7.3两条直线的位置关系4
课 题:7.3两条直线的位置关系(四)
―点到直线的距离公式
教学目的:
1. 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式; 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离3. 教学重点:点到直线的距离公式教学难点:点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型:新授课课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪内容分析:
前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式,两直线的交点问题,逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离.
在引入本节的研究问题:点到直线的距离公式之后,引导学生分析点到直线距离的求解思路,一起分析探讨解决问题的各种途径,通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施,以培养学生研究问题的习惯,分析问题进而解决问题的能力.
在解决两平行线的距离问题时,注意启发学生与点到直线的距离产生联系,从而应用点到直线的距离公式求解教学过程:
一、复习引入:
1.特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时:
(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行; (2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直
2.斜率存在时两直线的平行与垂直:
两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,
如果它们的斜率相等,则它们平行,即l1//l2k1=k2且b1b2 已知直线l1、l2的方程为l1:A1xB1yC10, l2:A2xB2yC20(A1B1C10,A2B2C20)
l1∥l2的充要条件是
A1A2
B1B2
C1C2
⑵两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是k1和k2,则这两条直线垂直的充要条件是k1k21.
已知直线l1和l2的一般式方程为l1:A1xB1yC10, l2:A2xB2yC20,则l1l2A1A2B1B20.
3.直线l1到l2的角的定义及公式:
直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角. l1到l2的角θ:0°<θ<180°, 如果1k1k20,即k1k21,则
2
.如果
1k1k20,tan
k2k1
1k2k1
4.直线l1与l2的夹角定义及公式:
l1到l2的角是1, l2到l1的角是π-1,当l1与l2相交但不垂直时, 1和
π-1仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线l1⊥l2时,直线l1与l2的夹角是
1k1k20,即k1k21,则
2
.夹角:0°<≤90°.如果
k2k1
2
.如果1k1k20,tan
1k2k1
5.两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
A1xB1yC10
是否有惟一解
A2xB2yC20
二、讲解新课:
1.点到直线距离公式:
点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为:d (1)提出问题
Ax0By
2
C
AB
2
在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是
l:AxByC0,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离
呢?
(2)解决方案
方案一:根据定义,点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长. 设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥l可知,直线PQ的斜率为
BA
(A≠0),根据点斜式
写出直线PQ的方程,并由l与PQ的方程求出点Q的
坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点P到直线l的距离为d此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二:设A≠0,B≠0,这时l与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交l于点R(x1,y0);作y轴的平行线,交l于点S(x0,y2),
A1x1By0C0By0CAx0C
,y2由得x1.
AxByC0AB02
所以,|PR|=|x0x1|=
Ax0By
AC
C
|PS|=|y0y2|=
Ax0By
B
|RS|=PR
2
PS
2
ABAB
22
×|Ax0By0C|由三角形面
积公式可知:d·|RS|=|PR|·|PS|所以d
Ax0By
2
C
2
AB
可证明,当A=0或B=0时,以上公式仍适用2.两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1:AxByC10, l2:AxByC20,则l1与l2的距离为d
C1C2
AB
22
证明:设P0(x0,y0)是直线AxByC20上任一点,则点P0到直线AxByC10的距离为d
Ax0By
2
C1
AB
2
又 Ax0By0C20 即Ax0By0C2,∴d=三、讲解范例:
例1 求点P0(1,2)到下列直线的距离. (1)2xy100;(2)3x2 C1C2A
2
B
2
解:(1)根据点到直线的距离公式得d
2(1)210
21
2
2
25
(2)因为直线3x2平行于y轴,所以d|
23
(1)|
53
评述:此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式,要求学生熟练掌握; (2)体现了求点到直线距离的灵活性,并没局限于公式.
例2 求两平行线l1:2x3y80,l2:2x3y100的距离. 解法一:在直线l1上取一点P(4,0),因为l1∥l2,所以点P到l2的距离等于l1与l2的距离.于是d
243010
23
2
2
2
213
解法二:l1∥l2又C18,C210.
由两平行线间的距离公式得d
8(10)23
2
2
23
13
四、课堂练习: 课本P53练习
1.求原点到下列直线的距离:
(1)3x+2y-26=0;(2) x=y解:(1)d
2632
2
2
2.(2)∵原点在直线y=x上,∴d=02.求下列点到直线的距离:
(1)A(-2,3),3x+4y+3=0;(2)B(1,0),3x+y-3=0; (3)C(1,-2),4x+3y=0. 解:(1)d
3(2)433
34
2
2
95
3
; (2)d
2
3
0;
(3)1
(3)d
413(2)
43
2
2
25
3.求下列两条平行线的距离:
(1)2x+3y-8=0,2x+3y+18=0, (2)3x+4y=10,3x+4y=0.
解:(1)在直线2x+3y-8=0上取一点P(4,0),则点P到直线2x+3y+18的距离就是两平行线的距离,∴d=
24182
2
3
2
2(2)在直线3x+4y=0上取一点O(0,0),则点O到直线3x+4y=10的距离就是两平行线的距离,∴d
1034
2
2
=2五、小结 :点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式六、课后作业: 课本P53习题7.3
13.求点P(-5,7)到直线12x+5y-3=0的距离.
解:d
(5)573
2
5
2
28
13
14.已知点A(a,6)到直线3x-4y=2的距离d取下列各值,求a的值:
(1)d=4,(2)d>4解:(1)d
3a4623(4)
2
2
=4,解得a=2或a=
46
3
(2)d
3a4623(4)
2
2
>4,解得a<2或a>
46
3
15.已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1:AxByC10, l2:AxByC20,则l1与l2的距离为d
C1C2
AB
22
证明:设P0(x0,y0)是直线AxByC20上任一点,则点P0到直线AxByC10的距离为d
Ax0By
2
C1
AB
2
又 Ax0By0C20 即Ax0By0C2,∴d=
C1C2A
2
B
2
16.求两条平行线3x-2y-1=0和3x-2y+1=0的距离解:在直线3x-2y-1=0上任取一点P(0,-
12
),则点P到直线3x-
12
2()1
2
2y+1=0的距离就是两平行线间距离,d七、板书设计(略)
32
2
213
八、课后记: