三角形的中位线
思路导航:(1)证明△ABN≌△ADN,即可得出结论;(2)先判断MN是△BDC的中位线,从而求出CD的长,再计算△ABC的周长即可。
答案:(1)证明:∵BN⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°,在△ABN和△ADN中,⎧⎪∠1=∠2∵⎨AN=AN,∴△ABN≌△ADN,∴BN=DN; ⎪⎩∠ANB=∠AND
(2)解:∵△ABN≌△ADN,∴AD=AB=10,
由(1)知DN=BN,又∵点M是BC中点,∴MN是△BDC的中位线, ∴CD=2MN=2×3=6,
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41。
点评:本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定,注意培养数学灵感,一般出现高、角平分线重合的情况,都需要找等腰三角形;出现三角形某边的中点,常常构造三角形的中位线。
例题2 如图,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC的中点,D、E为BC
【总结提升】
因为三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,是线段间的位置(平行)
1
2中经常用到。
任意一个三角形都有三条中位线,与之相关的结论有:
结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这个夹角所对的三角形的顶角相等。
*4. 如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,则∠PFE的度数是( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
二、填空题
5. 如图,AB∥CD,∠A=60°,∠C=25°,G、H分别为CF、CE的中点,则∠1=__________度。
*6. 如图,已知△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点E为AC的中点,请你写出一个正确的结论:__________。
三、解答题
7. 如图,在△ABC中,AB=BC=12cm,∠ABC=80°,BD是∠ABC的平分线,点E是AB边的中点。
(1)求∠EDB的度数;(2)求DE的长。
**8. 已知:如图,等边△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P。
(1)求证:DP=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长。