关于需求价格弹性的探讨_王社军

第20卷第4期2004年8月

大　学　数　学

COLL EGE M A TH E M A T I CS

. 20, №. 4V o l

A ug . 2004

关于需求价格弹性的探讨

王社军

(兰州工业高等专科学校基础学科部, 甘肃兰州730050)

　　[摘　要]需求价格弹性是管理经济学中的一个重要概念, 是指导市场行为的重要指标, 格弹性概念, 掌握弹性的计算方法就显得格外重要. .

[关键词]需求函数; 需求价格弹性; 收益; 边际收益; ; ; [中图分类号]O 29; F 014132　　[文献标识码]A 　　[]2) 1　引　　言

, . 价格升高, 需求会相应减少; 价格降低, 需. 商家想通过调整价格的方式来增加收益, 因为价格受到需求函数的制约, 提价

和降价都可能要冒减少收益的风险, 因此应充分考虑该商品目前在市场上的需求所能承受价格变化的能力, 即需求价格弹性.

2　需求价格弹性的概念

设需求函数Q =Q (p ) , 其中p 是商品的价格, Q 是市场对该商品的需求, 则点p 处的商品的需求价格弹性为

・Γ(p ) =-d p Q

(1) 定义式中“-”的理解

因为价格的增长将引起需求量的衰减, 即“-”号.

(2) 需求价格弹性的实质由于

, Γ(p ) =-Q

p

所以需求价格弹性实质上是一种相对变化率, 是刻画需求变动随价格变动的强弱. 即在p 点当价格提高或降低1%时, 需求函数减少或增长的百分数.

(3) 需求价格弹性对收益的影响

因总收益函数

T R (p ) =pQ (p ) ,

则边际收益函数为

　[收稿日期]2003207210

第4期　　　　　　　　　　　　　王社军:关于需求价格弹性的探讨

M R (p ) =

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=p +Q (p ) =Q (p ) ・() +1=Q (p ) [1-Γ(p ) ]. d p d p d p Q p

由此可得下列结论:

有较大的反弹可使总收益增大, 价格上涨反而使总收益减少, 此时称需求量是弹性的.

(i ) 当Γ(p ) >1时,

=0, T R 不变, 需求变动的幅度等于价格变动的幅度, 表示价格变化对总d p

收益不起作用, T R 取得最大值, 此时称需求量是不变弹性的.

(ii ) 当Γ(p ) =1时,

>0, T R 递增, 需求变动的幅度小于价格变动的幅度, 表示降价将使需求d p

量无较大的变化, 反而使总收益减少, 价格上涨使总收益增加, 即总收益不因价格上涨而减少, 此时称需

(iii ) 当Γ(p )

求量是无弹性的.

同理, 若需求函数为p =p (Q ) , 则总收益为

T R =pQ (p ) =p () Q .

边际收益为

==p p =. M R =d Q d Q :

(i ) , , , 需求量的扩大将使(ii ) 当Γ=1时, 需求不变弹性, 边际收益为零, 总收益不因需求量的改变而变化.

(iii ) 当Γ

综上所述, 总收益的变化受到需求弹性的制约, 随商品需求弹性的变化而变化, 其关系如图1所示. 因此要想通过调整价格增加总收益, 就必须考虑商品的需求弹性, 而不能盲目地提价或降价, 以免造成不必要的损失.

由以上讨论, 根据需求价格弹性的取值情况又可得下表:

弹性值Γ(p )

Γ→0

0

图1

表述用语

完全无弹性(水平需求线) 无弹性(缺少弹性) 不变弹性(单位弹性) 有弹性

()

价格上升1%时需求量的变动需求量无变化需求量下降1%Γ=1Γ>1特殊地, 当需求曲线为p =a -b Q (b >0) , 则

-. Q =p 是线性的

b

b

总收益为T R =pQ =(a -b Q ) Q =aQ -b Q 2. 边际收益为M R ==a -2b Q .

d Q 需求弹性为Γ=-・=d p Q b Q

图2

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则Γ的取值依赖于Q 的大小:

时, Γ>1, 有弹性. 2b (ii ) 当Q =时, Γ=1, 不变弹性.

2b (iii ) 当Q >时, Γ

2b

(i ) 当Q

此时需求曲线、总收益、边际收益、需求弹性与需求量的关系如图2所示.

3　点需求价格弹性公式的几何意义

设需求价格函数为Q (p ) , 需求曲线如图3所示, 过C 作曲线的切线分别交两坐标轴于A , B .

由导数的几何意义知, 曲线在C 处的斜率为:

==-=-, tan Αd p OB EC

则在C 点处的需求价格弹性为

・==Γ(p ) =-d p E E , Γ(p ) =

CB

图3

由此结论便可直观地由需求函数的图像计算任一点处的需求价格弹性.

4　需求价格弹性的计算

在计算需求价格弹性时, 根据不同的条件和不同的要求, 往往采用不同的计算方法, 下面分三种情

形分别加以说明.

(i ) 两点间的平均弹性公式对需求函数Q (p ) , 当价格由p 变到p +∃p 时, 需求由Q 变到Q +∃Q , 则Q (p ) 在p 到p +∃p 上的平均弹性为

λ・Γ(p , p +∃p ) =-∃p Q

当 ∃p 很小或不需要精确计算时, 往往用平均弹性近似代替点弹性, 即

・Γ(p ) ≈-∃p Q

例1　某商品的价格由每台500元降低到每台450元时, 每周的销售量在原来1000台的基础上增加了500台, 求该商品的需求弹性.

・=・=5. ∃p Q 501000

因Γ(p ) =5>1, 需求有弹性, 故降低价格可使总收益增加. 另外, 上述需求价格弹性又是需求函数的相对变化率, 即

解　Γ(p ) ≈-=-Γ(p ) ≈-Q p 价格变化率

于是, 借助价格变化率和需求量变化率可以求出需求价格弹性.

例2　某产品滞销, 准备以降价扩大销路. 如果要求当降价10%时, 使销售量增加15%～20%, 求该产品的需求弹性的变化范围.

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=115, 　　Γ(p ) ≈-==2.

Q p 10%Q p 10%

故该产品的需求弹性在115～2之间, 且Γ(p ) >1, 需求有弹性, 所以该方案可以使总收益增加.

77

解　Γ(p ) ≈-

=

这种做法的好处是不需要知道需求函数, 而只需知道两点的价格和需求量的变化百分比, 但当价格发生很大变化(∃p 很大) 时, Γ(p ) 就随p 和Q 值的不同而显著变化, 已不能反映p 点的弹性.

(ii ) 点需求价格弹性公式

・Γ(p ) =-d p Q

该公式是由平均弹性经极限过程(∃p →0) 而来, 利用该公式计算需求弹性, 必须知道需求函数

. Q (p ) 以及Q 与p 的基期值

例3　设每天从甲地到乙地的飞机票的需求量是

Q (p ) =5000

900-p 　(0

其中p (元) 是票价

(1) 求需求弹性;

(2) 问依什么样的票价, 航空公司的收益最大解　(1) 因为

=,

900-p

Γ(p ) =

5000900-p

・

=　(0

900-p 2(900-p )

(2) 令Γ(p ) =1, 得p =600(元) .

因此, 当0

的收益将增大, 需求是无弹性的; 当600

1, 即票价提高一个百分点, 乘客减少将超过一个百分点, 因此航空公司的收益将减少, 需求是弹性的. 所以合理的票价是600元.

(iii ) 弧弹性公式需求曲线Q (p ) 对于价格的上升或下降, 其弹性值应一致, 但当价格和需求量的基期值选取不同时, 将导致弹性值不一致。

例4　若将例1改为, 某商品的价格由每台450元提高到每台500元时, 每周的销售量在原来1500台的基础上减少了500台, 求该商品的需求弹性.

・=・=3. ∃p Q 501500

显然, 例1和例4的结果不一致, 即两点间的弹性具有方向性和相对性, 是相对基期值而言的, P , Q 解　Γ(p ) =-的不同基期值引起需求弹性值的不同. 从而导致“百分比谬论”的产生, 为了解决这一矛盾, 使价格上升和下降的弹性值保持一致, 经济学家使用p 和Q 的平均值引入如下弧弹性公式:

・=-・, Γ(p ) =-∃p p 2-p 1Q 1+Q 2

2

其中p 1, Q 1是基期价格与需求量, p 2, Q 2是终期价格与需求量.

例5　借助弧弹性公式计算例1、例4中的需求弹性. 解　Γ(p ) =-计算弹性.

・=・=318.

p 2-p 1Q 1+Q 2502500

用弧弹性公式比用变动百分比计算弹性更常用, 是目前通用的一种弹性计算公式, 经济学中常用它

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[参　考　文　献]

[1]　赵树　. 微积分(修订版) [M ]. 北京:中国人民大学出版社, 1988, 179-193. [2]　孟军. 高等数学[M ]. 北京:中国农业出版社, 2001, 76-81.

[3]　杨永华. 市场经济学原理(中国版) [M ]. 广州:广东经济出版社, 2003, 141-144.

[4]　[美]埃德温・曼斯菲尔德. 管理经济学(第三版) [M ]. 北京:经济科学出版社, 1999, 88-91.

[5]　[英]温・霍恩比, 鲍勃・甘米, 斯图尔特・沃尔. 企业经济学[M ]. 北京:华夏出版社, 2003, 142-143. [6]　卢锋. 经济学原理(中国版) [M ]. 北京:北京大学出版社, 2002, 42-46.

D iscussion of Pr ice Ela stic ity of D emand

W A N G S he 2(T he Basic Courses D epartm ent of L anzhou Po L Abstract :P rice elasticity of i m po ti econom ics , it is an i m po rtant target to guide the o , it i m the concep ti on of p rice elasticity of dem and and to grasp m of th paper discusses the concep ti on and calculating m ethod of p rice elasticity of dem and .

Key words dem and functi on ; p rice elasticity of dem and ; benefits ; m arginal benefits ; average fo r m ula p rice elasticity of dem and ; po int elasticity ; arc elasticity