用小圆覆盖大圆
年第期
获
救学
学
夕
叼用
圆 覆盖小 大圆
的
、华东
范师学大数系 林 磊学
点
尸
、一 问题的提 与出解 决大 知 家道移动 通 信技 是术近 年来 展发 迅猛
任
,
几
,
使得 尸
为几的 直 从径而
,
或
,
》
注
意到这 一 论结对 任何 二 圆
而 “
一的项 通信 技术
是 我可 在 使 们 像 手 机 这 样 的用动通 信移 工具时是 否 想过手机发 出的 信号
是 要 通过 站基 力 接中 转的 因 此 果 移动通如信公
,
覆
盖 都 立 于 成是最 小 覆 的半径盖几
已 知 几 ,成,
此因 化
,
,
可以 出看 上讨述本论 上 使质 的是 抽屉 用
理原
要司在 某 区域 拓 展 的业 务它就 必 须 设建 站
因 基通此信公 司需 要 考虑就在 这给定 区的域 安
内
况情万 当
’二
时
大圆 的周长 等
,
于
,
‘故、
如
何 分 布这些 基 站理 论 上 我需们要 考 虑 的 怎 是样才是 最经 的布 局济即基 站 建得 最少实 上 我 们在基 站际的 布局 中 还 有
排 诸多少个 基 站
多 制 约 的因 素例 如 些地 有 是 不适 合方 建 站
基,
… 三
分之 一 的 圆 长 周等 于 于情与 况的讨 论 一“类一 “ 一 似 一若 半 有径为 的 个 圆 几 几 几它们 覆
曰‘
’
’
‘‘
…
’
‘
’
,
、
、
,
盖了 大 圆几 则至 少 有 一 圆小设 为
, ,
,,
它要覆
、
由
于基站发 和 射 接 信号收 的有效 范 是 以 基 站为 围心中 的圆 因 此 一 这问题 用 学数的语 来言说 是用 尽可能就 的少 小相 大同 的来覆圆 一盖 个给 的定区 域 是但 这 个当给 区 定域 当相 意任 该时 题间 的 论讨 是很 困 的 假难 所设 给 的区域 是 个一 则 此圆 问题就 等价 于 用 可能尽少的大小 相同的 小覆圆 盖大 的圆 题间覆 盖间题是 几何学 究研 的 中要重课 题 之 本一 文 要考虑 的如是下 的 一类 覆 盖题
的问
,,
任盖 大 圆的分 之 一三 圆 周此因存 在两 尸点几 得 使梅 于是 〕 而从而 ,
・
・,
睿
,
所
以,、
,
而
,下面我 们 犷 一
“
圆覆盖
、一 一 一 将大
圆的 圆 周 三等 分 记 分 点 为尸
, 、、
一
一 办 来 构 造 一 个 圆小径半 于 二
的,
’一’
、山
、
,,
,
‘
’
‘
’
’
等
心
‘气
,
、、
尸设
以个每
尸
的 点分中别
,
为
、
‘
为
心中
、
半为径 作 圆几
几,、
、
几
、
几
容 易验证
则几
大 是圆 几 的覆盖
,
设 几是 一 给 定 大 圆的
是 正 整数
,,,
取
个
径 为半的 小 圆 大
圈 即几,
,
几
只
…
,
它们 能 使盖
见及
图
于是 我们得 出 论结
一
而 一
几
‘
公
试确 半径 定 最 小的值 即最
小 盖及 半径
在的具体讨 论 中 们我不 设 妨大圆
,
半的径 等,
于
。
・・
记牡 个 小圆 的 最小覆 盖 中 圆 的小半 径 为
,
仪。我 们 希 确定望化 … 由 于 个半径 的为显圆然能 覆 盖径为半 大的 圆 几 。 因 此对 个每 有勺 当毛也然有 几 。 时 有设两 半径个 为的 小 况情
当 ,,
, ,,
,
,
,
盖覆了 大圆 几则 它 必们定覆 盖 了大 的边圆界 一 圆周 由于 个一 圆 与另 一个 的圆圆周 相 交时 交集 一 定是 段 连 一 的续 弧因 此 几与中 必有 一 个妨不 设几 , 与大 圆 的 圆周
的
几 , ,,,
圆
几
、
情图 皿况 当
几
、
时 有半径为 设的个 圆
,,
几
、、
几
它们 盖 覆大 圆了几 则 与 述上讨
, ,
,
,
・交集是一 段 弧长 至 是少的 连 弧续于 是 在两存
论
类似 至 有 一少个 小 圆要覆 盖大 圆 圆的周 分四 二 梅。因 此乙 一 足 士 即 多艺即 多下 一 乙,
,睿
祥不
,
获
学叔华
楚
、年
第
同样期 我可们以 构 造 出 一 个 小 圆 径半 等
于
倾
、
的覆 盖 将圆 大 几圆的 圆周 四等分记 分
,
、 、
为 点 点 分别为 为半径 作
、
设。
、
、、
、
、
的尸
中
三、问题 的 推 广于 用由 抽 原理 屉我 走们不 了 多 远所 以下
,面
以 个每
、、
中心为
,
我们换一 种 路思 讨 论 小 来圆覆 盖大 圆 问题中的 情
况几
、圆
小
圆 ‘都几过 大 圆 圆经 心
睿
几
五妊成
,,
,
、
一
’
于是 、
几、
一赫
薪就大 是
见圆图
即
,几
时
假 有 设两个 半径 为小
、的
覆盖
大 圆 了几设 , 几的 圆心 它 们在 直角 坐 标
系分别是
夸下 的 坐 标
分 以可 作一
、直
、
。
的覆盖所 以得 结出 论
华
别。 线为
,
刀
、
,,
则过
,、
直线
的 存
在 性也 以可这样 来 证 明我们
需
要 去确定 一条 直线 的 方 程 得
该使程 假方直设 线 的方 程为 夕
二
满
足
我们 希望 用定待系数 法 来 确 定参数
、、
的
将
值
,
,
、
,
夕
入上代 式得,
,,
,
,,
,
图
很遗 憾 上述讨 论的 法 方 不推能广 到
,个
方 的 程这是一 个 有含个 知未 量齐线次方性 组 由程性线程方组 理 论 知 上述方
程,
情 的 原形因是 当。时 按 照大 圆圆周 等 因此 分点 造构 的小 圆出均 覆不盖 大圆的圆
,
心
,
有非零 组解 若
二,,
,
则由 方 组 程 的第
一 , ,,,
,
这
些 小 圆能构不大成圆 的覆 盖。 。 生得 出 列 结下谈
般一 讨的论 非 常困
难、
不
过 我 可们
以
,
但
几是
,
这 与非
从 不 而全 零为 二故 解的假零 设 盾 矛 是于, 是 一 满 足要 的直求线 方 且 可程知 尹 时 当
这样 方的程 所 确 的定 直是线唯
得式
,
、
,
,
,
二题问 的 用 应本文 一 始所提开 的 移到动通 信 公需司 要考 虑在 给定的 区 域内安 排 多 少 基 站个 间 题,
一的
‘
另
作 两线直
、
到
的距 离
都 于
二
,
且 使等 事得 实 如上果 设直线
, ,
,
假设 所给的 域是 一区 个圆 则此问题 就 等价 于 我上们 面讨论 的用尽可 能 少 的 大小相 同的 圆小 盖覆 大 的 问 圆 题不妨 设 站基的 效 工 作有径半等 大 于圆半的径 于 等丑 此记 所需时设建 基站的 少 个最是数 了是它 函的数 则 根 据上 述讨论
,
的方
中
程
那么这 两 直线
士
、
、
的
方程为
劣
夕线直
的 公线切
,
、
实际上 是圆
、
的
平行于
因,此 圆
就
夹这两条在 公 切线
、之
间 是但大 圆
圆
被覆 盖 所所 以几也
,
我们有 当 “当
夹
在 平行直 线
提
・
两与
之 间
但大圆 几各有个
,
时
,
凡
念一 碧 寥念双。
・
狱、‘
‘
・
时, ・
,
,
一
・
方 向
的 直 因此径 也垂有直 于 方 向的直 而径这 条 直 径 夹 ,在 与 之 间于是与 之间
,
,
一
、时
,,
卜
距的离大 于 于等
即大 圆
直径的长
,但
,
,
与 异,
之 间
距的离 就 是 小的直径圆长
因
此此 因了
尹 、
,即
‘、人
月任
续
,、
这 就是 说
可能 有人会说 这 一 明 证起比 前的面证 要明,
,
,
碧一吞
复
杂多 我了 们 为什 么要这样来证 明 因我们 为望希将 证 明的结果加 以 推 为 此广我 们需 将要,
,
丛
“但
当是
小
圆覆 大 圆这 一 盖 间题本身 进 推行广 转
第一
梅时
,
取的值 情 我况们还不
页
清
年 第期
,
救学救 攀,
,一
候很清 楚 些词这指 代 么什也 不需 要 把 个整 路思 复 完 整
同 述时她 无 也 暇 及 学 生 甲顾 是 否能, ,
,
一步 进行分析 们我才 能透 过 现象 深 入 发现 互
动
过 中程 的 题
然 而 这 问种 对语 言分 析的能
力
,
理解 她的 语 言了解 她的 思考 过 程而 生 学尽
甲也 不
是 一下 子 就 可以 培 的养 们还我需要 理 论 的
管有 自 己解 题的 法 但 方于 由方法 的不 妥当 她 ,
的个
人 线几路乎 不 存 而 在为 多 指向 学 生乙 箭
的,
希
望更 多 人能用利这个 方 法 分更析 多学 生之 间 语 言 流 交总 结一 些 学
,
充 实 实践 和的反 复 检 验,
当头 在甲 提出了一 些 可能 有 助 于自 己理 解
, , ,的
生 之交间流 的技 巧使得 学 生之 间互 动的交流 更能好 地 进促 学
问 习 后题由 于 没 及有 时 得到 乙 的 答回 加 她上并
不
分十关 注学 生 乙的思 维过程 因此 她 有没得 到
参 考文
献
,有
助 于 理 的解案 无 答法形 新成的 想 法 建立 和
,
改 进 个人线
路
, 也 无法 补充 的思 乙维使 得这 ,
次
语言交 流 对 没 有 什 么她实 意质 义因此 在理
,合
,
想
的 交 流 过 程 中 该应 有一 些 自己 独 思 立 考过
的 再程 及 把时得 到 的一 结些 与 论同学 交流 然 后 ,
,
,
,
,
一…… 如此 循 环 得 到最终结的 论这样 双 各方自 的 思维 得 到了 展 发也更 容 易 对交流 对 方思维的 进 行补充 这种 循环方 也 式正是 提到的 思 反 性的语 言交再
引 各 自新发 的思 考再 交
流,, ,
,
」
司一
,
流
,
,通
相过互 语 言 交 促流
进
,
,
一
, ,
新的 思 考对 问题 行更深进 入的探索 研 和
究」【,
,
,
,
综
述分 析 过程中 语 意 分 析是 实性质的 但 对仅
,,
语
进意分行析是不 够的 利用 流 图程这 一 具工进 ,
,
,
一
上 第接
,卜
页
但可 能不唯 一可我 们只要 其 在性 的存 论
结
,先首 圆小覆 盖 圆大的 问题 可 以推广到 维
空 上
间
这样 们就 可我造构 另两平
面
,、
,
使得
、
当然 时此 的 确切说 是法 小球 覆 大球盖
且
、
到的距 都离 于等
实
际上
,
问
题在维 空 中间有一 个 半径 等 于
的大球 几,
,
就是
这 个 小球 平的 行 公切平 面
因此 小 球这 就夹 在 两 切 平 之面 间而 它
是被正 整 取 个 半数径 为 的球 小
几。
,几
几
,…
使, 它 能覆 盖们 大球 即
几‘, 二
戈几
试
确
定。
半 径最的小值 勺用 述证上明 勺 因 此 化飞
,覆 盖的大们 球 自也然 夹这 在两平 面 间 从 而球 大垂的直 于 这 两 面 的平直 径也 夹在 这 两平面 之 间,
,
同, 样方的法我 们 得
,
可
于
是
,,
即,
于是
,
,
因
此
,
,
,
, 具 证体 明如下
、假设有 半个径 为 的小球 几
大球 几
,
了几、
、
几、
覆
盖 的几、
上述 问 题 甚 可 以至 推 广到 任意 。 维 欧 里儿得
空间 在上
设、
、
、
分别
是几
,
,、
几维欧几
里得空 间
中有 一个
,半
,
,球 心
它们 在直角 坐标 系 ,
下的 坐 标分别
,
为,
径 等 于
超的 例球如 在直角 坐 标 下系 心中在 原 的点这样一 个超 球 可 几 画 刻 为几
,夕
,
,
夕,
脚
则过
十,
,
可 以作一、平
面
,,
它的 方程几
勺 十
…
,
对 瑞】
・
…
续轰
,
。
是大,于
由
功
十
的正 整数取 半径个 为 的小超球 它使 们覆盖
大 超 球试确 定半径 的最 小
,值
,
。几
事
实上 利 用性线 程组方 的论 理 我们用类
夕
名
,
,似的方
法样 同 以可证 明 任对何。
,
有
・
,。
确
定 这一 结论 样同可 由 线 方 程性组 理 论 获得
而 有 ,
。从
二
,
任对 。意簇 。 立成