初高中数学衔接 第1课 数与式的运算(1)

第1课 数与式的运算（1）

一、绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零． ⎧a ，a >0，即|a |＝⎪

⎨0，a ＝0，⎪

⎩－a ，a

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：|a －b |表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 【例1】 在数轴上表示|x ＋1|与|x －1|的几何意义．

【例2】化简：(1)|3x －2|； (2)|x ＋1|＋|x －3|； x －4x ＋4；

【例3】解下列方程：(1)|x －1|＝1；(2)|x 2－1|＝1.

【例4】 解下列不等式．(1)|2x ＋3|≤2； (2)|x －1|＋|x －3|>4.

(4)t ＋4t ＋4.

【例5】 画出下列函数的图象．(1)y ＝|x |；(2)y ＝|x －2|＋|x ＋2|.

二、乘法公式

1．平方差公式：(a ＋b )(a －b ) ＝a 2－b 2. 2．完全平方公式：(a ±b ) 2＝a 2±2ab ＋b 2. 3．立方和公式：(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2) ＝a 3＋b 3. 4．立方差公式：(a －b )(a 2＋ab ＋b 2) ＝a 3－b 3.

5．三数和平方公式：(a ＋b ＋c ) 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac ) ． 6．两数和立方公式：(a ＋b ) 3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3. 7．两数差立方公式：(a －b ) 3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3. 【例6】 因式分解． (1)x 3－1； (2)x 3＋1.

【例7】 计算：(x ＋1)(x －1)(x 2－x ＋1)(x 2＋x ＋1) ．

【例8】已知：x ＋y ＝1，求x 3＋y 3＋3xy 的值．

【例9】已知：x 2－3x ＋1＝0，求x 3＋1

x

【例10】设x ＝2323，y 2－3

2

＋3

x 3＋y 3的值．

1．下列叙述正确的是( )

A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a

3．如果|a |＋|b |＝5，且a ＝－1，则b ＝________；若|1－c |＝2，则c ＝________. 4．化简：|x ＋1|－|x －2|.

5．解方程3|x ＋1|－1＝5.

6．解不等式|x 2－1|≤2.

7．画出下列函数的图象．(1)y ＝－|x ＋1| (2)y ＝|x |＋|x －1|

8．计算：(1)(4＋m )(16－4m ＋m 2) ；

(3)(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2) －(a ＋b ) 3；

9．已知：x 2－5x ＋1＝0，求x 3＋1

x

(2)(x 2＋2xy ＋y 2)·(x 2－xy ＋y 2) 2； (4)(a －4b )(1

24

＋4b 2＋ab ) ．

111

10．已知：a ＋b ＋c ＝0，求b ＋c －a a ＋c －b ＋a ＋b －c

－

．已知：a >0，a 2x

＝3，求：a 3x ＋a 3x

11a ＋a －

12．已知：a 2

－4a ＋1＝0a 2

a ＋5a ＋1

的值．

13．已知：a ＋b ＋c ＝0，求a (1b ＋1c ＋b 1c 1a ＋c (11

a ＋b ) ．

14．已知：a ＋b ＋c ＝0. 求证：a 3＋a 2c ＋b 2c －abc ＋b 3＝0.

答案精析

例1 解 |x ＋1|为A 、B 两点间的距离，如图

|x －1|为A 、B 两点间的距离，如图

⎧3x －2 (x ≥2

3例2 解 (1)|3x －2|＝⎨⎩－3x ＋2 (x

3

)

；

⎧－2x ＋2 (x ≤－1(2)|x ＋1|＋|x －3|＝⎪

)⎨ 4 (－1

⎪⎩2x －2 (x ≥3)

；

(3)原式＝(x －2)＝|x －2|＝⎧⎪⎨x －2 (x ≥2)

⎪⎩

－x ＋2 (x

；

(4)原式＝(t ＋2)＝t 2＋2.

例3 解 (1)x ＝0或x ＝2；(2)x ＝0或x ＝2. 例4 解 (1)52x ≤－1

2；(2)x >4或x

例5 解

例6 解 (1)(x －1)(x 2＋x ＋1) ；(2)(x ＋1)(x 2－x ＋1) ． 例7 解 (x 3＋1)(x 3－1) ＝x 6－1.

例8 解 原式＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2) ＋3xy ＝(x ＋y ) 2＝1. 例9 解 由x 2－3x ＋1＝0得：x 1

x 3，

∴x 3＋1x 3[(x 1

x

2－3]＝18.

例10 解 xy ＝1，x ＋y ＝14，x 3＋y 3＝2 702. 强化训练

1．D 2.±5 ±4 3.±4 3或－1

⎧－3 (x ≤－1)4．解 |x ＋1|－|x －2|＝⎪

⎨2x －1 (－1

⎪⎩3 (x ≥2)

5．解 x ＝1或x ＝－3 6．解 3≤x ≤3 7．解

8．解 (1)64＋m 3；(2)(x 3＋y 3) 2＝x 6＋2x 3y 3＋y 6； (3)－3a 2b －3ab 2；183－8b 3) ＝1

43－16b 3.

9．解 x ＋1x 5，(x ＋11

x )[(x ＋x

2－3]＝110.

10．解 原式＝1111a ＋b ＋c

－2bc －2ac ＋－2ab 2[abc ＝0.

11．解 原式＝a 2x －1＋a

－2x

＝3－1＋17

33

12．解 a ＋1a ＝4，a 2＋1a 14，原式＝11

a 2＋119

a 5

13．解 原式＝a c b b c a b a b b b －1＋a a a －1＋c c ＋c

c

1＝－3.

14．证明 原式＝a 2(a ＋c ＋b ) －a 2b －abc ＋b 2c ＋b 3＝－ab (a ＋c ＋b ) ＋ab 2＋b 2c ＋b 3＝b 2(a ＋b ＋c ) ＝0.