7.2空间立体几何体的表面积和体积

第二节 空间几何体的表面积和体积

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

[探究] 1. 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？ 提示：

2．如何求不规则几何体的体积？

提示：常用方法：分割法、补体法、转化法．通过计算转化得到基本几何体的体积来实现．

[自测·牛刀小试]

1．棱长为2的正四面体的表面积是( ) C ．43

B ．4 D ．16

32

×2＝43. 4

解析：选C 正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S ＝4×

2．(2012·上海高考) 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________． 解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S 表＝S 侧＋2S 底＝cl ＋2πr 2＝2π×2＋2π＝6π.

答案：6π

3．(教材习题改编) 一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的______倍；体积扩大为原来的______倍．

解析：设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3，

S 4

则S 1＝4π，S 2＝4π×32＝36π，即＝9，所以表面积扩大为原来的9倍．由V 1＝π，V 2

S 134V ＝×33＝12π，即＝27，所以体积扩大为原来的27倍． 3V 1

答案：9 27

4．(2012·辽宁高考) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

________．

解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V ＝1×π＋4×3×1＝12＋π.

答案：12＋π

5．(教材习题改编) 如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________．

解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半径为r ，则得2π1

＝2πr ，解得r ＝1，又圆锥的母线长为2，3，所以这个圆锥筒的容积为×123

3＝3π. 3答案：

3

π 3

[例1] (2012·北京高考) 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )

A ．28＋5 C ．56＋5

B ．30＋65 D ．60＋5

[自主解答] 该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P 在底面上的投影D 在棱AB 上，且∠ABC ＝90°，

据正视图知，AD ＝2，BD ＝3，PD ＝4， 据侧视图知，BC ＝4.

综上所述，BC ⊥平面P AB ，PB ＝PD ＋BD ＝5，

PC ＝BC ＋PB ＝16＋2541， AC ＝AB ＋BC ＝41， P A ＝PD ＋AD ＝5.

∵PC ＝AC 41，∴△P AC 的边AP 上的高为 h ＝

2

PC 2－⎛⎝2＝6.

11

∴S △P AB ＝·PD ＝10，S △ABC AB ·BC ＝10，

2211

S △PBC ＝PB ·BC ＝10，S △APC ＝AP ·h ＝5.

22

故三棱锥的表面积为S △P AB ＋S △ABC ＋S △PBC ＋S △APC ＝30＋65. [答案] B —————

—————————————— 由三视图求几何体表面积的方法步骤

根据三视图确定几何体利用有关

―→―

→

画出直观图的结构特征公式计算

1

．(2013·马鞍山模拟) 如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )

A ．4π C ．5π

15π

417π 4

1

解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，故

87117

2＋·π·12＝

844

[例2] (1)(2012·湖北高考) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

8π

310π

3

B ．3π D ．6π

(2)(2012·安徽高考) 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________．

[自主解答] (1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V 1

＝π×12×2π×12×2＝3π.

2

(2)据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形(两底边长分别为2、5，2＋5直腰长为4，即梯形的高为4) ，高为4. ∴该几何体的体积为V ＝4×4＝56.

2

[答案] (1)B (2)56 —————

—————————————— 由三视图求解几何体体积的解题策略

以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．

2．(2012·新课标全国卷) 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )

A ．6 C ．12

B ．9 D ．18

解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱11

锥，其体积为××6×3×3＝9.

32

3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(

)

2π

A ．8－

3C ．8－2π

π

B ．8－

32π3

解析：选A 圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，12

即V ＝23－π×12×2＝8－

33

[例3] (2012·新课标全国卷) 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )

2

6

2

3

3

62 2

[自主解答] △ABC 的外接圆的半径r 3

，点O 到平面ABC 的距离d ＝R －r ＝3

661. SC 为球O 的直径，故点S 到平面ABC 的距离为2d ＝，故棱锥的体积为V △ABC ×2d 333

12＝3436

[答案] A —————

—————————————— 与球有关的切、接问题的解题策略

解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(

要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系) ，达到空间问题平面化的目的．

4．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )

A ．12π C ．72π

B ．36π D ．108π

解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为 (2)2－(6)2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的

2球心即为底面正方形的中心，

其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32

＝36π.

3个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤

3种方法——求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．

(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．

(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．

1种数学思想

——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法

计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

创新交汇——空间几何体中体积的最值问题

1．求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查．

2．求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值．

[典例] (2012·湖北高考(节选)) 如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示) ．当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大？

[解] 如图1所示的△ABC 中，设BD ＝x (0

由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如图2) ，AD ⊥DC ，AD ⊥DC ，且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BDC ，

11∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝·CD x (3－x ) ．

22111

于是V A －BCD ·S △BCD ＝(3－x x (3－x ) ．

3321

法一：V A －BCD ＝x 3－6x 2＋9x ) ．

61

令f (x ) ＝x 3－6x 2＋9x ) ．

6

1

由f ′(x ) ＝(x －1)(x －3) ＝0，且0

2当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )

11⎡2x ＋(3－x )＋(3－x )322x (3－x )(3－x ) ≤1212⎣3＝3，

当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，取“＝”． 故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大． [名师点评]

解答此题的关键是恰当引入变量x ，即令BD ＝x ，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题．

[变式训练]

如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M ，N . 设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x ) 的图象大致是( )

解析：选B 显然，只有当P 移动到中心O 时，MN 有唯一的最大值，淘汏选项A 、C ；P 点移动时，取AA 1的中点E ，CC 1的中点Q ，平面D 1EBQ 垂直于平面BB 1D 1D ，且M 、N 两点在菱形D 1EBQ 的边界上运动，故x 与y 的关系应该是线性的，淘汰选项D ，选B.

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )

A ．7 C ．5

B ．6 D ．3

解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .

由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.

2．(2013·长春模拟) 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )

3 2C ．3π

B ．2π D ．4π

1

解析：选A 依题意知，该几何体是一个底面半径为1的圆柱，则其全面积为

2

1⎫2132π×⎛＋2π×1＝π. ⎝2⎭22

3．(2012·广东高考) 某几何体的三视图如图所示，它的体积为(

)

A ．72π C ．30π

B ．48π D ．24π

141

解析：选C 此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V ＝××33＋

233π×32×5－3＝30π.

S 4．(2013·广州模拟) 设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 2

等于( )

2 ππ 6

6B. ππ2

323

解析：选D 设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 22，即a 43S R ，则＝

S 2

4πR 2π

＝.

23⎫

226×⎛

⎝3⎭

5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A ．48 C ．48＋17

B ．32＋817 D ．80

解析：选C 由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧面贴在地面上) ，直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底

长为4，高为4，

1∴两底面积和为2×(2＋4) ×4＝24， 2

四个侧面的面积为4×(4＋2＋217) ＝24＋17，

∴几何体的表面积为48＋86．已知正方形ABCD 的边长为2，将△ABC 沿对角线AC 折起，

使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B －ACD . 若O 为AC 边

的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点(不包括端点) ，且BN ＝CM .

设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积y ＝f (x ) 的函数图象大致是(

)

解析：选B 由平面ABC ⊥平面ACD ，且O 为AC 的中点可知，BO ⊥平面ACD ，易知

1BO ＝2，故三棱锥N －AMC 的高为ON ＝2－x ，S △AMC ·AD ＝2x ，故三棱锥N －AMC 2

11的体积为y ＝f (x ) ＝·(2－x 2x ＝(2x 2＋2x )(0

物线的一部分．

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．(2012·安徽高考) 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．

解析：由三视图可知此几何体为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积S ＝(4＋2＋5＋

15) ×4＋2×(2＋5) ×4＝92. 2

答案：92

8．(2012·江苏高考) 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm，AA 1＝2 cm，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm3.

解析：由题意，四边形ABCD 为正方形，连接AC ，交BD 于O ，则AC ⊥BD . 由面面垂直的性质定理，可证AO ⊥平面BB 1D 1D . 四棱锥底面BB 1D 1D 的面积为32×2＝2，从而

1VA －BB 1D 1D ×OA ×S 长方形BB 1D 1D ＝6. 3

答案：6

9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．

解析：该棱锥的直观图如图，取CD 的中点E ，BD 的中点F ，由三视

图知，AE ⊥平面BCD ，AF ＝5，AE ＝5－3＝4，∠CBD ＝90°. 设O 为该

棱锥外接球的球心，半径为R ，由题知BO 2＝BE 2＋EO 2，即R 2＝(32) 2＋

17⎫2289π17(R －4) 2，解得R ＝，故球的表面积为S ＝4×π×⎛⎝4⎭4. 4

289π答案：4

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10．(2013·杭州模拟) 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC

＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成

几何体的表面积及体积．

解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，

S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5) ×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋2)π，V ＝V 圆台

11148225) ×4π×22×2＝ －V 圆锥＝(π·2＋π·5＋2·333

11．(2013·郑州模拟) 一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

(1)求该几何体的体积V ；

(2)求该几何体的表面积S .

解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图) ，其底

面是边长为13.

所以V ＝1×1×3＝3.

(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平

面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形，

所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2) ＝6＋23.

12．如图1所示，在边长为12的正方形ADD 1A 1中，点B 、C 在线段AD 上，且AB ＝3，BC ＝4，作BB 1∥AA 1分别交A 1D 1、AD 1于点B 1、P ，作CC 1∥AA 1分别交A 1D 1、AD 1于点C 1、Q ，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得DD 1与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1

.

(1)求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；

(2)求多面体A 1B 1C 1－APQ 的体积．

解：(1)由题知，在图2中，AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，

∴AB 2＋BC 2＝CA 2，∴AB ⊥BC .

又∵AB ⊥BB 1，BC ∩BB 1＝B ，∴AB ⊥平面BCC 1B 1.

1(2)由题易知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为3×4×12＝72. 2

∵在图1中，△ABP 和△ACQ 都是等腰直角三角形，

∴AB ＝BP ＝3，AC ＝CQ ＝7，

111∴V A －CQPB ＝×S 四边形CQPB ×AB ×(3＋7) ×4×3＝20. 332

∴多面体A 1B 1C 1－APQ 的体积V ＝VABC －A 1B 1C 1－V A －CQPB ＝72－20＝

52.

1．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是(

)

A ．24

C ．8 B ．12 D ．4

解析：选B 依题意知，该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的部分，因

1此其体积等于2×3×4－2×3×4＝12. 2

2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(

)

A ．32

C ．48 B ．16＋D ．16＋2

解析：选B 该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为122，故其表面积是4×4＋4××4×22＝16＋162. 2

3．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形

和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．

解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32122，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为V 1×1×＝. 22326

答案：2 6

4．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A 出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A

1的最短路线的长为________cm.

解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如

5＋12＝13 (cm)．

答案：13