1cm 、2cm 、5cm 的木棒,它们之间连结处可以转动,现在A 、
D 之间拉一根橡皮筋,请根据四边形的不稳定性思考:这根橡皮筋的最大长度可以拉到________,最短长度为____________。根据这一思考方法,若一四边形的长度依次为3、7、x 、2, 则x 的取值范围是__________,若四边形长度依次为3、7、x 、5,则x 的取值范围是_________。
思路分析:
由于B 、C 两处可以转动,当A 、B 、C 、D 形成一条线段时,AD 最长,它等于1+2+5=8(cm),当A 、B 、C 拉直,此时B 、A 落在CD 上时,AD 最小,其值为2cm 。设四边形ABCD 的边分别为BC=3,CD=7,DA=x,AB=2,拉直B 、C 、D ,形成△DBA,则x 的取值范围是:3+7-2
答案: 8cm,2cm ,2
[例3]下列关于多边形的叙述:
(1)如果一个多边形的每个内角都相等,且都等于150°,那么这个多边形为12边形;
(2)如果一个多边形的每个外角都相等,且都等于60°,则这个多边形为六边形;
(3)如果一个n 边形有n 条对角线,则n 的值为5;
(4)存在一个多边形,其内角和为1900°,正确说法的序号是_____________。
思路分析:
(1)如果设这个多边形的边数为x ,由多边形内角和定理有(x-2)·180°=n150°,求得n=12,故(1)正确;
(2)由于多边形的外角和恒定为360°,360÷60=6,故说法(2)正确;
(3)n
边形的对角线的条数为,所以 ,求得n=5,说法(3)正确; (4)由多边形内角和公式知:其内角的度数和应是180°的整数倍,而1900不能被180整除,因此,说法(4)不正确。
答案:(1) (2) (3)。
第二阶段
[例4]如图4—2—1,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G的度数和为______________
。
思路分析:
若连结CF ,由三角形内角和定理有∠E+∠D的度数与∠DCF+∠EFC的度数相等,因此上述七角之和恰好为一个五边形的内角和,(5-2)·180°=540°。
答案: 540°
[例5]一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°,求这个多边形的边数。 思路分析:
多边形的内角和为180°的整数倍,而多边形的外角一定小于180°,注意到边数必为正整数这个隐含条件,可以利用不等式确定边数的范围,然后再通过边数为整数来确定边数。 解:
设边数为n ,这个外角为x°,则O
∵1350-180
即1170
又∵(n-2)·180
∴1170
∴8.5
又∵n为整数,
∴n=9。
[例6]一个多边形的内角和不可能是( )
A 、1800° B、360° C、1080° D、910°
思路分析:因多边形的内角和等于180°的整数倍,而910°不能被180°整除,故选D 。 答案:D
第三阶段
[例7]一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的边数是_________。
思路分析:多边形内角和、外角和定理。
解:设边数为n ,根据题意有
n·30°=360°,n=12。
故应填12.
[例8]一个多边形每一个内角都是144°,求此多边形的边数。
思路分析:
(思路一)设边数为n ,由内角和定理列方程求解;
(思路二)可先求出外角的度数,再由外角和定理求边数。
解法一:设多边形的边数为n ,根据题意,得
(n-2)·180°=n·144°,
∴n=10。
解法二:设多边形得边数为n ,
n(180°-144°)=360°,
∴n=10。
[例9]一块四边形玻璃被打碎成如图4.1—4所示的三块,带上哪一块到玻璃店可配出原样来? 思路分析:四边形由四条边组成。
解:带上第(1)块可配出原样。
例题分析:
例1、四边形最多有几个钝角?几个直角?几个锐角,最少有几个钝角?几个锐角?
分析:根据内角和定理来列举。
解:四边形中最多有三个钝角,四个直角、三个锐角,可以没有钝角和锐角。
假设有四个钝角,则它的内角和就大于360°,这和四边形内角和为360°矛盾,所以它最多有三个钝角,假设有四个锐角,则它的内角和又小于360°,故此也是错误的,最多只能有三个锐角。当然可以有四个直角,此时它是矩形(长方形),此时即没有钝角也没有锐角。
例2、已知四边形各内角之比为3:3:5:4,求四个内角。
分析:由四边形内角和定理知,四边形内角和为360°。依条件可设其内角为3x,3x,5x,4x, 根据题意得:3x+3x+5x+4x=360°,解这个一元方程即可。
解:设四个内角分别为3x,3x,5x,4x ,
则3x+3x+5x+4x=360°,x=24°,
∴3x=72°,5x=120°,4x=96°,
∴四边形各内角分别为72°,72°,120°,96°。
例3. 若一个多边形所有的内角与外角的和为1260°,求这个多边形的边数。
分析:多边形的边数与内角和的关系是由多边形内角和定理给出的。
解:设多边形的边数为n ,则由多边形内角和定理及推论得
(n-2)·180°+360°=1260°
(n-2)·180°=900°
n-2=5
∴n=7
答:这个多边形的边数为7。
例4、正多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多20°,则这个多边形的内角和是多少?
分析:这类题目的关键在于抓住多边形的边数、内角、外角及内角和、外角和这些量之间的关系,对多边形的内角和公式一定要熟悉。 解:设多边形的边数为n, 每个外角为x°,则其相邻的内角为(3x+20)°,
解得
180°(9-2)=1260°,
∴多边形的内角和为1260°。
例5. 一个多边形除一个内角外,其余各角和为2210°,求这个内角的度数及多边形的边数。 分析:考虑多边形的内角和与边数的关系,可以利用方程的思想来解决。
解:设这个多边形的边数为n ,这个内角的度数为x°
依题意得(n-2)·180°=x°+2210°
又∵0
∴2210°
∴12
∴14
∵n是整数,∴n=15
∴x°=(15-2)×180°-2210°=130°
答:这个内角度数为130°,多边形的边数为15。
例6. 一个多边形的每一个外角都等于72°,这个多边形是几边形?它的每个内角是多少度? 解:法一,设这个多边形的边数为n
∵每个外角都等于72°,∴每个内角=180°-72°=108°
∴(n-2)·180°=108°·n
解得n=5
答:这个多边形是五边形,每个内角为108°。
法二:设这个多边形的边数为n
依题意 n·72°=360°
n= =5
每个内角为180°-72°=108°
答:略。
说明:这两个解法同样是从不同的角度解决问题,显然法二比法一简单。看来,认真分析已知条件,选择好的解法是很重要的。
例7. 四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C,∠D的外角度数是75°,求∠A?
解:由已知∠D的外角为75°
∴∠D=180°-75°=105°
又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°(四边形内角和为360°)
∵∠A=∠B=∠C
∴3∠A+105°=360°
∴∠A=85°
答:∠A=85°。
例8、已知如图,在四边形ABCD 中,∠B和∠C的平分线相交于点O ,求证:∠BOC= (∠A+∠D) 分析:本题综合运用了三角形内角和定理,四边形内角和定理及角平分线等知识,通过等量代换及和,差计算证得结果。
证明:∵∠A+∠D+∠DCB+∠CBA=360°(四边形内角和定理)
∴∠DCB+∠CBA=360°-(∠A+∠D)
又∵∠1=
∴∠1+∠2= ∠DCB,∠2= ∠CBA [360°-(∠A+∠D)]=180°- (∠A+∠D) (∠DCB+∠CBA)=
又∵∠BOC+∠1+∠2=180°
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-[180°- (∠A+∠D)]= (∠A+∠D)
即:∠BOC= (∠A+∠D)。
测试
选择题
1.一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形的边数是为( )
A 、5 B 、6 C 、7 D 、8
2.九边形内角和以及外角和的度数分别为( )
A 、1260° 360° B、1080° 180°
C 、1260° 1080° D、1620° 360°
3.多边形内角和为2340°,则这个多边形的边数为( )
A 、13 B 、15 C 、18 D 、20
4.若一个多边形的每个内角都等于150°,则这个多边形的边数为(
A 、14 B 、10 C 、12 D 、15
5.一个多边形的内角和与它的外角和等于2700°,则这个多边形的边数为(
A 、13 B 、15 C 、16 D 、14
6.内角和等于外角和的多边形是( )边形。
A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
7.如果一个四边形四个内角之比是2:2:3:5,那么这四个内角中(
A 、只有一个锐角 B 、只有一个直角
C 、有两个直角 D、有两个钝角
8.若一个多边形从一个顶点可以引五条对角线,则它是( )边形。
A 、五 B 、六 C 、七 D 、八
9.一个多边形的边数增加,它的内角和也随着增加,而它的外角和(
A 、随着增加 B 、随着减少 )) ) )
C 、保持不变 D 、无法确定
10.四边形的四个内角可以都是( )
A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 D、以上答案都不对
答案与解析
答案:1、D 2、A 3、B 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、B 解析:
4. 若一个多边形的每个内角都等于150°,则每个相邻外角都是30°,因为外角和为360°,360÷30=12(边)。
7. 分析:四个内角之比是2:2:3:5, 所以设这个四边形的各个角分别为2x 、2x 、3x 、5x ,所以2x+2x+3x+5x=360,分别求出各角。
8. 若一个多边形从一个顶点可以引五条对角线,则这个多边形除了这个顶点和相邻两顶点外还有5个顶点,则它的边数为:5+3=8。
中 考 解 析
任意多边形的内角和为(n-2)·180°(这里n 表示边数),外角和是360°,需指出的是多边形内角和随边数的变化而变化,而外角和是一个定值,它不随边数的变化而变化,此类题目类型大致可分为:
(1)已知边数,求内角和。其方法是直接将边数代入公式即可。
(2)已知角度求边数。
若已知内角和,则直接用内角和公式列方程可求边数;
若已知一个内角的度数,则列出这个角度乘以n 等于(n-2)·180°的方程,求边数; 若已知一个外角的度数,则只需用外角和除以已知角的度数,即求出边数;
若已知内、外角和的度数之比,则利用
等于已知比,可求边数。
例1.如果一个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边形是( )
A 、三角形 B 、四边形 C 、五边形 D 、六边形
解:多边形外角和为360°,设这个多边形的边数为n,
由题意,可知有(n-2)·180°=360°,
解之,得n=4。
故选B 。
例2.一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形是( )。
A 、四边形 B 、五边形 C 、六边形 D 、七边形
解:设这个多边形的边数为n, 则依题意有
(n-2)·180°=720°,
解之,得n=6。
故选C 。
例3.如果一个多边形的外角和等于它的内角和的一半,那么这个多边形的边数是 ( )
A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
解:设这个多边形的边数为n, 则依题意,有
解之,得n=6. 故选D 。 =360°,
例4.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8
解:设这个多边形的边数为n, 则依题意,有(n-2)·180°=360°×3-180°,
解得n=7。 故选C 。
练习题
1、在平面内,由不在同一直线上的四条线段________组成的图形叫做四边形。
2、在四边形中,连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的____________。
3、四边形________的角叫四边形的内角,四边形的内角和等于_________。
4、四边形________的角叫四边形的外角,四边形的外角和等于________。
5、一个六边形的内角和等于_______度,外角和等于_______度。
6、一个多边形每增加一边,其内角和增加_______,其外角和__________(变或不变)。
7、n 边形n 个内角与某一个外角总和1350°,则n 等于( )
A、6 B、7 C、8 D、9
8、一个多边形共有14条对角线,那么这个多边形的边数为( )
A 、5 B、6 C、7 D、8
9、下列关于四边形的说法,
(1)四边形中至少有一个角不是钝角;
(2)延长四边形的某一边得直线L ,若其余各边都在L 的同侧,则这个四边形是凸四边形;
(3)四边形的四个外角中至少有两个钝角;
(4)四边形中,如果四条边长确定,那么该四边形惟一确定,其中正确说法的个数为( )
A 、0 B、1个 C、2个 D、3个
10、一个四边形四个内角之比为1:2:3:4,下列说法:
(1)这个四边形有两个钝角;
(2)这个四边形是凸四边形;
(3)这个四边形最小的内角为36°;
(4)这个四边形四条边之比也恰好为1:2:3:4,其中正确说法的个数为( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、无法确定
11、一个四边形的四个外角之比为2:3:5:8,下列说法:
(1)这个四边形的最小外角为40°;
(2)这个四边形的最大内角为160°;
(3)这个四边形的最大外角为160;
(4)这个四边形的四个内角的度数与四个外角的度数有着相同的数值,其中错误说法的序号为( )
A 、(1)和(3) B、(1)和(4) C、(2)和(3) D、(2)和(4)
12、四边形ABCD 中,如果AD∥BC,那么∠A:∠B:∠C:∠D可以等于( )
A、3:5:6:4 B、3:4:5:6 C、4:5:5:4 D、6:6:4:3
13、下列说法:
(1)多边形中至少有一个角不是钝角;
(2)多边形的外角和随着边数的增加而增加;
(3)六边形的六个内角中至少有三个钝角;
(4)多边形的外角中至少有一个锐角;
(5)如果把一个多边形的边数增加,则所有外角的平均值将减小,其中正确说法的个数是( )
A 、1 B、2 C、3 D、4
14、五边形ABCDE 中,∠A:∠B:∠C:∠D:∠E=2:3:4:5:6,则最大角为( )
A 、150° B、135° C、162° D、54°
15、一个多边形除了一个内角外,其余各角之和为2570°,则这个内角的度数为( )
A 、30° B、105° C、130° D、120°
16、有两个多边形,如果它们都是各边相等、各内角相等的多边形,且这两个多边形的边数之比为1:2,内角和之比为3:8,则这两个多边形的边数分别是( )
A 、4、8 B、5、10 C、6、12 D、7、14
参考答案
1、首尾顺次相接
2、对角线
3、相邻两边所组成 360°
4、的一边与另一边的延长线所组成,360°
5、720°,360°
6、180°,不变
7—11 D C C C D
12—16 C A C C B