第二章_需求分析课件2

二、希克斯需求函数（Hicksdemand function）或补偿需求函数（compensateddemand function）

希克斯需求函数的定义有两种形式。

∗1.用最小支出问题的解x 定义希克斯需求函数，记为

h (p , u ) 。

实际上，就是说h (p , u ) 表示消费者在最小支出时所选择的优化消费束。而用来购买消费束商品量h (p , u ) 的支出，是消费者为达到效用u 的最小支出e (p , u ) ，此时，二者之间存在如下关系

x i *∂e (p , u ) =h i (p , u ) =∂p i i =1, 2, L , n

称为谢伯特（Shephard）定理。

h (p , u ) ：用最小支出问题的解x *

min p ⋅x

s . t . u (x ) ≥u

证明：

L (x , λ) =p ⋅x +λ[u −u (x )]

在min p ⋅x 处有L (x *, λ*) =p ⋅x *+λ[u −u (x *)]。

∂e (p , u ) ∂L (x *, λ*) *==x i =h i (p , u ) 。∂p i ∂p i 利用包络定理可得：2.另一种定义希克斯需求函数的方式是从财富补偿思路

出发的。（希克斯需求函数更具有政策性）

当商品价格变化之后，为保证消费者的效用保持不变，我们给消费者一些补偿，因此改变了收入水平，此时可定义一个消费者的补偿需求函数，将购买的商品数量作为这些条件下的价格的函数，称为补偿需求函数。

利用固定消费者效用水平约束下，消费者支出最小化而得到。

希克斯需求函数具有对价格p 的零齐次的性质。

对于任意a >0，都有

h (ap , u ) =h (p , u )

∂e (p , u )

成立。由谢伯特定理，h i (p , u ) =∂p ，而支出函数i

e (p , u ) 是价格的一次齐次函数，而一次函数的一阶导数是零齐次的。

这个性质的经济含义是指在u (x ) ≥u 条件下最小化p ⋅x 导出的最优消费束和在同样条件下最小化ap ⋅x 所导出的最优消费束是相同的，即h (ap , u ) =h (p , u ) 。

三、对偶原理

对偶性通常是指一些成对问题或概念。比如，消费者效用最大化问题和支出最小化问题，两者的行为原则是一致的，只是目标和约束条件的表达刚好相反。

在需求分析中，存在四个重要的恒等关系，称之为对偶

性。

如果效应函数u (⋅) 是严格单调和连续的，而且消费者效用最大和支出最小问题都有解，则

（1）x (p , w ) ≡h [p , v (p , w )]

★（2）h (p , u ) ≡x [p , e (p , u )]

（3）e [p , v (p , w )]≡w

（4）v [p , e (p , u )]≡u 马歇尔希克斯支出函数间接效用函数

证明：只需证明（1）、（2）两个恒等式，（3）、（4）两个恒等式同时得证。

1、按照定义x (p , w ) 是问题

max u (x )

S . t . px ≤w

的解。记u =u (x (p , w )) =v (p , w ) 。将如此定义的最大化效用水平，置换到问题

min px

S . t . u (x ) =u

中，只要证明x (p , w ) 仍然还是最小支出问题的解即可。

假设最小支出问题的解是x ′，而且x ′≠x (p , w ) ，则有p x ′

记=w −p x ′max(p i ) ，取ε=，

′+ε, x ′′x ′′=(x 12, L , x k ) 则

′+ε) +∑p i x ′p x ′′=p 1(x 1i

i =2k

′+∑p i x ′=p 1x 1i +p 1ε

i =2k

p 1=p x ′+(w −p x ′) ≤w 由于u 是严格递增函数，u (x ′′) ≥u (x ′) =u (x (p , w )) ，也就是说明解x (p , w ) 并不是最大效用问题的解，与假设矛盾。

2、设h (p , u ) 是最小支出问题的解，将w =ph (p , u ) 置换进最大效用问题的约束条件，只需证明h (p , u ) 仍然是最大效用问题的解即可。

x ′，x ′≠h (p , u ) ，使得u (x ′) >u [h (p , u )]，

且p x ′=w ，由于u 是严格递增函数，必然存在一个x ′′，使假定存在得

u (x ′) >u (x ′′) >u [h (p , u )]

且p x ′′

上述四个关系式中，h (p , u ) ≡x [p , e (p , u )]最重要。因结果得到h (p , u ) 不是最小支出问题的解，与假设矛盾。为它将可观察的瓦尔拉斯需求函数与不可观察的希克斯需求函数联系起来。

虽然存在这些对偶关系，但马歇尔需求和希克斯需求仍然存在明显的差别：

（1）分别建立在不同的假设基础上，马歇尔需求假设名义收入不变，而希克斯需求则假设真实收入或效用水平不变。

（2）经验研究主要依靠马歇尔需求，因为价格和收入

数据容易获得，理论研究中补偿需求则更为方便。

2.3需求弹性

所谓的弹性是指两个相关变量中，当一个变量变动时，另一个变量的反应程度。比如反映变量x 对w 变动的弹性

x 变动的百分比dx /x ，在需求分析中常用的弹性E ==w 变动的百分比dw /w

描述需求对价格或需求对收入变动的反馈程度，称为需求弹性分析。

一、需求价格弹性（priceelasticity of demand）

1.定义：对消费束x 的需求弹性定义为

d ln x dx x dx p E ===⋅d ln p dp p dp x

需求价格弹性说明由于价格变动所引起的需求数量的变动，或需求数量对价格变动的反映程度。

2.由弹性决定的商品分类，利用弹性可将商品划分为：奢侈品(luxury)：弹性值很高E >1或E −1的商品。

3.由弹性定义的收入与价格变动的关系。

由于消费者在

收入的影响为x 上的支出是w =px ，则单位价格变动对

p dx dw dpx dx ==x +p =x (1+⋅) =x (1+E ) dp dp dp x dp

显然当价格p 上升时，

dw >0消费者购买商品（必需品）的支出若E >−1，dp

增加；

dw =0若E =−1，dp 消费者购买商品的支出不变；

dw

下降。

4.需求交叉价格弹性（cross-price elasticity of demand）

需求交叉价格弹性定义为A 商品需求量变动比率与B 商品价格变动比率之比，即

E AB d ln x A dx A x A dx A p B ===⋅d ln p B dp B p B dp B x A

二、古诺合并条件：需求价格弹性与需求交叉价格弹性的关系

如果存在固定的预算约束w =p 1x 1+p 2x 2，而且存在0

dw 0=dp 2=0，也就是说财富和价格p 2价格不变，则dw

的全微分方程为

∂w ∂w ∂w ∂w dw =⋅dp 1+⋅dx 1+⋅dp 2+⋅dx 2∂p 1∂x 1∂p 2∂x 20

∂w ∂w 0∵dw =dp 2=0，

=x 1=p 1∂p 1∂x 1

∴x 1dp 1+p 1dx 1+p 2dx 2=0

p x x 两边同时乘以0，则w x 1x 2dp 1

x 1dp 1⋅p 1x 1x 2

w x 1x 2dp 1

p 1x 1

w 00+p 1dx 1⋅p 1x 1x 2w x 1x 2dp 10+p 2dx 2⋅p 1x 1x 2w x 1x 2dp 10=0p 1dx 1p 1x 1p 1dx 2p 2x 2+⋅⋅0+⋅⋅0=0x 1dp 1w x 2dp 1w

p 1x 1

w 0（1）记a 1=为第一种商品支出占总支出的比重，而a 2=p 2x 2

w 0为第二种商品支出占总支出的比重。则式（1）可写成

a 1+a 1E 11+a 2E 21=0

即

a 1E 11+a 2E 21=−a 1（古诺合并条件）

古诺合并条件的意义：

已知自身的需求价格弹性，则可以由此条件来确定需求交叉价格弹性。

三、希克斯需求函数的需求价格弹性和需求交叉价格弹性如果u =f (x 1, x 2) ，而du =0，即效用保持不变，则

du =f 1dx 1+f 2dx 2=0

f 1dx 1+dx 2=0f 2

p 1dx 1+dx 2=0p 2

p 1dx 1+p 2dx 2=0

p 1dx 1⋅p 1x 1x 2

w x 1x 2dp 10+p 2dx 2⋅p 1x 1x 2

w x 1x 2dp 10=0

p 1dx 1p 1x 1p 1dx 2p 2x 2⋅⋅0+⋅⋅0=0x 1dp 1w x 2dp 1w

a 1ξ11+a 2ξ21=0

p 1dx 2p 1dx 1ξ=其中，ξ11=，21x dp 分别为补偿需求函数的x 1dp 121

需求价格弹性和需求交叉价格弹性。

注意：对于希克斯需求函数，古诺合并条件不成立。

四、需求的收入弹性

需求的收入弹性是指在价格不变条件下，财富变动对需求量的变动率强度，即

∂ln x 1w ∂x (p 1, p 2, w ) η1==⋅∂ln w x 1∂w

其中η1表示对财富变动对x 1需求的收入弹性。

收入弹性可正、可负、可为0。

正常品：η1>0

吉芬商品：η1

五、恩格尔合并条件

对预算约束w =p 1x 1+p 2x 2进行全微分，有dw =x 1dp 1+p 1dx 1+x 2dp 2+p 2dx 2

（1）

假定价格不变，也就是说dp 1=dp 2=0，由此，（1）变成

dw =p 1dx 1+p 2dx 2

x 1x 2w 两边同乘以w ，右边第一项乘以x ，第二项乘以x ，然

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后等式两边除以dw ，则

x 1x 2w dw =[p 1dx 1⋅+p 2dx 2⋅]w x 1x 2

w p 1x 1dx 1w p 2x 2dx 21=⋅+⋅x 1w dw x 2w dw

p 2x 2p 1x 1而a 1=，a 2=，故有w w

a 1η1+a 2η2=1

率加权之和等于1。

注意：

对于希克斯需求函数h (p , u ) ，由于收入不是这些函数的自变量，所以不存在收入弹性。（2）（2）式称为恩格尔合并条件，表明收入弹性以商品支出比