1-4极限运算法则
第四节 极限运算法则
一、无穷小与无穷大 二、极限运算法则
第一章
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一、无穷小与无穷大
1、无穷小
定义 1 如果当 x x 0 (或 x ) 时,函 数 ( x ) 的极限为零, 那么函数 ( x ) 叫做 x x 0 (或 x ) 时的无穷小量,简称无穷小。
其它极限过程可类似定义。
特 别 地 , 以 零 为 极 限 的 数 列 { xn } 称 为
n 时的无穷小。
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例如
lim sin x 0 , 函数 sin x 是当 x 0 时的无穷小。 x 0
1 lim 0 , x x
1 函数 是当 x 时的无穷小。 x
n ( 1)n ( 1 ) lim 0 , 数列 { } 是当 n 时的无穷小。 n n n
注意 (1)无穷小与极限过程有密切关系。
(2)无穷小是变量,不能与很小的数混淆。 (3)零是可以作为无穷小的唯一的数。
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2、无穷小与函数极限的关系
定理 1 : lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ) , 其中
x x0
( x ) 是当 x x 0 时的无穷小。
证: 必要性 令 ( x ) f ( x ) A , 因 lim f ( x ) A,
x x0
0, 0 , 使得当 0 | x x0 | 时
| ( x ) | | f ( x ) A | ,
即 lim ( x ) 0, f ( x ) A ( x ).
x x0
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充分性
f ( x) A ( x) ,
x x0
lim ( x ) 0
0, 0, 使得当 0 | x x0 | 时
| f ( x ) A || ( x ) | , 即 lim f ( x ) A
x x0
说明:其它极限过程结论也成立。 意义: (1)将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
( 2)给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表 达式 f ( x ) A , 误差为 ( x ).
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3、无穷小的运算性质:
定理2:在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小. 证: 设 及 是当 x 时的两个无穷小 , 0 , X 1 0,当 x X 1 时, 恒有 ; 2 X 2 0 , 当 x X 2 时 , 恒有 ; 2 取 X max{ X 1 , X 2 }, 当 x X 时 , 恒有 , 0 ( x ) 2 2
其它极限过程可类似证明。
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定理3:局部有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
证: 设函数 u 在 U 0 ( x0 , 1 ) 内有界,
则 M 0 , 使得当0 x x0 1 时 , 恒有 u M .
又设 是当 x x0 时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当0 x x0 2时, 恒有
M
.
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有
u u M
, 当 x x0 时 , u 为无穷小。 M 1 其它极限过程可类似证明。 例: lim x sin 0 x 0 x
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推论1:在同一极限过程中,有极限的变量与无 穷小的乘积是无穷小。 推论2:常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论3:有限个无穷小的乘积也是无穷小。 问题:两个无穷小的商是否还是无穷小?
例如 :
x lim 2 , 不是无穷小。 x 0 x
x2 lim 0 , 是无穷小。 x 0 x
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4、无穷大
定义 2: 设函数 f ( x ) 在 x 0 某一去心邻域内有定 义 (或 x 大于某一正数时有定义) 。 如果对于任意给 定的正数 M (不论它多么大),总存在正数 (或正数
X ) ,使得对于适合不等式 0 x x 0 ( 或 x X )
的一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 总满足不等式
f ( x) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大, 记作 lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x x0 x
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特殊情形:正无穷大,负无穷大.
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意:
(1) 不 能 将 lim f ( x ) 认 为 极 限 存 在 。
x x0
(2) 无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态。
(3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未
必是无穷大。
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例如, 当 n 0 时 , x n (1 ( 1) n ) n 是一个无界
数列 , 但不是无穷大。
又例,函数
但
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1 1 又例如:当x 0时,y sin x x 是一个无界变量,但不是无穷大。
(1) 取 xk 1 2k
y
1 1 sin x x
2
2
( k 0,1,2,3,)
y( xk ) 2k
, 当k充分大时, y( xk ) M . 无界,
1 ( 2) 取 xk 2k
( k 0,1,2,3,) 当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M . 不是无穷大.
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铅直渐近线的定义:
如果 lim f ( x ) 和 lim f ( x ) , 其中至少有一个的
x x0 x x0
极限是 或 , 则称直线 x x0 是函数 y f ( x ) 的一条铅直渐近线。
1 例: x 0 是 y 的铅直渐近线。 x
关于铅直渐近线的两个说明:
1. 一个函数的铅直渐近线可以有许多条。
例如: y tan x ,
无穷条铅直渐近线。
2. 一个函数的铅直渐近线不会与此函数 相交。
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5、无穷小与无穷大的关系
定理4:在同一极限过程中,无穷大的倒数为无穷小;
不恒为零的无穷小的倒数为无穷大。 证明: 设
取M 1
x x0
lim f ( x ) , 0 ,
0 ,
0 , 当 0 x x0 时, 1
1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x)
1 当 x x0 时 , 为无穷小。 f ( x)
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反之 , 设 lim f ( x ) 0 , 且 f ( x ) 0 。
x x0
1 M 0,取 0 , 则当 0 x x0 时 , M 1 恒有 f ( x ) , 由于 f ( x ) 0, 从而 1 M . M f ( x)
1 当 x x0 时 , 为无穷大 。 f ( x)
其它极限过程可类似证明。 意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论.
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二、极限运算法则
下面性质对数列及函数的任一极限过程都成立 定理5 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则 (1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B;
( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.
f ( x ) A , g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则,得
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[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B) 0.
( 2)成立.
f ( x ) A A A B A g ( x ) B B B B( B )
B A 0.
1 现只需证明 有界 , B( B )
即只需证明 | B | 某个常数,
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设 lim 0 , 其他极限过程可类似证明 。
x x0
B 0 ,
|B| 取 , 则 0, 2
B , 当 0 x x0 时, 2 1 1 B B B B B 2 2 1 2 B( B ) B , 2
1 2 故 2, B( B ) B
有界
( 3)成立.
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推论1 如果 lim f ( x )存在 , 而 c为常数 , 则 lim[ cf ( x )] c lim f ( x ). 常数因子可以提到极限符号外面.
推论2 设 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B ,
, 是常数, 则
lim[ f ( x ) g ( x )] A B
推论3 如 果 lim f i ( x ) A i , i 1 , 2 , , n , 则
lim[ f 1 ( x ) f n ( x )] A1 A n lim[ f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )] A1 A 2 A n
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极限的保序性:
设 lim f ( x ) A , lim g( x ) B 。 若 0 ,
x x0 x x0
x U 0 ( x0 , ) , 有 f ( x ) g ( x ) , 则 A B 。 lim f ( x ) A , lim g( x ) B , 且 A B,则 推论: 设 x x x x
0 0
0 , x U 0 ( x 0 , ) , 有 f ( x ) g ( x ) 。
提示:令 ( x ) f ( x ) g ( x ) 利用极限的四则运算法则及保号性定理证明 。
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定理6(复合函数极限法则) 设函数 u ( x ) 当 x x0 时的极限存在且等
于 a,
即 lim ( x ) a,但在点 x0 的某去心邻域内 ( x ) a,
x x0 u a
又 lim f ( u) A,则复合函数 f [ ( x )] 当 x x0 时的 极限也存在,且 lim f [ ( x )] lim f ( u) A.
x x0 u a
lim f [ ( x )] 意义: x x0
x2
令 u (x)
a lim ( x )
x x0
lim f ( u)
u a
2 令 u x lim e u e 4 例 lim e u 4 x2
极限过程也要变!
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三、求极限方法举例
1、求分式型函数的极限
x2 9 4 0 例1: 求 lim . ( 型) x 5 x5 0 解: 先分子有理化,再求极限.
2 ( x 9) 16 x 94 lim lim x 5 ( x 5)( x 2 9 4) x 5 x5
2
x5 5 lim 2 lim x 5 ( x 5)( x 2 9 4) x 5 x 9 4 4
( x 5)( x 5)
消去零因子
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x3 a 例2:求 lim 3 . x a xa
3
解:
x3 a lim 3 x a xa
3
a b ( a b )( a ab b )
3 3 2 2
( 3 x 3 a )( 3 x 2 3 ax 3 a 2 ) lim 3 x a ( x a )( 3 x 2 3 ax 3 a 2 )
xa lim 3 x a ( x a )( 3 x 2 3 ax 3 a 2 )
( x a) lim 3 2 3 0. 2 3 x a x ax a
3 2
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2 x3 3 x2 5 . 例3: 求 lim 3 2 x 7 x 4 x 1
( 型)
解: x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大.
将分子, 分母的最高次幂 x 3 分别提出来, 再求极限。
3 (2 2 x3 3 x2 5 x lim 3 lim 2 x 7 x 4 x 1 x 4 (7 x
( 无穷小因子分出法 )
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5 3 ) x 2 x3 . 1 3 7 ) x x3
小结: 当 a0 0 , b0 0 , m 和 n 为非负整数时有
a0 ,当 n m , b0 m m 1 a0 x a1 x am lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 ,当 n m ,
只需看分子、分母的最高次幂及它们的系数。 定义: 两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
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例 4: 求 解: lim
x
lim
4 x6 5 x5 2 x3 3 27 x 6 8 x
先分子有理化
3 2
x
4 x6 5 x5 2 x3 6 3 27 x 8 x
6 5
lim lim
x 3
x 3
lim
(4 x 5 x ) ( 2 x ) 27 x 6 8 x ( 4 x 6 5 x 5 2 x 3 ) 5 5x 6 6 5 3 27 x 8 x ( 4 x 5 x 2 x ) 5 5 x
2
x
看分子分母的最高次幂及系数。
8 5 3 x 3 27 5 x ( 4 2) x x
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5 12
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例 5: 求
4 x6 8 lim 1 3 x 2 x 6 x 1
?
看分子分母的最 高次幂及系数
6
解:
8 4x 1 6 6 4x 8 4x lim lim 3 x 6x 1 x 2 x 6 x 1 3 2 x (1 3 3 ) 2x 2x
3
8 8 3 2| x | 1 6 ( 2 x ) 1 6 4x 4x l
im lim x x 6x 1 6x 1 3 3 2 x (1 3 3 ) 2 x (1 3 3 ) 2x 2x 2x 2x
1
去根号时注意正负号!
注意: 4 2
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上述方法也可以用于其它分数型函数的求极限
例 6: 求
x sin x lim 2 x x arctan x
解:
x sin x lim 2 x x arctan x
sin x x (1 ) x lim x 2 arctan x 0 x (1 ) 2 x
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2、求和式的极限
1 2 n 例7: 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
解: n 时, 是无限多个无穷小之和.
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim ( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
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1 1 1 ) 例8: 求 lim( n 1 2 2 3 n( n 1)
解
1 1 1 lim( ) n 1 2 2 3 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 1 lim(1 ) n 2 2 3 3 4 n n1 1 lim(1 ) 1 n n1
(拆项相消法)
1 1 1 )? 问题: 求 lim( n 1 2 3 2 3 4 n( n 1)( n 2)
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3、幂指函数的极限
定义:形如[ f ( x )]g ( x ) , ( f ( x ) 1)的函数,称为幂指函数。
性质:如果 lim f ( x ) A 0,lim g( x ) B ,则
lim[ f ( x )]g ( x ) AB
证明: lim[ f ( x )]
e e
g( x )
lim e
e
ln[ f ( x )]g ( x )
lim e g ( x ) ln[ f ( x )] e limg ( x )ln[lim f ( x )]
lim{g ( x ) ln[ f ( x )]} Bln A
lim g ( x )limln[ f ( x )]
e
ln A B
AB
说明:此性质对于数列极限也成立。
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例 9: 求
2x x 1 lim ( 3 2 ) x 5 x x
3 3 2 x2 7 x2 7
2 x2 7 x2 7
2x x 1 解: lim ( 3 2 ) x 5 x x
例10: 求 解:
2 2 4 ( ) 5 25
x
lim 3 x 9
x 1 x x
1 x
1 x x
x
lim 3 9
lim 9
x
1 x x
1 x 1 3
1 x
1 9 lim 1 x x 3
9 10 9
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例11:试确定常数 a ,使
1 解: 令 t , 则 x
0 lim
3 t 0
1 a 1 3 t t
t3 1 a lim t 0 t
3
lim
故 因此
3 t 0
t3 1 a 0
1 a 0 a 1
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例12:
是多项式 , 且
求
解: 利用前一极限式可令
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
f ( x) b 3 lim lim ( a ) x 0 x 0 x x
可见
故
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五、小结
无穷小与无穷大 1、无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的
数混淆,零是唯一
的无穷小的数。 2、无界变量未必是无穷大。
3、无穷小量的运算。 极限的运算法则 1、极限的四则运算与复合函数求极限 2、极限和无穷小量之间的关系
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极限的初步求法小结
1、分式型函数的极限;
(1)消去零因子法求极限; (2)分子有理化; (3)考察分子分母的最高次幂及系数。 2、求绝对值函数和分段函数极限。 (1)去掉绝对值;(2)分别求左右极限。 3、求和式的极限; (1)恒等变形; (2)拆项相消。
g( x ) e g ( x ) ln f ( x ) 4、幂指函数的极限: f ( x )
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作业 习题1-4(P43):4
习题1-5(P48): 1 (3)(9)(15)(17)(21)(22)(23);
2(2);3(3)(4);4(2);5(1)
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思考与练习
1. 在某个极限过程中,若 f ( x )有极限,
g( x ) 无极限,那么 f ( x ) g( x ) 是否有极限?
为什么? 2. 在某个极限过程中,若 f ( x ) 有极限,
g( x ) 无极限,那么 f ( x ) g( x ) 是否有极限?
为什么?
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思考与练习
1. 在某个极限过程中,若 f ( x ) 有极限,
g( x ) 无极限,那么 f ( x ) g( x ) 是否有极限?
为什么?
解: 没有极限。 假设 f ( x ) g( x ) 有极限,
f ( x ) 有极限, 由极限运算法则可知:
g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x )
必有极限, 与已知矛盾。
故 f ( x ) g( x ) 没有极限。
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2. 在某个极限过程中,若 f ( x ) 有极限,
g( x ) 无极限,那么 f ( x ) g( x ) 是否有极限?
为什么? 解: 1) 若 lim f ( x ) 0 , 则 f ( x ) g( x ) 没有极限 .
2) 若 lim f ( x ) 0 ,
(同1,用反证法。)
(1) 若 g( x ) 是有界变量,则 lim f ( x ) g( x ) 0 . ( 2) 若 g( x ) 不是有界变量, 不定。
1 例: lim x 1 x 0 x 1 lim x 2 x 0 x
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3.无穷多个无穷小的代数和是否是无穷小?
1 例如 , n 时 , 是无穷小, n 1 但 n 个 之和为 1 不是无穷小. n
4. 无穷多个无穷小的乘积是否是无穷小?
1 例如 , x 时 , , n 1,2, 是无穷小, xn 1 1 1 但当x 时 , 没有极限。 x 1 x 2 xn
提示:用极限的归并性证
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5. 求下列极限:
(1)
x
lim (sin x 1 sin x )
x
x
x1 x x1 lim 2 sin cos x 2 2
1 lim 2 sin x 2( x 1
无穷小
x1 cos x) 2
有界
0
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(2)
1 x lim x1 sin x
2
t x 1 t ( t 2) lim t 0 sin ( t 1)
令
t ( t 2) lim t0 sin t t ( t 2) 2 lim t0
t
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(3) 求极限
1 解: 令 t , 则 x
1 1 1 lim 100 2 t0 t t t
1 1 100t 2 1 1 1 100t 2 lim lim 2 t 0 t0 t t t t 2 100t 50 lim t0 t 2 (1 1 100t 2 )
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1 x 1 x 2 (4) lim x 0 x2 2 2 1 x 1 x 2 lim 2 x 0 x ( 1 x 1 x 2)
1 2 1 x 2 1 1 x 1 lim lim 2 2 x 0 x 0 4 x 2 x
2 2
1 x2 1 lim 2 x0 x 2 ( 1 x 2 1) 4
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