全等三角形辅助线经典做法习题
全等三角形证明方法中辅助线做法
一、截长补短
通过添加辅助线利用截长补短,从而达到改变线段之间的长短,达到构造全等三角形的条件
1.如图1,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD.
分析:要证AC=AE+CD,AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE,则只要证明CF=CD.
证明:在AC上截取AF=AE,连接OF.
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°,∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°.
显然,△AEO≌△AFO,∴∠5=∠4=60°,∴∠7=180°-(∠4+∠5)=60° 在△DOC与△FOC中,∠6=∠7=60°,∠2=∠3,OC=OC
∴△DOC≌△FOC, CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB,AC,CD三者之间的数量关系,并说明理由
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3.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明
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4.如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,E是DC的中点.问:AD,BC,AB之间有何关系?并说明理由
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5.(德州中考)问题背景:
如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系
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(1)小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
1
∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由. 2
二、倍长中线(线段)造全等
利用三角形的中位线,在很多题目中我们很能直接找出全等三角形,所以要通过画中位线可以很清楚的构造出来。
2:如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
解:延长FD于K,使得DK=DF ∵DE⊥DF ∴∠EDK=∠EDF=90º 又∵DK=DF ED为公共边 ∴⊿EDK≌⊿EFD ∴EK=EF
已知,△ABC中,AB=4 cm,BC=6 cm,BD是AC边上的中线,求BD的取值范围
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A
E
F
B
D
C
已知:如图,AD,AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD.求证:AE=
1AC.
2
如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:DE=2AM.
三、作平行线
在遇到角平分线的时,可按照以下两种方式构造平行线,(1)过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交,(2)过三角形的一个顶点作一边的平行线的角的平行线。
3.如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连接DE交BC于F.求证:DF=EF.
证明:作DH∥AE交BC于H. ∴∠DHB=∠ACB, ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB ∴∠DHB=∠B,DH=BD ∵CE=BD ∴DH= CE 又DH∥AE,∠HDF=∠E ∠DFH=∠EFC(对顶角)
∴△ DFH≌△EFC(AAS) ∴DF=EF
四、补全图形
4.如图4,在△ABC中,AC=BC,∠B=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a,求BE的长.
证明:延长AD、BC相交于F.
由BD为∠ABC的平分线,BD⊥AF.
易证△ADB≌△FDB ∴FD= AD=a AF=2a ∠F=∠BAD 又∠BAD+∠ABD=90°,∠F+∠FAC=90° ∴∠ABD=∠FAC
∵BD为∠ABC的平分线 ∴∠ABD=∠CBE ∴∠FAC=∠CBE,而∠ECB=∠ACF=90°,AC=BC ∴△ACF≌△BCE(ASA) ∴BE=AF=2a
已知:如图,在△ABC中,∠BCA=90°,AC=BC,AE平分∠BAC,BE⊥AE,求证:BE=
五、利用角的平分线对称构造全等
1AD. 2
5.如图5,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.证明:AD=CD.
证明:在BC上截取BE=BA,连接DE. 由BD平分∠ABC,易证△ABD≌△EBD ∴AD=DE ∠A=∠BED
又∠A+∠C=180°,∠BED+∠DEC=180° ∴∠DEC=∠C,∴DE=CD ∴
AD=CD