概率论第三章主要内容--西南财经大学数学专业

概率论主要内容

第三章 多维随机变量及其分布

主要内容：

一．两类变量：离散、连续

二维离散随机变量，全部可能取值为有限个或可列无限个，一般用联合概率函数刻画，求概率时用联合概率函数求和。

二维连续随机变量，一般用联合密度函数刻画，求概率时用联合密度函数的二重积分。

二．三个函数：概率函数、密度函数、分布函数，各自的联合、边际、条件分布

概率函数，联合分布P {X =x i , Y =y j }=p ij , i , j =1, 2, L ，

边际分布p i ⋅=∑p ij ，p ⋅j =∑p ij ， j i

条件分布P {X =x i |Y =y j }=

密度函数，联合分布p (x , y ) ， p ij p ⋅j , i =1, 2, L ，P {Y =y j |X =x i }=p ij p i ⋅, j =1, 2, L 。

边际分布p X (x ) =∫p (x , y ) dy ，p Y (y ) =∫p (x , y ) dx ， −∞−∞+∞+∞

条件分布p X (x |Y =y ) =

当p (x , y ) =⎨p (x , y ) p (x , y ) ，p Y (y |X =x ) =， p Y (y ) p X (x ) ⎧f (x , y ), (x , y ) ∈D ; 时， (x , y ) ∉D . ⎩0,

其中D ={(x , y ) :a

ϕ2(x ) ψ2(y ) ⎧⎧f (x , y ) dx , c

⎪⎪0, 其他. 0, 其他. ⎩⎩

f (x , y ) ⎧, ψ1(y )

f (x , y ) ⎧, ϕ1(x )

分布函数，联合分布F (x , y ) =P {X ≤x , Y ≤y }，

边际分布F X (x ) =F (x , +∞) ，F Y (y ) =F (+∞, y ) ，

条件分布F X (x |Y =y ) =lim P {X ≤x |y ≤Y ≤y +ε}， ε→+∞

F Y (y |X =x ) =lim P {Y ≤y |x ≤X ≤x +ε}。 ε→+∞

三．四种重要分布：二维均匀、二维正态、多项、多维超几何

二维均匀分布，联合密度函数是在支撑区域内取该区域面积的倒数，实际背景是二维几何概型，求概率用面积之比。

2, ρ) ，联合密度函数为 二维正态分布N (µ1, µ2, σ12, σ2

p (x , y ) =1

2πσ1σ2−ρ2−e ⎡⎛x −µ⎞2y −µ21⎟−2ρx −µ1y −µ2⎛⎜⎜⎟⎜⎢⎜σσ1σ2⎝σ22(1−ρ) ⎣⎝1⎠1⎞⎟⎟⎠2⎤⎥⎥⎦，

2其中µ1, µ2分别是X , Y 的数学期望，σ12, σ2分别是X , Y 的方差，ρ是X 与Y 的相关系数。

四．二维随机变量函数的分布：离散、连续

离散情形，根据(X , Y ) 的联合概率分布，找出Z =g (X , Y ) 的全部可能取值，将重复取值合并，对应概率相加。

连续情形，若z =g (x , y ) 为一般函数，用分布函数法，F Z (z ) =P {Z =g (X , Y ) ≤z }=∫∫p (x , y ) dxdy ，

g (x , y ) ≤z

关键是求满足不等式g (x , y ) ≤z 的区域，首先根据z 从−∞到+∞取值时曲线簇g (x , y ) =z 与支撑区域的相交情况确定z 的分段点，再在z 的各分段区间内根据曲线簇g (x , y ) =z 所经过的范围确定二重积分区域，最后计算二重积分F Z (z ) =

g (x , y ) ≤z ∫∫p (x , y ) dxdy 。若z =g (x , y ) 关于某一变量严格单调，用

+∞

−∞′(z , y ) |dy ；增补变量法，将另一变量作为增补变量。关于x 严格单调时，p Z (z ) =∫p (h (z , y ), y ) ⋅|h z

′(x , z ) |dx 。首先类似于分布函数法确定z 的分段点，关于y 严格单调时，p Z (z ) =∫p (x , h (x , z )) ⋅|h z −∞+∞

再在z 的各分段区间内根据曲线g (x , y ) =z 在支撑区域中的一段曲线确定y 或x 的积分区间最后计算定积分。

五．数字特征：期望、方差与标准差、协方差与相关系数，条件期望与条件方差

期望E (X ), E (Y ) ，反映平均值，期望具有线性性质E (aX +bY ) =aE (X ) +bE (Y ) ，当X 与Y 独立时满足E (XY ) =E (X ) E (Y ) 。

方差Var(X ), Var(Y ) ，反映波动程度，方差具有平方性质和平移不变性Var(aX +b ) =a 2Var(X ) ，且Var(X ±Y ) =Var(X ) +Var(Y ) ±2Cov(X , Y ) ，当X 与Y 独立时满足Var(X ±Y ) =Var(X ) +Var(Y ) 。

协方差Cov(X , Y ) =E [X −E (X )][Y −E (Y )]=E (XY ) −E (X ) E (Y ) ，反映X 与Y 的相关关系，协方差具有乘积性质和平移不变性Cov(aX +b , cY +d ) =ac Cov(X , Y ) ，当X 与Y 独立时满足Cov(X , Y ) =0，称为X 与Y 不相关，独立必不相关，但不相关不一定独立（二维正态情形，独立等价于不相关）。 相关系数Corr(X , Y ) =Cov(X , Y ) ，反映X 与Y 相关关系的相对量，满足|Corr(X , Y ) |≤1且Var(X ) Var(Y )

当Corr(X , Y ) =±1时，存在常数a , b 使得P {Y =aX +b }=1，即X 与Y 完全线性相关。若Corr(X , Y ) 越接近0，则X 与Y 相关关系越弱；若Corr(X , Y ) 越接近±1，则X 与Y 相关关系越强。

条件期望E (X |Y ) 与条件方差Var(X |Y ) ，关于条件分布求期望与方差。设X 与Y 独立，则E (X |Y ) =E (X ) ；设g (y ) 为函数，则E [g (Y ) |Y ]=g (Y ) 。重期望公式与条件方差公式

E (X ) =E [E (X |Y )]，Var(X ) =E [Var(X |Y )]+Var[E (X |Y )]

常用于计算复杂随机变量的期望与方差，若一个复杂随机变量X 依赖于简单随机变量Y ，则计算X 的期望与方差可用重期望公式与条件方差公式化为计算简单随机变量Y 函数的期望与方差。

重点：

求概率：离散用求和、连续用二重积分

求边际分布与条件分布：连续情形下的计算公式

重要分布：记住二维均匀、二维正态分布的联合密度函数

求期望方差协方差：离散用求和、连续用二重积分

求复合随机变量的期望方差：重期望公式与条件方差公式

随机变量函数：连续情形下，一般函数的分布函数法与单调函数的增补变量法