三线摆法测定转动惯量的计算原理分析

振动与冲击

第３０卷第９期

ＪＯＵＲＮＡＬ０ＦＶＩＢＲＡＴｌ０ＮＡＮＤＳＨＯＣＫ

三线摆法测定转动惯量的计算原理分析

吴

晓

（湖南文理学院，常德４１５０００）

摘要：从非线性振动理论出发，采用摄动法及傅里叶级数研究了三线摆的非线性扭转固有振动，利用系数待定

法推导出了三线摆非线性扭转固有振动频率的计算公式。通过算例分析讨论验证了该计算公式的计算精度，对三线摆测定转动惯量有理论指导意义。

关键词：三线摆，转动惯量，非线性，固有振动，频率中图分类号：０３２２

文献标识码：Ａ

Ｃｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅｉｎｍｅ嬲ｕｒｉｎｇ

ｏｆ

ｔｒｉｎｎｅａｒｐｅｎｄｌｌｌｕｍ’ｓｍＯｍｅｎｔＯｆｉｎｅｒｔｉａ

ＷＵ．Ｘｉ∞Ｄ

（Ｈｕｎ锄ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：

Ｂａｕｓｅｄ

ｏｎ

Ａｎｓ明ｄｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈ明ｇｄｅ４１５０００，Ｃｈｉｎａ）

ｔｏｒｔｏｕｓ

ｎｏｎｌｉｎｅ盯ｖｉｂｒａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒ

ｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆ

ａ

ｔｒｉｌｉｎｅａｒｐｅｎｄｕｌｕｍｗ酗ａｎａｌｙｓｅｄ

ｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎａｎｄＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓｍｅｔｈｏｄ．ＴｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｎａｔｕｒａｌＶｉｂ阳ｔｉｏｎｆｋｑｕｅｎｃｙｗ鹊ｄｅｒｉＶｅｄｕｓｉｎｇ

ｕｎｄｅｔｅ册ｉｎｅｄ

ｃｏｅｍｃｉｅｎｔｍｅｔ｝ｌｏｄ．Ｔｈｅｅａｌｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ锄ｄｈｉｇｈｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ

ａ

ｗｅｒｅｐｒｏＶｅｄｂｙｐｍｃｔｉｃａｌ

ｅｘａｍｐｌｅｓｃａｌｃｕｌａ￡ｉｏｎ．Ｔｈｅｓｔｕｄｙｐｍｖｉｄｅｓｔｈｅｏｒｅ“ｃｄｂａｓｉｓｆｏｒｍｅ船ｕ—ｎｇｔ而ｌｉｎｅ盯ｐｅｎｄｕｌｕｍ＇ｓｍｏｍｅｎｔｏｆｉｎｅｒ￡ｉａ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｄｌｉｎｅａｆｐｅｎｄｕｌｕｍ；ｍｏｍｅｎｔｏｆｉｎｅｒｔｉａ；ｎｏｎｌｉｎｅ枷ｔｙ；ｎａｔｕｍｌＶｉｂｒａｔｉｏｎ；ｆｂｑｕｅｎｃｙ

转动惯量是物体转动惯性的量度。物体对某轴的转动惯量的大小，取决于物体的质量、形状和回转轴的位置。对于质量分布均匀，外形不复杂的物体可以从外形尺寸及其质量求出其转动惯量，而外形复杂和质

量分布不均匀的只能从回转运动中去测得。三线摆法

圆盘的位置升高为ＪＩｌ，它的势

ｒ

能增加为Ｅ。，则有下式成立：

Ｅ。＝ｍｏ咖

重力加速度。

当下圆盘扭转角为ｐ时，

（１）

口

，，—一

ｏ～

孙

√

‘＼＼

式中：ｍ。为下圆盘的质量，ｇ为

／

是通过扭转运动测量转运惯量的一种常见方法。此方法已成功地用在公斤级小人造卫星、吸排油烟机的叶轮、汽车发动机整机等产品的转动惯量测试中。一般三线摆扭转振动是非线性振动，只有当给三线摆扭转一个小于６０的初始角后，扭转振动才可以近似为线性振动【Ｉ“】。文献［２—４］都是把三线摆处理为线性振动后，推导出扭转振动的固有频率计算公式。如扭转初始角大于６０以后，采用线性振动理论推导出的公式进行计算会带来一定的误差。但是，扭转初始角太小又给测试实验带来不便。因此，只有利用非线性振动理论研究三线摆的扭转固有振动，推导出计算精度高、表达形式简便的扭转振动固有频率计算公式，才能很好地解决上述矛盾。

磊

具有的动能为：

．４≮呈

Ｌ，，—．

Ｉ｜＼＼＼

？

｜ｃ７

１．

Ｄ

～

１爿

ｏｊｚ＼／／

一

尺

一

１三线摆扭转振动近似解

当图ｌ所示三线摆扭转ｐ角后（口角不限于很小），

基金项日：湖南“十一五”童点建设学科资助（湘救通［２００６］１８０号）；湖

南省高等学校科学研究取点项ｆ｛资助（１ｌＡ０８１）

收稿Ｉｊ期：２０ｌＯ一０６一０３修改稿收到ＩＩ期：２０１０一０９—０３作

者吴晓男．教授．１９６５年生

万方数据

振动与冲击２０１１年第３０卷

向（ＢＣ＋占ｃ’）田近似为两盘Ｉ司距离ｄ０的二佰，则：

＾：丛Ｌ善盟

口Ｏ

ｏ＋ｑ＋∑ｎ＃＝ｏ

（６）

（１４）

把式（６）代式（３）中并对￡微分可得：

把式（１３）代入式（１２）中利用系数待定法及式（１４）可以求得：

∞＝１ｉ呻（∞ｏ＋占∞ｌ＋∥∞２）＝Ａ∞ｏ

（１５）

，ｏ訾拿饥ｇ筹扣…

取ｓｉｎｐ泰勒级数展开式前三项代入上式中可得：

（７）

式¨小嚣＋盖＋志

㈣

当下圆盘无重物时，三线摆振动周期为％＝鲤，所

以有：

掌“口一譬＋絮＝。

式帕：＝等。

在式（８）中引入“人工摄动参数”且令ｒ＝∞ｔ可以得虱Ｉ：

，０＝筹焉

（１６）

∞２豢“ｐ一半＋辔＝。

ｒ：ｏ，ｐ（ｏ）：６，塑掣：ｏ

当下圆盘放上一质量为ｍ，转动惯量为，的重物

㈣

时，三线摆的振动周期为ｒ＝纽，所以由以上各式

可得：

（１０）

，＋厶＝｝掣严（１７）

，－篾№＋ｍ。）ｎ删］

（１８）

ｆｐ２巩＋占９・＋占２０＋…

利用式（１６）、式（１７）可得被测物体的转动惯量为：

（１１）

在式（１８）中当尺＝ｒ时，式（１８）即可化为：

『訾＋吼：ｏ

除一惹毯二妻㈣，Ｉ挚＋如＝一半挚一一

Ｔａｂ．１ｌｔａ６０ｏｆ

，－氍［（ｍ＋ｍｏ）扎ｍｏ孺］

２计算分析

（１９）

采用式（１９）即可计算文献［１，２］所采用三线摆所测物

体的转动惯量。

当把图ｌ所示三线摆处理为线性振动即简谐振动

时，可知其振动周期为瓦’＝绝，由此可知三线摆的非

线性振动周期与简谐振动周期比值为等。下面把三线

摆振动周期与简谐振动周期的比值列在表ｌ中，以便讨论分析。

表ｌ三线摆振动周期比值ｔｒｉｌｉｌＩ忸ｒ

ｐｅｎｄｕＩ岫’ｓ

ｖｉｂｎ廿呜ｐｅ一０ｄ

从表ｌ可以看出，本文给出的三线摆振动频率公算结果误差不超过４％。

由文献［９］可知，若采用三条摆线相互平行的三线

式计算结果与精确解吻合得相当好，这说明式（１５）的计算精度很高，而且式（１５）的表达形式也很简便。当三线摆转角超过１００时，按线性振动理论计算的结果与非线性振动理论计算的结果误差达到ｏ．２％以上，这与文献［１］的误差分析是一致的。三线摆转角不超过４５。时，线性振动理论的计算结果与非线性振动理论的计万方数据

摆测试物体的转动惯量时，要求扭转角小于６。时才可

使用公式，ｏ：雩氅孚，即必须保证测试系统为线

‘ｔｌｒⅡ０

性的。

《下转第２０ｌ页）

第９期言志信等：钢筋ｆ昆凝土高烟囱定向爆破拆除倒塌过程研究

［６］

２０ｌ

于定向倒塌和触地解体的，所以烟囱简体的下坐和后坐必须在可控范围内。

（４）通过输出的单元应力一时程曲线，分析了混

ＵｅｎｉｓｈｉＫ，ｅｔａ１．ＰＣ．ｂａｓｅｄ８ｉｍｕｌａｔｉｏｎＢｏｆｂｌａｓｔｉｎｇｄｅｍｏｌｉｔｉｏｎ０ｆＲｃ

８ｔⅢｃｔｕ他８［Ｊ］．

ｃｏｎ８ｔｍｃｔｉｏｎ锄ｄ

ＢｕｉｌｄｉｎｇＭａｔｅｒｉＢｌＢ，

２０１０：１一ｌＯ．

［７］刘庆潭．材料力学［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００３．［８］过镇海，时旭东．钢筋混凝土原理和分析［Ｍ］．北京：清华

大学出版社。２００７．［９］刘世波．百米以上钢筋混凝土烟囱拆除爆破研究［Ｄ］．北

京：铁道科学研究院，２００４．

［１０］薛江波．高耸构筑物爆破拆除模拟［Ｄ］．武汉：武汉理工大

学，２００７．

凝土、纵立筋和箍筋的受力过程，发现支撑部切口附近

的混凝土发生大偏心剪压破坏，而除底部和顶部的一

部分钢筋发生屈服破坏，中间的钢筋一般不发生屈服破坏。这与理论分析的结论是一致的。

（５）从受力过程看，采用钢筋和混凝土分别建模的共节点分离式模型，能够较好地反映混凝土和钢筋力学性能上的差异，采用共节点分离式建模是可行的。

参考文献

［１】李元亮，奉孝中．钢筋混凝土烟囱定向爆破拆除的力学分

析［Ｊ］．爆破器材，１９９８，２７（４）：２９—３１．

［１１］汪旭光，于亚伦．拆除爆破理论与工程实例［Ｍ］．北京：人

民交通｝“版社。２００８．

［１２］尚晓江，苏建宇，等．ＡＮｓＹＳ／Ｌｓ—ＤＹＮＡ动力分析方法与

工程实例［Ｍ］．北京：中国水利水电出版社，２００６．

［１３］ＴｏｓａＩ【ａＮ，ｅｔａ１．ｃｏｍｐｕｔｅｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｆｏｒ脚ｌｉｎｇｐａｔｔｅ咖ｏｆ

ｂｕｉｌｄｉｎｇ［Ｊ］．Ｄｅｍｏｌｉｔｉｏｎ蛐ｄＲｅｕ８ｅｏｆｃｏｎｃｒｅｔｅ帅ｄ

Ｍａｓｏｎｒｙ，Ｙ

［２］言志信，吴德伦，许明．巨型钢筋混凝土取水塔定向爆破

拆除［Ｊ］．铁道建筑，２００ｌ，（１０）：２９—３０．

［３］郑炳旭，魏晓林，陈庆寿．钢筋混凝土高烟囱切口支撑部失

Ｋ鹊ａｉ（Ｅｄｉｔｏｒ），Ｔｏｋｙｏ，Ｊａｐ蚰，Ｎｏｖｅｍｂｅｒ，７—９，

ａＪ．

ＢＩ鹊ｔｉｎｇｄｅｍｏｌｉｔｉｏｎｏｆ他ｉｎｆｏｒｃｅｄｃｏｎｃｒｅｔｅ

ｔｈｅ

ＩＡｓｓＡｓｃＥ

１９８８．３９５—４０３．

稳力学分析［Ｊ］．岩石力学与工程学报，２００７，２６（增１）：

３３４９—３３５５．

［１４］Ｓｔａｎｇｅｒｂｅ曙，ｅｔ

ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ

ｃｈｉ舢ｅｙ８［ｃ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎ铲ｏｆ

ｓｐ“ａ１．ｓｉｍｕｌａｔｉ∞ｆｏｒ

ｏｎ

［４］杨国梁，杨军，姜琳琳．框一筒结构建筑物的折叠爆破拆

ｉｎｔｅｍａｔｉｏｎａｌｓｙｍｐｏｓｉｕｍｌ钙Ｍ

除［Ｊ］．爆炸与冲击，２００９，２９（４）：３８０一３８４．

［５］齐世福，王福刚．薛峰松，等．１８０ｍ高钢筋混凝土烟囱爆破

拆除［Ｊ］．爆破器材，２０ｌＯ，３９（１）：２６—２８．

［１５］‰ａｌ【ａ

Ｎ，ｅｔａｌ，Ｃｏｍｐｕｔｅｒ

ｆｅｕｉｎｇｐ８ｔｔｅｍｓ０ｆ

ＲｌＬＥＭ

ｂｕｉｌｄｉｎｇ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉ“伊ｏｆ

８ｙｍｐｏｓｉｕｍ．１９８８，３９５—４０３．

ｔＩｌｅｔ１１ｉｒｄｉｎｔｅｍａｔｉｏｎａｌ

（上接第１５６页）

由于文献［２］没有给出三条摆线相互平行三线摆摆盘的有关参数，因此无法把本文方法的计算结果与文献［２］测试结果进行比较。

为验证本文方法可靠性，采用三条摆线相互平行三线摆进行了实验测试。摆盘为标准样件的实心圆钢

盘。圆钢盘密度ｐ＝７．８×１０３ｋｇ／ｍ３，钢盘半径Ｒ。＝

３结论

（１）三线摆转角较大时，应采用非线性振动理论来测量物体的转动惯量。

（２）本文给出的三线摆振动频率公式计算精度较高且表达形式简洁，完全可以取代已有的三线摆振动频率计算公式并在工程实际中应用。

参考文献

［１］张代胜，胡玺良，袁玲．三线摆法测最复杂构件转动惯量

的误差分析［Ｊ］．农业机械学报，２００８．３９（３）：３７—４０．［２］庄表中，王惠明．应用理论力学实验［Ｍ］．北京：高等教育出

版社，２００９．

７．１９×１０～ｍ圆钢盘厚６＝１．１５×１０～ｍ，摆线长ｃｆ０＝

１．９２８

ｍ，圆盘重心到摆线与圆盘固结点的距离ｒ

＝５×１０～ｍ。

由以上计算参数可知圆钢盘的转动惯量为，’。＝

０．５删尺：＝３７．６４×１０—４ｋｇ・ｍ。。

当三线摆扭转角等于１８。时，可测得三线摆的扭转

振动周期为死＝２．８６９

５

ｓ。

［３］陈春澄，庄表中，沈德先．关于测试物体转动惯量方法的探

讨［Ｊ］．力学与实践，１９９２，１４（６）：４８—４９．

［４］刘丹，侯之超．三线摆方程简化及其共振问题研究［Ｊ］．

振动与冲击，２００７，２６（８）：１３６一１３９．

当尺＝ｒ时，由式（１６）可以得到：

，ｏ＝筹焉

扭转角小于６。的限制，而且计算过程也比较简便。

［５］任培，袁中凡．转动惯最测量系统的研制［Ｊ］．中国测试

（２０）

４×

技术，２００７，３３（１）：３７—３９．

［６］赵学荟．侯文，陈鸿，等．基于三线摆运动完褴描述的转

动惯蛩测量方法［Ｊ］．弹箭与制导学报，２００６，２６（４）：

３６２—３６４．

把有关参数代人式（２０）中可知，０＝３８．１５７

１０一ｋｇ・ｍ２。把实验结果，０与理论值，’。进行比较，可知二者误差为１．３７４６％。

从以上分析可知，本文方法计算精度较高，且不受

［７］赵学荟，侯文．考虑摆线拉伸效应的三线摆测展转动惯量

方法的研究［Ｊ］．宇航计测技术，２００６，２６（６）：２６—２９．［８］于治会．不规则陀螺转子惯性矩的测定方法［Ｊ］．战术导弹

控制技术。２００２（１）：４３—５２．［９］宋超，潘钧俊，叶郁文，等．用三线摆方法测试物体转动

惯最的误差『ｎＪ题［Ｊ］．力学与实践，２００３．２５（１）：５９—６１．

万方数据

三线摆法测定转动惯量的计算原理分析

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

吴晓， WU-Xiao

湖南文理学院,常德,415000振动与冲击

Journal of Vibration and Shock2011,30(9)

参考文献(9条)

1. 张代胜;胡玺良;袁玲 三线摆法测量复杂构件转动惯量的误差分析[期刊论文]-农业机械学报 2008(03)2. 庄表中;王惠明 应用理论力学实验 2009

3. 陈春澄;庄表中;沈德先 关于测试物体转动惯量方法的探讨 1992(06)

4. 刘丹;侯之超 三线摆方程简化及其共振问题研究[期刊论文]-振动与冲击 2007(08)5. 任培;袁中凡 转动惯量测量系统的研制[期刊论文]-中国测试技术 2007(01)

6. 赵学荟;侯文;陈鸿 基于三线摆运动完整描述的转动惯量测量方法[期刊论文]-弹箭与制导学报 2006(04)7. 赵学荟;侯文 考虑摆线拉伸效应的三线摆测量转动惯量方法的研究[期刊论文]-宇航计测技术 2006(06)8. 于治会 不规则陀螺转子惯性矩的测定方法[期刊论文]-战术导弹控制技术 2002(01)

9. 宋超;潘钧俊;叶郁文 用三线摆方法测试物体转动惯最的误差问题[期刊论文]-力学与实践 2003(01)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdycj201109033.aspx