2013中考数学精选例题解析 方差
2013中考数学精选例题解析：方差
知识考点：
了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，掌握它们的计算方法，并能以此比较同类问题的两组数据的波动情况，了解用样本方差估计总体方差的思想方法。 精典例题：
【例1】选用恰当的公式，求下列各数据的方差。
（1）－2，1，4 （2）－1，1，2 （3）79，81，82 分析：由于（1）中各数据及它们的平均数为较小整数，因此选用公式：
S 2=
1
(x 1-) 2+(x 2-) 2+⋅⋅⋅+(x n -) 2求方差较简便；（2）中各数据虽为较n
[]
____
⎤1⎡222
小整数，但它们的平均数为分数，因此选用公式：S =⎢(x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n ) -nx 2⎥求
n ⎣⎦
2
方差较简便；（3）中数据较大且接近80，因此取a =80运用公式：
____
⎤1⎡222
'+x 2'+⋅⋅⋅+x n ') -n x '2⎥求方差较简便。 S =⎢(x 1
n ⎣⎦2
2
答案：（1）S =6；（2）S =1；（3）S =1
2
59
2
59
【例2】甲、乙两人在相同条件下，各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示，
次数
（1）请填写下表：
1
（2）请从下面四个不同的角度，对这次测试结果进行分析。 ①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力） 解：（1）略；
（2）①∵平均数相同，S
2甲
②∵平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些； ③∵平均数相同，命中9环以上环数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些； ④甲成绩的平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少
的情况发生，乙较有潜力。
评注：方差、标准差都是反映数据波动大小的量，波动大小是数据的属性，而不是判断好坏的标准。 探索与创新：
【问题一】某工人加工一种轴，轴的直径要求是20±5毫米，他先加工了8件，量得直径分别为（单位：毫米）：19. 7、20. 2、19. 6、19. 8、20. 2、20. 3、19. 8、20. 0。当他加工完10件后，发现这10件的直径平均数为20毫米，标准差为0. 3毫米，请问此工人最后加工的两件轴的直径符合要求吗？为什么？
分析：要想作出正确的判断，需首先根据已知的平均数和标准差求出最后加工的两件轴的直径。
解：此工人最后加工的两件轴中，只有一件的直径符合要求。
设最后加工的两件轴的直径分别为x 毫米，y 毫米（x ≤y ），令x -20=m ，
y -20=n ，取a =20，则x '=x -a =20-20=0。
____
2
__
由x '=
1
(-0. 3+0. 2-0. 4-0. 2+0. 2+0. 3-0. 2+0+m +n ) 得：m +n =0. 4 10
1
(-0. 3) 2+0. 22+(-0. 4) 2+⋅⋅⋅+m 2+n 2) =0. 32得：m 2+n 2=0. 4 10
由S =
2
[]
∴有方程组⎨
⎧m +n =0. 4
22
⎩m +n =0. 4
，解得：⎨
⎧m =-0. 2
⎩n =0. 6
∴x =-0. 2+20=19. 8，y =0. 6+20=20. 6
因此该工人最后加工的两件轴中有一件是符合要求的（直径为19. 8毫米的），一件是不符合要求的（直径为20. 6毫米的）。 跟踪训练： 一、选择题：
1、已知一组数据－1，x ，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是（ ） A、2 B、2 C、4 D、10
2、某工厂对一个生产小组的零件进行抽样调查，在10天中，这个生产小组每天出的次品数为（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，在这10天中，该生产小组生产零件所出的次品数的（ ）
A、平均数是2 B、众数是3 C、中位数是1. 5 D、方差是1. 25 3、设x 1、x 2、„、x n 的方差是S ，则5x 1-1、5x 2-1„、5x n -1的方差是（ ）
2
A、5S B、5S -1 C、25S D、25S -1 4、下列各组数据中，满足条件“容量为5，平均数为4，方差为2”的是（ ） A、3，4，4，3，5 B、4，4. 5，3. 5，6，2
C 、4-2，3，6，3，4+二、填空题：
1、为了考查一个养鸡场里鸡的生长情况，从中抽取5只，称得它们的重量如下（单位：千克）：3. 3，3. 0，3. 4，3. 1，3. 2，在这个问题中，样本方差S ＝
3
2
2222
2 D、5，3，4，7，1
2、一名学生军训时连续射靶10次，命中的环数分别为4、7、8、6、5、9、10、7、6、8，则这名学生射击环数的标准差是 。
3、若a 、4、2、5、3的平均数是b ，且a 、b 是方程x -4x +3=0的两个根，则这组数据的方差为 。
4、已知样本99、101、102、x 、y （x ≤y ）的平均数为100，方差为2，则x ＝ ，
2
y ＝。
5、现有A 、B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验，每名参加者可获得0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分这几种不同分值中的一种。测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示。
11B 班
分数
（1）由观察所得， 班的标准差较大；
（2）若两班合计共有60人及格，问参加者最少获 分值可以及格。 三、解答题：
1、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下（单位：cm ）：
甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8 乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11
如果你也经过了这次考察，请你经过计算后回答下列问题： （1）哪种农作物的10株苗长的比较高？ （2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？
2、甲、乙两个小组各10名同学进行英语口语会话练习，各练5次，他们每个同学合格的次数分别如下：
甲组：4，1，2，2，1，3，3，1，2，1
4
乙组：4，3，0，2，1，3，3，0，1，3
（1）如果合格3次以上（含3次）作为及格标准，请你说明哪个小组的及格率高？ （2）请你比较哪个小组的口语会话的合格次数较稳定？
3、甲、乙两个班举行电脑汉字输入速度比赛，各选10名学生参加，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
请你填写上表中乙班学生的相关数据，再根据所学的统计学知识，从不同方面评价甲、乙两班学生的比赛成绩（至少从两个方面进行评价）。
4、一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已知算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学的统计学知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由。
参考答案
一、选择题：BDCC 二、填空题：
1、0. 02；2、；3、2；4、x ＝98，y ＝100；5、（1）A ，（2）4分 三、解答题：
1、（1）∵甲＝10，乙＝10
∴两种农作物的10株苗的平均高度相同。 （2）∵S
2
甲＝3. 6，
S 2乙＝4. 2
5
∴S
2甲
＜S
2
乙
故甲种农作物的10株苗长的比较整齐。
2、（1）甲组合格人数为3人，甲组及格率为为50％，所以乙组的及格率高。
（2）∵甲＝2，乙＝2，S
2
甲＝1，
3
⨯100%=30%；同理乙组的及格率10
S 2乙＝1. 8
∴S
2
甲＜S 2乙
∴甲组的口语会话的合格次数比较稳定。
3、134，134. 5，135，1. 8。评价：①从众数看，甲班每分钟输入135字的人最多，乙班每分钟输入134字的人最多；②从中位数看，甲班每分钟输入135字以上的人数比乙班多；③从方差看，S
2
甲＜
S 2乙，甲班成绩波动小，比较稳定；④从最好成绩看，乙班速度最快
的选手比甲班多1人。
4、①从成绩的众数来看，由于甲组、乙组成绩的众数分别为90分、70分，因此甲班成绩较好；②从中位数、平均数来看，甲乙两组成绩的中位数、众数都是80分，成绩相同，其中成绩在80分以上的甲、乙两班各有33人，26人，因此甲组成绩总体较好；③从方差来看，S
2
甲＝172，
S 2乙＝256，所以S 2甲＜S 2乙，甲组成绩比乙组更稳定；④从高分段看，
甲、乙两组成绩达到或超过90分的分别有20人、24人，因此乙组成绩较好。
6