三角函数及导数试题
一.选择题(36分,每小题3分)
1.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A .120° B .150° C .180° D .240°
2.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的形状为
A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .不确定
3.若函数f (x ),g (x )满足g (x )为区间
[﹣1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:①(f x )=sinx ,g (x )=cosx ;
②f (x )=x+1,g (x )=x﹣1;③f (x )=x,g (x )=x,其中为区间[﹣1,1]上的正交函数的组数是 A .0 B .1 C .2 D .3
4.设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (﹣1)=0,当x >0时,xf ′(x )﹣f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 A .(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B .(﹣1,0)∪(1,+∞) C .(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D .(0,1)∪(1,+∞) 5.已知函数f (x )=Asin(ωx+φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=
时,函数f (x )取得最
2
C
D
⎰
1
-1
,f (x ) g (x ) dx =0,则f (x )
9.函数f (x )=sinx在区间(0,10π)上可找到n 个不同数x 1,x 2,…,x n ,使得
f (x n ) f (x 1) f (x 2)
则==...... =
x 1x 2x n
n 的最大值等于
A .8 B .9 C .10 D .11
10.若函数f (x )=sinωx (ω>0)在区间递增,在区间C .2 D .3
11. “a=1”是“函数y =cos ax -sin ax 的最小正周期为π”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件
2
2
上单调B .
上单调递减,则ω= A .
小值,则下列结论正确的是
A .f (2)<f (﹣2)<f (0) B .f (0)<f (2)<f (﹣2)
C .f (﹣2)<f (0)<f (2) D .f (2)<f (0)<f (﹣2)
6. “a ≤﹣1”是“函数f (x )=lnx+ax+在[1,+∞)上是单调函数”的
A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 7.函数y=sin(ωx+φ)(x ∈R ,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图,则 A .ω=C .ω=
,φ=,φ=
B .ω=
,φ=,φ=
o s 12.若c
θ
3θ4
=, s i n =-则角θ的终边一定落在直线2525
上.
A .7x+24y=0 B .7x ﹣24y=0 C .24x+7y=0 D .24x ﹣7y=0
二.填空题(12分,每小题3分)
x x
13.设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e )=x+e,
则f ′(1)= .
14.已知f (x ) =sin(ωx +
π
3
) (ω>0),
f () =f () ,且(f x )在区间(, ) 6363
上有最小值,无最大值,则ω=. 15.设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且g (x )≠0,当x <0时f '(x ) g (x ) >f (x ) g '(x ) ,
ππππ
D .ω=
8.如图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周,点P 所旋转过的弧l ,弦AP 的长为d ,则函数d=f(l )的图象大致为
A
B
解集是 .
的长为
且f (-3) =0,则不等式
f (x )
16.如图,y=f(x )是可导函数,直线l 是曲线y=f(x )在x=4处的切线,令g (x )=
,则g ′(4)
=
三.解答题(64分,17-20题每题11分,21、22每题10分) 17.设函数f (x ) =ln x +
π
x
,m ∈R .
(Ⅰ)当m=e(e 为自然对数的底数)时,求f (x )的极小值;
(Ⅱ)讨论函数g (x ) =f ' (x ) -(Ⅲ)若对任意b >a >0,求m 的取值范围.
x
零点的个数; 3
<1恒成立,
e x 2
18.设函数f (x ) =2-k (+ln x ) (k 为常数,
x x
e=2.71828…是自然对数的底数).
(Ⅰ)当k ≤0时,求函数f (x )的单调区间;
(Ⅱ)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.
x 2
-k ln x k >0. 19.设函数f (x ) =2
(1)求f (x )的单调区间和极值;
(2)证明:若f (x )存在零点,则f (x )在区间(1,)上仅有一个零点.
20.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足2asinA=(2b ﹣c )sinB+(2c ﹣b )sinC . (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若a=2,b=2,求△ABC 的面积.
21.在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长;(2)求sin2C 的值. 22.已知函数f (x )=sin(2x ﹣
)+2cosx ﹣1.
2
(Ⅰ)求函数f (x )的单调增区间;
(Ⅱ)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且a=1,b+c=2,f (A )=,求△ABC 的面积. 四、选做题(共8分) 23.【选修4-4 坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x 轴的正半轴重合,直线l 的极坐标方程为:方程为:
(α为参数).
,曲线C 的参数
(I )写出直线l 的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.
必做题答案:1-6 CACAAA 13.2 14.
7-12 CCCBAD
∴m ≥﹣x +x=﹣
2
+(x >0),∴m ≥;对于
15.(-∞, -3) (0, 3) 16.-
m=,h ′(x )=0仅在x=时成立;∴m 的取值范围是[,
17. 解:(Ⅰ)当m=e时,f (x )=lnx+,∴f ′(x )=
;
+∞).
18. 解:(Ⅰ)f (x )的定义域为(0,+∞),∴f ′(x )∴当x ∈(0,e )时,f ′(x )<0,f (x )在(0,e )上是减
函数;
=
﹣k (﹣
)
当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(e ,+∞)上是增函数;
∴x=e时,f (x )取得极小值为f (e )=lne+=2; =
(x >0),
(Ⅱ)∵函数g (x )=f′(x )﹣=﹣
﹣(x >0),
当k ≤0时,kx ≤0,∴e x
﹣kx >0,令f ′(x )=0,则x=2,∴
当0<x <2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x >2时,令g (x )=0,得m=﹣x 3
+x(x >0);设φ(x )=﹣x 3
+xf ′(x )>0,f (x )单调递增,
∴f (x )的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,(x >0),
+∞).
∴φ′(x )=﹣x 2
+1=﹣(x ﹣1)(x+1);
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,k ≤0时,函数f (x )在(0,2)内单当x ∈(0,1)时,φ′(x )>0,φ(x )在(0,1)上是增调递减,
函数,
故f (x )在(0,2)内不存在极值点;当k >0时,设函数当x ∈(1,+∞)时,φ′(x )<0,φ(x )在(1,+∞)上g (x )=ex
﹣kx ,x ∈[0,+∞).
是减函数;
∵g ′(x )=ex ﹣k=ex ﹣e lnk
,当0<k ≤1时,当x ∈(0,2)
∴x=1是φ(x )的极值点,且是极大值点,
时,g ′(x )=ex
﹣k >0,y=g(x )单调递增,故f (x )在∴x=1是φ(x )的最大值点,∴φ(x )的最大值为φ(1)(0,2)内不存在两个极值点;当k >1时,
=;
得x ∈(0,lnk )时,g ′(x )<0,函数y=g(x )单调递减,x ∈(lnk ,+∞)又φ(0)=0,结合y=φ(x )的图象,如图; 时,g ′(x )>0,函数y=g(x )单调可知:①当m >时,函数g (x )无零点; 递增,∴函数y=g(x )的最小值为g (lnk )=k(1﹣lnk )函数f (x )在(0,②当m=时,函数g (x )有且只有一个零点; 2)内存在两个极值点
当且仅当
③当0<m <时,函数g (x )有两个零点; 解得:e
④当m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点; 综上,当m >时,函数g (x )无零点;
综上所述,函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时,k 当m=或m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点;当0的取值范围为(e ,
)
<m
<
时,函数g (x )有两个零点;
19. 解:(1)由f (x )=
(Ⅲ)对任意b >a >0,
<1恒成立,等
f' (x )=x﹣由f' (x )=0解得x=
f (x )与f'
价于f (b )﹣b <f (a )﹣a 恒成立;设h (x )=f(x )﹣x=lnx+﹣x (x >0),则h (b )<h (a ). (x )在区间(0,+∞)上的情况如下:
X (o ,
)
∴h (x )在(0,+∞)上单调递减;∵h ′(x )=﹣﹣1≤0
f' (x ) ﹣ 0
在(0,+∞)上恒成立,
f (x )
↓
(
所以,f (x )的单调递增区间为(区间为(0,); f (x )在x=
处的极小值为f (
)=
),单调递减22. 解:
(Ⅰ)因为
=
.
=
,从而k ≥e
)
=
〕
(2)证明:由(1)知,f (x )在区间(0,+∞)上的最小值为f (
)=
.
因为f (x )存在零点,所以所以函数f (x )的单调递增区间是〔(k ∈Z )
当k=e时,f (x )在区间(1,]上单调递减,且f (=0
所以x=是f (x )在区间(1,]上唯一零点. 当k >e 时,f (x )在区间(0,
)上单调递减,且
,
所以f (x )在区间(1,]上仅有一个零点.
综上所述,若f (x )存在零点,则f (x )在区间(1,]
上仅有一个零点. 20. 解:
(Ⅰ)由已知及正弦定理可得
,
整理得,所以
又A ∈(0,
π),故
.
(Ⅱ)由正弦定理可知
,又a=2,,
, 所以. 又
,故或.若,则,于是;
若
,则
,于是
.
21. 解:(1)由余弦定理可得:BC 2
=AB2+AC2
﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7, 所以BC=
.
(2)由正弦定理可得:,则
sinC=
=
=
,
∵AB <BC ,∴C 为锐角, 则cosC=
=
=
. 因此sin2C=2sinCcosC=2×
=
.
(Ⅱ)因为f (A )=,所以又0<A
<π所以
从而
故A=
在△ABC 中,∵a=1,b+c=2,
A=∴1=b2
+c2
﹣2bccosA ,即1=4﹣3bc .故bc=1从而
S △ABC =
选做题答案
23. 解:(1)∵直线 l
的极坐标方程为:
,
∴ρ(
sin θ﹣cos θ)=,∴
,∴x
﹣
y+1=0.
(2)根据曲线C 的参数方程为:
(α为参
数).得(x ﹣2)2
+y2
=4,
它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:d=,
∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值
=.