2017高考天津卷数学卷(理)及答案

2017天津卷（理）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合A ={1,2,6},B ={2,4},C ={x ∈R |-1≤x ≤5}，则(A B ) C = （A ）{2}（B ）{1, 2, 4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{x ∈R |-1≤x ≤5}

⎧2x +y ≥0, ⎪x +2y -2≥0, ⎪

（2）设变量x , y 满足约束条件⎨则目标函数z =x +y 的最大值为

⎪x ≤0, ⎪⎩y ≤3,

（A ）

23

（B ）1（C ）（D ）3 32

（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为

（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 （4）设θ∈R ，则“|θ-

ππ1

|

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

x 2y 2

（5）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左焦点为F

，离心率为. 若经过F 和

a b P (0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2

-=1（B ）-=1（C ）-=1（D ）-=

1（A ）

44884884

g (x ) =xf (x ) . 若a =g (-log 25.1) ，c =g (3)，（6）已知奇函数f (x ) 在R 上是增函数，b =g (20.8) ，

则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a

（B ）c

（C ）b

（D ）b 5π11π

) =2，f () =0，88

（7）设函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ) ，x ∈R ，其中ω>0，|ϕ|

1

3

2π，ϕ= 3127π

24

（B ）ω=

211π，ϕ=- 312111π

（C ）ω=，ϕ=-

243

（D ）

ω=，ϕ=

⎧x 2-x +3, x ≤1,

⎪x

（8）已知函数f (x ) =⎨设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x ) ≥|+a |在R 上恒2

2⎪x +, x >1.

x ⎩

成立，则a 的取值范围是 （A ）[-

47

,2] 16

（B ）[-

4739

, ] （C

）[- 1616

（D

）[-39 ]16

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若

a -i

为实数，则a 的值为 . 2+i

（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .

θ-（11）在极坐标系中，直线4ρcos(

___________.

π

) +1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为6

a 4+4b 4+1

（12）若a , b ∈R ，ab >0，则的最小值为___________.

ab

（13）在△ABC 中，∠A =60︒，AB =3，AC =2. 若BD =2DC ，

AE =λAC -AB (λ∈R ) ，且AD ⋅AE =-4，则λ的值为___________.

（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的

四位数，这样的四位数一共有___________个. （用数字作答）

三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）

在△ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c . 已知a >b ，a =5, c =6，sin B =（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin(2A +) 的值. 16. （本小题满分13分）

从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为

3

. 5

π4

111, , . 234

（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. （17）（本小题满分13分）

如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC =90︒. 点D ，E ，N 分别为棱P A ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；

（Ⅲ）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE

长.

AH 的

18. （本小题满分13分）

已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *) ，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12, b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4. （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和(n ∈N *) .

（19）（本小题满分14分）

x 2y 21

设椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为. 已知A 是抛物线

2a b 1

y 2=2px (p >0) 的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为.

2

（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II ）设l 上两点P ，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ Q 关于x 轴对称，

与x 轴相交于点D . 若△

APD

（20）（本小题满分14分）

AP 的方程. 设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f (x ) =2x +3x -3x -6x +a 在区间(1,2) 内有一个零点x 0，g (x ) 为f (x ) 的导函数. （Ⅰ）求g (x ) 的单调区间；

（Ⅱ）设m ∈[1, x 0) (x 0,2]，函数h (x ) =g (x )(m -x 0) -f (m ) ，求证：h (m ) h (x 0)

432

p

∈[1,x 0) (x 0, 2],满q

足|

p 1-x 0|≥. q Aq 4

天津理数答案

1-4BDCA 5-8BCAA 9.−2； 10.

9π； 2

11.2； 12.4； 13.

3； 11

34

，可得cos B =. 由已知及余弦定55

14.1080

15. （Ⅰ）解：在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B =

222

理，有b =a +c -2ac cos B =

13，所以b =由正弦定理

a b a sin B =,

得sin A =. =sin A sin B b 所以，b

，sin A

. 12，所以sin 2A =2sin A cos A =，

13（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a

c ，得cos A =

cos 2A =1-2sin 2A =-

5πππ.

故sin(2A +) =sin 2A cos +cos 2A sin =. 1344426

16. （Ⅰ）解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.

1111

P (X =0) =(1-) ⨯(1-) ⨯(1-) =，

[**************]

P (X =1) =⨯(1-) ⨯(1-) +(1-) ⨯⨯(1-) +(1-) ⨯(1-) ⨯=，

[1**********]

1111111111

P (X =2) =(1-) ⨯⨯+⨯(1-) ⨯+⨯⨯(1-) =，

[1**********]111

P (X =3) =⨯⨯=.

23424

所以，随机变量X 的分布列为

+2⨯+3⨯=. 随机变量X 的数学期望E (X ) =0⨯+1⨯

42442412

（Ⅱ）解：设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事

件

的

概

率

为

P (+Y =1Z ) =P (=Y 0= Z +

=

11111111⨯+⨯=. 42424448

11. 48

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为

（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.

如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐

标系. 依题意可得

A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）.

（Ⅰ）证明：DE =（0，2，0），DB =（2，0，-2）. 设n =(x , y , z ) ，为平面BDE 的法向量，

⎧n ⋅⎧2y =0⎪DE =0

n =(1,0,1)MN 则⎨ ，即. 不妨设，可得. 又=（1，2

，-1），可得z =1 ⎨

2x -2z =0⎩⎪⎩n ⋅DB =0

MN ⋅n =0.

因为MN ⊄平面BDE ，所以MN //平面BDE .

（Ⅱ）解：易知n 1=(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量. 设n 2=(x , y , z ) 为平面EMN 的法向量，

⎧n ⋅EM =0⎧-2y -z =0⎪

则⎨2 ，因为，，所以. 不妨设y =1，EM =(0,-2, -1) MN =(1,2, -1) ⎨

x +2y -z =0⎩⎪⎩n 2⋅MN =0

可得n 2=(-4,1, -2) .

因此有cos =

n 1⋅n 2=sin =.

|n 1||n

2|所以，二面角C —EM —N

.

（Ⅲ）解：依题意，设AH =h （0≤h ≤4），则H （0，0，h ），进而可得NH =(-1, -2, h ) ，

|NH ⋅BE |=，整理得BE =(-2,2,2) . 由已知，

得|cos |=|NH ||BE |10h 2-21h +8=0，解得h =

81

，或h =. 52

81

所以，线段AH 的长为或.

25

18. 【解析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .

由已知b 2+b 3=12，得b 1(q +q 2) =12，而b 1=2，所以q +q -6=0. 又因为q >0，解得q =2. 所以，b n =2n . 由b 3=a 4-2a 1，可得3d -a 1=8①. 由S 11=11b 4，可得a 1+5d =16②，

联立①②，解得a 1=1，d =3，由此可得a n =3n -2.

所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n -2，数列{b n }的通项公式为b n =2n . （II ）解：设数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为T n ，

由a 2n =6n -2，b 2n -1=2⨯4n -1，有a 2n b 2n -1=(3n -1) ⨯4n ， 故T n =2⨯4+5⨯42+8⨯43+ +(3n -1) ⨯4n ，

2

4T n =2⨯42+5⨯43+8⨯44+ +(3n -4) ⨯4n +(3n -1) ⨯4n +1，

上述两式相减，得-3T n =2⨯4+3⨯42+3⨯43+ +3⨯4n -(3n -1) ⨯4n +1

12⨯(1-4n ) =-4-(3n -1) ⨯4n +1

1-4

=-(3n -2) ⨯4n +1-8.

得T n =

3n -2n +18

⨯4+. 33

3n -2n +18

⨯4+. 33c 1p 11

a -c =，c =，19. （Ⅰ）解：设F 的坐标为(-c ,0) . ==a ，解得a =1，

22a 22

3

p =2，于是b 2=a 2-c 2=.

4

所以，数列{a 2n b 2n -1}的前n 项和为

4y 2

=1，抛物线的方程为y 2=4x . 所以，椭圆的方程为x +3

2

（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为x =my +1(m ≠0) ，与直线l 的方程x =-1联立，可得点

4y 2222

P (-1, -) ，故Q (-1, ) . 将x =my +1与x +=1联立，消去x ，整理得

m m 3

(3m 2+4) y 2+6my =0，解得y =0，或y =

-6m

. 由点B 异于点A ，可得点

3m 2+4

-3m 2+4-6m 2

Q (-1, ) ，可学*科. 网得直线BQ 的方程为B (, ) . 由

m 3m 2+43m 2+4

-6m 2-3m 2+422-3m 2

(2-)(x +1) -(+1)(y -) =0，令y =0，解得x =，故3m +4m 3m 2+4m 3m 2+2

2-3m 22-3m 26m 2△

APD =D (2,0) . 所以|AD |=1-2. 又因为3m +23m 2+23m +2

16m 22，

整理得3m 2-m |+2=0，

解得|m |=，

所以m =. ⨯2⨯=

23m +2|m |所以，直线AP

的方程为3x -3=

0，或3x -3=0.

20. （Ⅰ）解：由f (x ) =2x +3x -3x -6x +a ，可得g (x ) =f '(x ) =8x +9x -6x -6， 进而可得g '(x ) =24x +18x -6. 令g '(x ) =0，解得x =-1，或x =当x 变化时，g '(x ), g (x ) 的变化情况如下表：

2

4

3

2

3

2

1. 4

所以，g (x ) 的单调递增区间是(-∞, -1) ，(, +∞) ，单调递减区间是(-1, ) . （Ⅱ）证明：由h (x ) =g (x )(m -x 0) -f (m ) ，得h (m ) =g (m )(m -x 0) -f (m ) ，

44

h (x 0) =g (x 0)(m -x 0) -f (m ) .

令函数H 1(x ) =g (x )(x -x 0) -f (x ) ，则H 1'(x ) =g '(x )(x -x 0) . 由（Ⅰ）知，当x ∈[1,2]时，g '(x ) >0，故当x ∈[1, x 0) 时，H 1'(x )

H 1'(x ) >0，H 1(x ) 单调递增. 因此，当x ∈[1, x 0) (x 0,2]时，

H 1(x >) H x =) -1(0f (0，可得x =) H 01(m ) >0, 即h (m ) >0.

令函数H 2(x ) =g (x 0)(x -x 0) -f (x ) ，则H 2'(x ) =g (x 0) -g (x ) . 由（Ⅰ）知，g (x ) 在故当x ∈[1, x 0) 时，H 2'(x ) >0，H 2(x ) 单调递增；当x ∈(x 0,2]时，[1,2]上单调递增，

H 2'(x )

可得H 2(m )

（III ）证明：对于任意的正整数p ，q ，且

p

∈[1, x 0) (x 0, 2]， q

令m =

p

，函数h (x ) =g (x )(m -x 0) -f (m ) . q

由（II ）知，当m ∈[1, x 0) 时，h (x ) 在区间(m , x 0) 内有零点； 当m ∈(x 0,2]时，h (x ) 在区间(x 0, m ) 内有零点.

所以h (x ) 在(1,2) 内至少有一个零点，不妨设为x 1，则

p p

h (x 1) =g (x 1)(-x 0) -f () =0.

q q

由（I ）知g (x ) 在[1,2]上单调递增，故0

p p f () |f () |

p |2p 4+3p 3q -3p 2q 2-6pq 3+aq 4|q q

|≥=于是|-x 0|=|.

q g (x 1) g (2) g (2) q 4

因为当x ∈[1, 2]时，g (x ) >0，故f (x ) 在[1,2]上单调递增， 所以f (x ) 在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点，而

p p

≠x 0，故f () ≠0.

q q

又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q -3p 2q 2-6pq 3+aq 4|是正整数， 从而|2p 4+3p 3q -3p 2q 2-6pq 3+aq 4|≥1. 所以|

p 1p 1

. 所以，只要取，就有. -x 0|≥|-x |≥A =g (2) 0

q g (2) q 4q Aq 4