第四章 光参量放大和光参量振荡 dff

第四章 光参量放大与光参量振荡

自从1961年Franken 等人首先观察到二次谐波产生后不久，1962年Kingston 等人

在理论上预言了三波相互作用中存在参量增益的可能性。1965年，Wang 和Resettle 首先观察到三波非线性相互作用过程中的参量增益。同年，Goodman 和Miller 首次用LiNbO 3晶体制作成了第一台光参量振荡器，开辟了一套全新运转的光学参量振荡器；1970年，Smith 、Parker 和Amman 等人将参量振荡器置于激光谐振腔内，分别研制成了连续和脉冲内腔式光学参量振荡器；1971年，Yarborough 和Massey 研制成了无共振腔的光学参量振荡器。光学参量振荡器的输出具有很高的单色性和方向性，它是将频率固定的相干辐射变成可调谐相干辐射的重要手段之一。与激光器输出激光的波长是由相应的原子跃迁决定的不同，光学参量振荡器输出波长是由泵频光的频谱、空间分布、相位匹配条件决定的，是可以在较大范围内调谐。由于光学参量振荡器可以提供从可见一直到红外的可调谐相干辐射，因此在光谱研究中具有广阔的应用前景。

ω3、ω2的光波产生差频ω1=（ω3-ω2），在此过程中，频率为ω2的光波不是减少而

是随着差频ω1光的产生一起增加，或者说频率为ω2的光波被放大了，这种放大称为光学参量放大。在参量放大中，一般把频率为

ω3的光叫泵频光，频率为ω2的光叫信频光，频率为

ω1的光叫闲频光，光学参量放大器（Optical Parametric Amplifier,简称为OPA ）就是指

对信号光进行放大的器件。与激光放大器增益是由原子、分子能级之间的粒子数反转提供的不同，光参量放大器的增益是由非线性介质中光波之间的相互作用产生的。

4．1.1光参量放大过程的普遍解

光参量放大是和频产生的逆过程，它的一般理论与差频产生的理论相同，不同的是输入光的条件。通常把参量放大看成是用单个泵浦光束来激发的过程，而把差频产生看成是用两个强度相近的泵浦光束来激发的过程。当很大一部分泵浦能量转移到两个较低频率的光场后，参量放大和差频的不同就消失了。为使讨论更具普遍性，假设输入端除了输入一个很强的泵浦光ω3外，还同时波矢共线输入两个弱光，频率分别为ω1、ω2如图4-1-1所示。

ω1

ω

3 z

ω2 图4-1-1光参量放大示意图

在平面波近似下，三个光波的傅氏振幅为：

E (ωj , z ) =A j (z ) exp(ik j z ) (j =1,2,3) （4-1-1）

在相互作用达到稳态时，A j (z ) 满足下面的微分方程：

⎧∂A 1(z ) *

=iK A (z ) A (z )exp(i ∆kz ) 132⎪∂z

⎪

⎪∂A (z )

=iK 2A 3(z ) A 1*(z )exp(i ∆kz ) （4-1-2） ⎨

⎪∂z ⎪∂A 3(z )

⎪∂z =iK 3A 1(z ) A 2(z )exp(-i ∆kz ) ⎩

其中∆k =k 1+k 2-k 3=0，Kj =

4πωj n j c

(2)χeff , j =(1,2, 3) 。由于泵频光ω3 很强，

闲频光ω1 ，信频光ω2很弱，即使放大后也很弱，所以A 3(z ) 相对变化很小，取近似

A 3(z ) ≈A 3(0) 。这样（4-1-2）式可变为：

⎧∂A 1(z ) *

=iK A (0)A (z )exp(i ∆kz ) 132⎪⎪∂z

⎨ （4-1-3）

∂A (z ) ⎪2=iK 2A 3(0)A 1*(z )exp(i ∆kz ) ⎪∂z ⎩

方程（4-1-3）中角标1，2具有交换对称性，因此A 1(z ) ，A 2(z ) 的解也应有对称性， 令其解为：

A 1(z ) =

B 1exp[(m +i ∆k /2) z ],A 2(z ) =B 2exp[(m +i ∆k /2) z ],

（4-1-4） 将其代入（4-1-3）式整理后得出：

**⎧⎪(m -i ∆k /2) B 1+iK 1A 3(0)/B 2=0⎨*-iK A (0)B ⎪231+(m +i ∆k /2) /B 2=0 (4-1-5) ⎩

(4-1-5)式是关于B 1和B 2联立的齐次方程组，B 1和B 2要有非零解，需

**

(m -i ∆k /2) -iK 2A 3(0)

*

iK 1A 3(0)

(m +i ∆k /2)

=0 （4-1-6）

其根为：

m = （4-1-7）

令：

2*Γ0=K 1K 2A 3(0)=

(2)2

32π3ω1ω2[χeff ]

c n 1n 2n 3

3

S 3(0)

(4-1-8)

g

可以看出：（m =±g ） 其中S 3(0)=可得：

= （4-1-9）

cn 3

A 3(z ) A 3*(z ) 是输入端面泵频光能流密度的平均值。将其带入（4-1-4）式，2π

⎧⎪A 1(z ) =[B 1+exp(gz ) +B 1-exp(-gz ) ]exp(i ∆kz /2)

（4-1-10） ⎨

⎪⎩A 2(z ) =[B 2+exp(gz ) +B 2-exp(-gz ) ]exp(i ∆kz /2)

边界条件为：

⎧∂A 1(z ) ⎧⎪⎪A 1(z ) z =0=A 1(0),∂z ⎨ ⎪⎨⎪⎪∂A 2(z ) ⎩A 2(z ) z =0=A 2(0)

⎪⎩∂z

z =0

*

=iK 1A 3(0)A 2(0)

z =0

=iK 2A 3(0)A 1*(0)

利用边界条件，由（4-1-10）式可求的B 1+，B 1-，B 2+，B 2-，最后求的A 1(z ) ，A 2(z ) 的普遍解为：

⎡⎤∆k

A 1(z ) =A 1(0)exp(i ∆k /2) ⎢cos h (gz ) -i sinh(gz ) ⎥

2g ⎣⎦ （4-1-11）

1*+i K 1A 3(0)A 2(0)exp(i ∆k /2)s inh(g z ) g ⎡⎤∆k

A 2(z ) =A 2(0)exp(i ∆k /2) ⎢cos h (gz ) -i sinh(gz ) ⎥

2g ⎣⎦ （4-1-12）

1

+i K 2A 3(0)A 1*(0)exp(i ∆k /2)s inh(g z ) g

（4-1-11），（4-1-12）两式就是平面波近似, 相互作用达稳态，泵浦光消耗很小的情况下得出的普遍解，可用来讨论光参量放大和光参量振荡过程。

4.1.2光参量放大过程的增益

一般的光参量放大过程，在输入端除了泵频光ω3外，只有待放大的频率为ω2的信频光，频率为ω1的闲频光波A 1(z)z =0=0, 在此情况下，（4-1-12）式简化为：

⎡⎤∆k

A 2(z)=A 2(0)exp(i ∆kz /2) ⎢cosh(gz ) -i sinh(gz ) ⎥ （4-1-13）

2g ⎣⎦

定义光参量放大器的增益为G 为：

G =

忽略离散角的影响，由S 2(z ) =

S 2(l ) -S 2(0)

(4-1-14)

S 2(0)

cn 2

A 2(z ) A 2*(z ) ，将（4-1-13）式代入，并令z =l 可得： 2π

⎡⎤Γ

S 2(l ) =S 2(0)⎢1+(0) 2sinh 2(gl ) ⎥ （4-1-15）

g ⎣⎦

⎧sinh ⎡Γ2-(∆k /2) 2⎤1/2l

⎣0⎦⎡Γ02⎤222⎪G =⎢() sinh (gl ) ⎥=Γ0l ⎨1/22⎡⎤⎣g ⎦Γ-(∆k /2) l ⎪0⎣⎦⎩

由（4-1-16）式可以看出，增益G 随∆k 而变。

(1) 当∆k =0时，G 最大，G 0

22

G 0≈Γ0l =

{}

⎫

⎪

⎬ （4-1-16） ⎪⎭

2

=sinh 2(Γ0l ) ，如果Γ0l

(2)2

⎤32π3ω1ω2⎡χl eff ⎣⎦

2

n 1n 2n 3c 3

S 3(0) (4-1-17)

例如：用LiNbO 3晶体作为非线性晶体，采用90角温度相位匹配，λ3=488nm，λ2=632.8nm，

(2)-8

λ1=2140nm,取χeff =2d 15=2×1.52×10esu, n 1≈n 2≈n 3≈2.2, 当l =1cm,

S 3(0)=4.4⨯105W /cm 2时候，Γ0l =0.181，G 0=3.3%，中心增益G 0还是很小的。

（2）当∆k ≠0时，增益G 随∆k 的增加而减少。

⎧sinh ⎡Γ-(∆k /2) ⎤l ⎫

⎣⎦⎪22⎪当(∆k /2) >Γ0时：G =Γ0l ⎨⎬变成 1/22⎡Γ0-(∆k /2) ⎤l ⎪⎪⎣⎦⎩⎭

2

21/2

{}

2

⎧sinh ⎡(∆k /2) 2-Γ2⎤1/2l

0⎦⎣22⎪G =Γ0l ⎨

21/2

⎡⎤l (∆k /2) -Γ⎪0⎦⎣⎩

{}

⎫

⎪⎬ ⎪⎭

2

当(∆k /2) >>Γ0时：

22⎡sinh(∆k /2) ⎤G =Γ0l ⎢ （4-1-18） ⎥⎣(∆k /2）⎦

2

增益G 随(∆k /2) l 变化的曲线如图4-1-2所示，由（4-1-18）式可看出，其增益曲线的半宽度应由∆kl ≈2π决定。如上例中λ2=632.8nm的增益半宽约为0.056nm, 即当λ2'比

λ2差0.056nm 时，由于相位失配使G 下降一半。

G (l ) 22(Γ0l )

l

图4-1-2增益G 随 (∆k /2) l 变化曲线

⎛sinh x ⎫

即： y = ⎪

⎝x ⎭

2

4.1.3参量放大在高转换效率下的解

由（4-1-16）式可知，随相位失配∆k 的增加，增益G 下降。因此，在高转换率下，只考虑完全相位匹配情况。假定θ=-π/2，可得：

2

1/2du 2222

⎡⎤=2⎣u 2(m 1-u 2)(m 3+u 2) ⎦ （4-1-19）

d ξ

式中，m 1=u 3(0)+u 2(0)，m 3=u 1(0)-u 2(0)。假设u 1(0)

A j (z ) =ρj exp ⎡⎣i ϕj (z ) ⎤⎦=令：

222

iu 2/=t , γ2=[u 2(0)-u 12(0)]/[u 3(0)+u 2(0)]

222222

j exp ⎡⎣i ϕj (z ) ⎤⎦

积分（4-1-19）式可得：

ξ=

iu 2iu 2 （4-1-20）

由（4-1-20）式可得

:

⎧sn -1⎡iu /γ⎤⎫

2⎣⎦⎪

ξ=⎬ (4-1-21) -1-sn ⎡iu 2(0)/γ⎤⎪

⎣⎦⎭所以有：

⎧⎤⎫u 2(0)⎪⎪-1⎡⎤u 2=-⎨+sn ⎢2, γ, γ⎥⎬2⎦u (0)-u (0)⎪2⎣1⎦⎭⎪⎩

(4-1-22)

补充

2222

m 1=u 3(0)+u 2(0)=u 3+u 2 （3-2-59）

m 3

22

=u 12(0)-u 2(0)=u 12-u 2 （3-2-61）

由（4-1-22）（3-2-59）（3-2-61）两式可得：

⎧⎤⎫u 2(0)⎪⎪-1⎡⎤⎤u (ξ) =⎡u (0)-u (0)sn +sn i , γ⎨⎢2⎥⎬2⎣⎦⎦u (0)-u (0)2⎣1⎦⎪⎪⎭⎩

2

2

21

22

2

（4-1-23）

22

u 12(ξ) =u 12(0)-u 2(0)+u 2(ξ) （4-1-24） 2222u 3(ξ) =u 2(0)+u 3(0)-u 2(ξ) （4-1-25）

在u 2(0)=0时，（4-1-23），（4-1-24），（4-1-25）式即可化简为差频时的（3-2-83）（3-2-84）（3-2-85） 补充：

u 2(ξ) =-u 1(0)sn

2

2

2

[iu 3(0)ξ, γ] （3-2-83）

2

u 12(ξ) =u 12(0)-u 2(0)sn 2[iu 3(0)ξ, γ] （3-2-84） 22u 3(ξ) =u 3(0)+u 12(0)sn 2[iu 3(0)ξ, γ] （3-2-85）

4.2光学参量振荡

将参量放大晶体放到由两个腔镜组成的光学谐振腔中，如图：腔镜对ω2或（ω1和ω2）高反，在泵频光ω3的作用下，由于非线性相互作用，腔对ω1和（或）ω2产生一个线性增益，如果增益大于损耗，则装置是参量振荡器（Optical Parametric Oscillator, 简称OPO ）, 该现象称参量振荡。

2, ω3

M 1

(a单谐振)

M 2

(b双谐振)

图4-2-1光参量振荡示意图

, ω3

由于腔中存在自发辐射，场零点起伏，产生噪音，为连续谱。由于泵频光ω3的作用，当ω1，ω2满足关系式：

⎧ω1+ω2=ω3

（4-2-1） ⎨

k +k =k 3⎩12

连续谱分布的噪声中，满足上边方程组的频率成分可以自动在腔内得到增益，形成振荡。若腔镜对ω1和ω2高反，称双谐振荡器（Double Resonant Oscillator, 简称DRO ）：若腔镜对

ω1或ω2高反，称单谐振荡器（Single Resonant Oscillator, 简称SRO ）. 无论哪一种装置，

腔镜对ω3透明。

4.2.1光参量振荡器的振荡条件和阈值

4.2.1.1单谐振振荡器（SRO ）的振荡条件和阈值

（1）振荡条件

对SRO ，腔镜M 1, M 2对泵频光ω3 ，闲频光ω1 ，都是完全透明的。对信频光ω2

是高反的，其振幅反射系数为：

r 2=-i ϕ2/2)

其中，R 2是M 1, M 2对信频光ω2的反射率，(i ϕ2

（4-2-2）

/2) 是反射时发生的相位突变。欲得到

放大并产生振荡，需满足（4-2-1）式。为讨论的普遍起见，这里假定∆k ≠0.

设能达到稳态振荡时，在z =0处，向右传播的信频光ω2的复振幅为：

A 2(z )

z =0

=A 2(0)

（4-2-3）

由于A 1(0)=0，由（4-1-12）式可知，信频ω2的光波到l 时的复幅为：

⎡⎤∆k A 2(l ) =A 2(0)⎢cos h (gl ) -i sinh(gl ) ⎥exp i [(∆kl /2+k 2l ) ]

2g ⎣⎦

⎡⎤∆k 222

=A 2(0)⎢cos h (gl ) +() sinh (gl ) ⎥exp i [(∆kl /2+k 2l -ϕm ) ]

2g ⎣⎦⎡Γ⎤2

=A 2(0)⎢1+sinh (gl ) ⎥exp i [(∆kl /2+k 2l -ϕm ) ]

⎣g ⎦

（4-2-4）

2

02

⎡∆k ⎤

（4-2-4）式中，ϕm =-tan ⎢tanh(gl ) ⎥，exp(ik 2l ) 是相位延迟因子。经M 2反射

⎣2g ⎦

后沿（-z ）方向左传播时没有放大，仅有一相位延迟exp(ik 2l ) ，到达z

2

2

202

=0再经过M 1反

⎡Γ⎤2

射后振幅变为：r A 2(0)⎢1+，它应和s inh (gl ) ⎥exp ⎡i (∆kl /2+2k 2l -ϕm )⎤⎣⎦

⎣g ⎦

A 2(0)相等才能保持稳定振荡，即：

⎡Γ⎤2

r A 2(0)⎢1+sinh (gl ) ⎥exp ⎡i (∆kl /2+2k 2l -ϕm )⎤=A 2(0)⎣⎦

⎣g ⎦

2

2

202

（4-2-5）

将（4-2-2）式代入上式整理后得：

⎡Γ⎤2

R 2⎢1+sinh (gl ) ⎥e xp ⎡i (∆kl /2+2k 2l -ϕm -ϕ2)⎤=1 ⎣⎦⎣g ⎦

（4-2-6）

欲使（4-2-6）成立，有：(∆kl /2+2k 2l -ϕm -ϕ2)=m (2π)(m =0, ±1, ±2, ) （4-2-7）

2

02

⎡Γ⎤R 2⎢1+sinh 2(gl ) ⎥⎣g ⎦

件。

2

02

=1 （4-2-8）

（4-2-7），（4-2-8）两式就是 SRO 必须满足的振荡条件。其中 （4-2-7）式是谐振条

（2）阈值

由（4-2-8）式，可求出刚能达到振荡时泵频ω3光波的强度阈值[S 3(0)]SRO ,

th

1完全相位匹配 ○

在完全相位匹配的情况下，∆k =0，g =Γ0，（4-2-8）可化简为：

R 2cosh(Γ0l ) =1 （4-2-9）

因为R 2≈1, Γ0l

1

cosh(Γ0l ) ≈1+(Γ0l ) 2 （4-2-10）

2

将其带入（4-2-9）式整理后得出：

(Γ0l ) 2≈

2(1-R 2)

≈2(1-R 2)

（4-2-11） R 2

2) 2

⎛232π3ω1ω2[χeff (]⎫

S 3(0)⎪（4-1-8）式代入上式，并令把Γ0的表达式 Γ0=3 ⎪c n n n 123⎝⎭

th

S 3(0)=[S 3(0)]SRO 可得：

[S (0)]SRO

th

3

⎧⎫n 1n 2n 3c 3⎪⎪=⎨(1-R 2) （4-2-12） 3(2)22⎬⎪⎭⎩16πω1ω2[χeff ]l ⎪

inc

要求SRO 振荡，除了要满足谐振条件外，输入的泵频ω3光波的强度S 3(0)必须满足：

inc th

S 3(0)≥[S 3(0)]SRO

2非完全相位匹配： ○

⎛⎡Γ2⎫⎤20

在∆k ≠0时，R 2≈1（4-2-8） R 2⎢1+2sinh (gl ) ⎥=1⎪式化为：

⎣g ⎪⎦⎝⎭

22

Γ01-R 22

sinh (gl ) =≈(1+R 2)(1-R 2) ≈2(1-R 2) （4-2-13） 22g R 2

若∆k /2>>Γ0，则g ≈i ∆k /2，当∆kl /2

(2)2

⎛232π3ω1ω2[χeff ⎫]

S 3(0)⎪（4-1-8）代入上式，并令由（4-2-13）式，把Γ0的表达式 Γ0=3 ⎪c n n n 123⎝⎭

th

S 3(0)=[S 3(0)]SRO

th

可得： [S 3(0)]SRO

-132⎧⎫⎡⎤n 1n 2n 3c sin (∆kl /2) ⎪⎪

（4-2-14） =⎨(1-R ) ⎬2⎢3(2)222⎥

⎣(∆kl /2) ⎦⎪⎭⎩16πω1ω2[χeff ]l ⎪

[S (0)]SRO

th

3

⎧⎫n 1n 2n 3c 3⎪⎪

=⎨(1-R 2) （4-2-12）3(2)22⎬

⎪⎪⎩16πω1ω2[χeff ]l ⎭

比较（4-2-12）（4-2-14）两式可知，当∆k ≠0，阈值功率变大。

4.2.1.2双谐振荡器（DRO ）的振荡条件和阈值

（1）振荡条件

对DRO ，腔镜M 1, M 2对信频光ω2和闲频光ω1 都是高反的，振幅反射系数分别为：

r 1=-

i ϕ1/2) , r 2=-i ϕ2/2) （4-2-15）

（ϕ1/2）（ϕ2/2）其中，R 1，R 2分别是M 1, M 2对信频光ω2和闲频光ω1的反射率，是反

射时发生的相位突变。与SRO 相同，欲的到放大并产生振荡，须满足（4-2-1）式能量守恒和相位匹配条件，讨论中令∆k ≠0也是为了更具有普适性。

设刚能达到稳定振荡时，在z 复振幅分别为

=0处，沿+z 方向向右传播的信频光ω2和闲频光ω1的

A 1(0)，A 2(0)，由（4-1-11）式可知，闲频光到达z=l 时的振幅为：

⎧⎫2

⎡Γ0⎤2

⎪A 1(0)⎢1+2sinh (gl ) ⎥exp [i (∆kl /2-ϕm ) ]⎪⎪⎪⎣g ⎦ A 1(l ) =⎨⎬exp (ik 1l ) （4-2-16）

1⎪⎪*+i K A (0)A (0)exp(i ∆k /2)sinh(gl ) 132⎪⎪g ⎩⎭

经M 2反射后沿(-z)方向向左传播到达z =0再经过M 1反射后的复振幅为:

⎧⎫2⎡⎤Γ20⎪A 1(0)1+sinh (gl ) exp [i (∆k l /2-ϕm ) ]⎪⎢⎥2

⎪g 2⎪⎣⎦r 1⎨⎬exp(2ik 1l )

1⎪⎪*+i K A (0)A (0)exp(i ∆k /2)sin h(gl ) 132⎪⎪g ⎭⎩

它应等于A 1(0)才能获得稳定振荡，即：

⎧⎫2⎡⎤Γ20⎪A 1(0)1+sinh (gl ) exp ⎡i (-ϕm )⎤⎪⎢⎥2⎣⎦⎪g 2⎪⎣⎦r 1⎨⎬exp ⎡⎣i (∆kl /2+2k 1l )⎤⎦（4-2-17） 1⎪⎪*+i K A (0)A (0)sinh(g l ) 132⎪⎪g ⎭⎩

=A 1(0)

整理后得：

⎧⎫2

⎤Γ0⎪⎪2⎡2

⎨-1+r 1⎢1+2sinh (gl ) ⎥exp [i (∆kl /2+2k 1l -ϕm ) ]⎬A 1(0)

⎣g ⎦⎪⎪⎭⎩ （4-2-18）

⎧⎫*⎤⎪⎡1

+⎨ir 12⎢K 1A 3(0)sinh(gl ) ⎥exp [i (∆k l /2+2k 1l ) ]⎬A 2(0)=0

⎦⎪⎭⎩⎣g

同理对信频光进行同样的分析可得到：（取共轭）

⎧⎫⎡1⎤⎪*

-i ⎨(r 2*) 2⎢K 2A 3(0)sinh(gl ) ⎥exp ⎡-i ∆kl /2+2k l ⎤(2)⎦⎬A 1(0)⎣

⎣g ⎦⎪⎭⎩

⎧⎫2

⎤Γ0⎪⎪**2⎡2

+⎨-1+(r 2) ⎢1+2sinh (gl ) ⎥exp ⎡-i ∆kl /2+2k l -ϕ⎤()1m ⎦⎬A 2(0)=0⎣g ⎣⎦⎪⎪⎭⎩

（4-2-19）

（4-2-18）（4-2-19）两式是关于A 1(0)，A 2(0)联立的齐次方程组，要有非零解，其系数的行列式为零，即：

⎧⎫2

⎤⎪2⎡Γ0⎪2

-1+⎨r 1⎢1+2sinh (gl ) ⎥exp ⎡i (∆kl /2+2k 1l -ϕm )⎤⎣⎦⎬g ⎦⎪⎪⎭⎩⎣

*

⎧2⎡1⎫⎤⎪

ir K A (0)sinh(gl ) exp i ∆k l /2+2k l ⎡⎤⎨1⎢131)⎦⎬⎥⎣(g ⎦⎪⎣⎭⎩

⎧⎡⎫2⎤Γ0⎪*⎪2

-1+⎨(r 2) ⎢1+2sinh (gl ) ⎥exp ⎡-i (∆kl /2+2k 1l -ϕm )⎤⎣⎦⎬g ⎦⎪⎪⎭⎩⎣

⎧

⎫⎡1⎤⎪

-i ⎨(r 2*) 2⎢K 2A 3*(0)sinh(gl ) ⎥exp ⎡-i ∆kl /2+2k l ⎤2)⎦⎬⎣(g ⎣⎦⎭⎪⎩

=0 （4-2-20）将行列式（4-2-20）展开，

并把r 1

=-

i ϕ1/2) , r 2=-i ϕ2/2) （4-2-15）式代入，整理后的：

⎧⎫2

⎡Γ0⎤⎪⎪2

-1+R 1+sinh (gl ) exp i ∆kl /2+2k l -ϕ-ϕ⎡⎤⎨1⎢1m 1)⎦⎬⎥2⎣(g ⎣⎦⎪⎪⎭⎩

⎧⎫2

⎡Γ0⎤⎪⎪2

⨯⎨-1+R 2⎢1+2sinh (gl ) ⎥exp ⎡i ∆kl /2+2k l -ϕ-ϕ⎤()2m 2⎦⎬ ⎣g ⎣⎦⎪⎪⎭⎩

2

⎛Γ0⎫

=R 1R 2 2⎪sinh 2(gl )exp i ⎡2(k 2-k 1)l -(ϕ2-ϕ1)⎤⎣⎦

⎝g ⎭

{

}

（4-2-21）

因为Γ0∝S 3(0), 为了求出满足（4-2-21）式最小的Γ0，必须满足：

⎧2k 1l -ϕ1=s (2π)

(s , m =0, ±1, ±2, ) （4-2-22） ⎨

⎩2k 2l -ϕ2=m (2π)

∆kl /2-ϕm =2π (4-2-23)

这时（4-2-21）式简化为：

⎧⎫22⎫⎧⎡Γ0⎤⎪⎪⎡Γ0⎤⎪⎪22

⎨-1+R 1⎢1+2sinh (gl ) ⎥⎬⎨-1+R 2⎢1+2sinh (gl ) ⎥⎬

g g ⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎭⎭ （4-2-24） ⎩⎩

2⎛Γ0⎫

=R 1R 2 2⎪sinh 2(gl )

⎝g ⎭

整理后得：

⎡Γ⎤2

(R 1+R 2) ⎢1+sinh (gl ) ⎥-R 1R 2=1 （4-2-25）

⎣g ⎦

（4-2-22）（4-2-25）两式就是DRO 必须满足的振荡条件，其中（4-2-22）是谐振条件。 （2）阈值

由∆k =0式，可求出DRO 刚能达到振荡时泵频ω3光波的强度阈值[S 3(0)]DRO .

th

2

02

1完全相位匹配 ○

在完全相位匹配的情况下，∆k =0，g =Γ0（4-2-25）式化简为：

(R 1+R 2)cosh 2(Γ0l ) -R 1R 2=1 （4-2-26）

因为Γ0l

1

(Γ0l ) 2，代入（4-2-26）式，并考虑到R 1，2

R 2≈1, 整理后得：

(Γ0l ) 2≈

2(1-R 2)(1-R 1)

≈(1-R 2)(1-R 1) （4-2-27）

R 2+R 1

(2)2

⎛232π3ω1ω2[χeff ⎫]th

S 3(0)⎪代入（4-2-27）上式，S 3(0)=[S 3(0)]DRO 把Γ0的表达式 Γ0=3 ⎪c n n n 123⎝⎭

可得：

[S (0)]DRO

th

3

⎧⎫n 1n 2n 3c 3⎪⎪=⎨(1-R 2)(1-R 1) (4-2-28) 3(2)22⎬

⎪⎪⎩32πω1ω2[χeff ]l ⎭

inc

若要求DRO 振荡，除了要满足谐振条件外，输入的泵频ω3光波的强度S 3(0)必须满足：，输入的S 3(0)≥[S 3(0)]DRO 2非完全相位匹配： ○

2⎡Γ0⎤

在∆k ≠0时R 1，R 2≈1, (4-2-25) (R 1+R 2) ⎢1+2sinh 2(gl ) ⎥

⎣g ⎦

inc

th

-R 1R 2=1式

化简为：

2

Γ0(1+R 2)(1+R 1)(1-R 2)(1-R 1) 2

sin h (g l ) =≈(1-R 1) (1-R 2) （4-2-29） g 2(R 1+R 2) 2

若∆k /2>>Γ0，则g ≈i ∆k /2，由（4-2-29）sinh(i ∆kl /2) ≈i sin(∆kl /2) ，∆kl /2

th

[S (0)]DRO

th 3

⎧⎫n 1n 2n 3c 3sin 2(∆kl /2) -1⎪⎪=⎨(1-R 1)(1-R 2)[] （4-2-30） 3(2)22⎬2

(∆kl /2) ⎪⎪⎩32πω1ω2[χeff ]l ⎭

⎧⎫n 1n 2n 3c 3⎪⎪

=⎨(1-R 2)(1-R 1) （4-2-28） 3(2)22⎬⎪32πω1ω2[χeff ]l ⎪⎭⎩

[S (0)]DRO

th

3

比较（4-2-28）（4-2-30）两式可知：当∆k ≠0时，阈值功率变大。

现在对SPO 和DRO 的阈值进行比较。由（4-2-12）（4-2-28）两式可以得出：

th

[S 3(0)]SRO 2

= (4-2-31) th

[S 3(0)]DRO 1-R 1

一般情况下(1-R 1) ≈10，因此上边的比值约为10量级。例如：例如：用LiNbO 3晶

-22

体作为非线性晶体，采用90角温度相位匹配，λ3=488nm，λ2=632.8nm，λ1=2140nm,取

(2)-8χeff =2d 15=2×1.52×10esu, n 1≈n 2≈n 3≈2.2.

对DRO, (1-R 1) =10

-2

th

[S 3(0)]DRO =2.12⨯103W /cm 2; =(1-R 2) , 由（4-2-28）式计算的：

th

5

2

[S 3(0)]SRO =2.12⨯10W /cm ，对SRD ，(1-R 1) =10, 由（4-2-12）式计算可得：

即SRD 将近DRO 的100倍。

由于聚焦收到其他条件的限制，脉冲激光器可适用于SRO, 而连续波激光器只能适用于DRO ，因为它很难达到SRO 的阈值要求。

2

4.2.2光参量振荡器的输出功率和转换效率

当参量振荡器的输入的泵频光强度S 3(0)≥[S 3(0)]DRO OPO 就在阈值以上运转，在这种情况下，我们可以讨论其输出功率和转换效率。（仅讨论SRO 的输出功率和转换效率） 4.2.2.1 SRO 的输出功率和转换效率

（1）输出功率

在SRO 腔内，虽然单程增益G 很低，但由于腔内振荡的信频ω2光波很强，以致S 2(z)是很大的，泵频光

inc

th

S 3(z)

有很大部分转变成信频和闲频光，因此，不能再取近似

很小，而且已达到稳定值，故可以取近似：

A 3(z)≈A 3(0)。相反，由于S 2(z)很大，G

A 2(z)≈A 2(0)，其中A 2(0)代表腔内A 2(z)的平均值。这样，（4-1-2）式变为：

⎧∂A 1(z )

⎪⎪∂z ⎨

⎪∂A 3(z ) ⎪⎩∂z

设（4-2-32）式的解为：

z =0

*

=iK 1A 3(z ) A 2(0)exp(i ∆kz )

（4-2-32）

z =0

=iK 3A 1(z ) A 2(0)exp(-i ∆kz )

A 1(z ) =B 1exp[(m '+i ∆k /2) z ]，A 3(z ) =B 3exp[(m '-i ∆k /2) z ]，

将其代入（4-2-32）式，并利用下列边界条件：

A 1(z )

z =0

=A 1(0),

∂A 1(z )

∂z

z =0

*

=iK 1A 3(0)A 2(0)

A 3(z )

z =0

=A 3(0)

∂A 3(z ) ∂z

z =0

=0

可求得（4-2-32）的解为：

*

⎧iK 1A 3(0)A 2(0)A (z ) =sin(β0z )exp(i ∆kz /2) ⎪1

β0 （4-2-33） ⎨

⎪A (z ) =A (0)[cos(βz ) +i (∆k /2β) ]exp[-i (∆kz /2)]

300⎩3

其中：

β0

*

=[K 1K 3A 2(0)A 2(0)+(∆k /2) 2] （4-2-34）

将A 1(z ) 、A 3(z ) 代入能流密度平均值的表达式S j (z ) =可得出：

cn j 2π

A j (z ) A j *(z ) 中，并令z =l ，

⎧ω1[β02-(∆k /2) 2]2S (l ) =S (0)sin(β0l ) 13⎪2

ω3β0 （4-2-35） ⎨

⎪S (l ) =S (0)⎡cos 2(βl ) +(∆k /2β) 2⎤

300⎣⎦⎩3

S 1(l ) 、S 3(l ) 就是通过SRO 由M 2投射出去的闲频光和泵频光的强度。根据曼莱—罗威关

系式，信频ω2光波由z =0到z =l 单程过程中增加的光子数和闲频ω1光波在这过程中增加的光子数相等，如果设信频ω2光波在单程中强度的增加为∆S 2，则：

22

⎡⎤β-(∆k /2) ω20⎣⎦S (0)sin2(βl ) （4-2-36）

∆S 2(l ) =S 1(l ) =30

ω1β02

由于腔内信频ω2光波已达稳定振荡，能量不会增加，所以这一部分∆S 2将分别由SRO 的两个端面镜M 1、M 2透射出去，两个端面输出的光强为(∆S 2/2) 。 （2）转换效率

定义SRO 的转换效率η为：

P 1+P 2

η=

P 3(0)

（4-2-37）

式中，P 1、P 2分别为SRO 输出的闲频光和信频光的功率，P 3(0)为输入的泵频光的功率。假设三束截面积相同，则：

22

⎤β-(∆k /2) ⎡S 1(l ) +∆S 2⎤⎡0⎣⎦sin 2(βl ) η=⎢=0⎥2

S (0)β30⎣⎦

⎡(β0l ) -(∆kl /2) ⎤⎣⎦sin 2(βl ) =0

(β0l ) 2

22

（4-2-38）

由（4-2-38）式可以看出，转换率η与∆k 有关，η随∆k 增加而下降。

inc ⎡S 3⎤(0)

下面分析建立η与⎢之间的关系。假定∆kl 一定，可以首先找出β0l th ⎥S (0)]3⎣⎦inc inc ⎡S 3⎤⎡S 3⎤(0)(0)与⎢的关系，然后再根据（4-2-38）式求出与之间ηth th ⎥⎢⎥S (0)]S (0)]33⎣⎦⎣⎦

的关系。

由（4-2-34）β0可知：

*

(β0l ) 2-(∆kl /2) 2=K 1K 3A 2(0)A 2(0)l 2=

(2)22

32π3ω1ω2[χeff ]l

=⎡K 1K 3A 2(0)A (0)+(∆k /2)⎤

⎣⎦

*

2

2

式，

n 1n 2n 3c

3

S 2(0)

（4-2-39）

22⎡⎤β-(∆k /2) ω20⎣⎦S (0)sin2(βl ) 式可得：

所以由（4-2-36）∆S 2(l ) =S 1(l ) =30

ω1β02

(2)22

]l ⎛ω2⎫32π3ω1ω3[χeff 2

∆S 2= ⎪S (0)S (0)sin(β0l ) 233

n 1n 2n 3c ⎝ω3⎭

（4-2-40）

对于稳态振荡，可以近似地认为：∆S 2

3

(2)eff

=2S 2(0)(1-R 2) . 由（4-2-40）式可得：

χ⎤l ⎛ω2⎫32πω1ω3⎡2∆S 2(l )= ⎪S (0)S (0)sin(β0l )=2S 2(0)(1-R 2)2332

n 1n 2n 3c β0⎝ω3⎭

22

（4-2-41）

-1

⎧2⎫3⎡⎤sin (∆kl /2)n 1n 2n 3c ⎪⎪=⎨1-R ⎥式中(1-R 2) ⎬(2)⎢23(2)22

⎢16πω1ω2⎡⎪⎣(∆kl /2)⎥⎦⎣χeff ⎤⎦l ⎪⎭⎩

将（4-2-14）⎡⎣S 3(0)⎤⎦SRO

th

的表示式代入并令S 3(0)=S 3

2

inc

(0)可得：

-1

th ⎡⎤S sin (β0l )⎡sin 2(∆kl /2)⎤3(0)⎦SRO ⎣

⎢⎥=22inc

S βl ∆kl /2(0)⎢)⎥30⎣(⎦

（4-2-42）

这样，由（4-2-42）式的

th inc

⎡S (0)/S (0)⎤33⎣⎦

的值可求出

β0l

，从而找出η与

th inc

⎡⎤S (0)/S 3(0)⎦这个比值关系。 ⎣3

22

⎡⎤β-(∆k /2) 0sin 2(βl ) 式得：

例如∆k =0，由（4-2-38）η=02

β0

η=sin2(β0l ) （4-2-43）

从（4-2-43式）可知，当∆k =0时，若要求η=1，β0l 应为(π知，此时

/2) ，由（4-2-42）式可

{

inc th

S 3(0)/⎡S 3⎣(0)⎤⎦

SRO

}

=(π/2)=2.46.

SRO

2

这就是说，当∆k

inc th

=0时，若S 3(0)=2.46⎡S 3⎣(0)⎤⎦

，SRO 的转换率可达100%。

图4-2-2显示出η随⎡S 3

⎣

th

inc

(0)/S 3(0)⎤⎦的变化曲线。

=0

=π/2

inc th

3(0)/⎡S 3⎣(0)⎤⎦

SRO

图4-2-2 SRO的转换效率η随⎡S 3

⎣

th

inc

(0)/S 3(0)⎤⎦变化曲线

4.3 参量荧光

参量振荡是通过参量散射或荧光引起噪声光子的放大产生的。一般说来，在参量过程中，在未加谐振腔的情况下，非线性晶体在泵频ω3光波的作用下也有一定几率辐射出信频ω2和闲频ω1光波，称这种辐射为自发参量辐射或参量荧光。参量荧光是泵频光通过晶体的二次非线性效应将噪声辐射场放大产生的，

ω1、ω2只有满足：

⎧ω1+ω2=ω3⎨ （4-3-1） k +k ≈k 3⎩12

才能获得较大的增益，出现在自发参量辐射中。因为参量荧光没有阀值的要求，在较低的泵浦功率下就可观察到，所以参量荧光可用来测量非线性晶体的调谐曲线及二次非线性极化系数。

设闲频光ω1的波矢k 1和信频光ω2的波矢k 2与泵频光ω3的波矢k 3之间的夹角分别为ψ和ϕ，如图4-3-1所示。

k 2

k 1

k 3

图4-3-1 k 1、k 2、k 3之间的关系

假定k 1、k 2、k 3为波矢共线或近共线，这就是说ψ、ϕ都是很小的角度，在这种情况下，频率在ω1和ω1+d ω1之间、波矢k 1方向在ψ和ψ+d ψ之间噪声辐射场的强度为：

P h ω1k 12h ω13n 121

d () =ψd ψd ω1=ψd ψd ω1 （4-3-2） ∑(2π) 3(2π) 3c 2

式中，P 1为功率，∑为截面积。如果将其等效为复振幅为A 1(0)的平面闲频波，

利用（4-1-12）式可求出沿k 2方向经过长度为l 的晶体后 获得的信频光ω2等效平面波的复振幅为：

A 2(l)=i

1

K 2A 3(0)A 1*(0)exp(i ∆kl /2)sinh(gl ) （4-3-3）

g

其中：

g =（4-3-4）

这个等效的信频平面波实际上代表参量荧光中频率在ω2和ω2+d ω2之间、波矢k 2方向在ϕ和ϕ+dϕ之间的信频输出。由（4-3-1）式及图示可分别得出：

d ω1=-d ω2 （4-3-5）

ψd ψ=(k 2/k 1) 2ϕd ϕ （4-3-6）

相位失配∆k 是∆k 在k 3方向的投影：

∆k =k 3-k 1cos ψ-k 2cos ϕ （4-3-7）

由（4-3-3）式可求出参量荧光中频率在ω2和ω2+d ω2之间、波矢k 2方向 在ϕ和ϕ+dϕ之间的信频输出功率：

cn 2cn 22sin 2(gl ) ***

dP 2=A 2(0)A 2(0)∑=K 2A 3(0)A 3(0)A 1(0)A 1(0)∑ （4-3-8）

2π2πg 2

因为：

cn 2⎛P ⎫

A 1(0)A 1*(0)=d 1⎪ (4-3-9) 2π⎝∑⎭

cn 3P (0)*

(4-3-10) A 2(0)A 2(0)=3

2π∑

式中P 3(0)是输入泵频光的功率。将(4-3-3) (4-3-5) (4-3-6) (4-3-9) (4-3-10)各式依次代入(4-3-8)可得：

cn 2sinh 2(gl ) *

dP 2=A 2(0)A 2(0)∑=β''P 3(0)ϕd ϕd ω2 （4-3-11）

2πg 2

(2)

⎤4 ω1ωn ⎡χeff

⎣⎦其中 β''= （4-3-12） 35

(2π) n 1n 3c

422

2

当(∆k /2) >>Γ0时，有g ≈i ∆k /2 sinh(i ∆kl /2) ≈i sin(∆kl /2)

sin 2(gl ) 2⎡sinh(∆k l /2) ⎤

≈l ⎢（4-3-13） ⎥ g 2(∆kl /2）⎣⎦

2

这时（4-3-11）式可改写为：

⎡sinh(∆kl /2) ⎤dP 2=β''l 2P 3(0) ⎢（4-3-14） ⎥ϕd ϕd ω2 (∆kl /2）⎣⎦

2

在波矢共线或近轴共线的情况下, （4-3-7）为：

∆k =k 3-k 1cos ψ-k 2cos ϕ

式改

∆k ≈(k 3-k 1-k 2) +(k 2k 3/2k 1) ϕ2 （4-3-15）

k 2在k 10，k 20处展开，对于共线完全相位匹配:k 3=k 10+k 20. 将k 1、并利用（4-3-15）

可得：

∂k 2⎧k =k +d ω220⎪2

∂ω2⎪

（4-3-16） ⎨

⎪k =k +∂k 1d ω1102⎪∂ω1⎩

将其带入(4-3-15)式可得:∆k =-a '(d ω2) +b 'ϕ2 (4-3-17)

∂k 2∂k 1⎧'a =-⎪

∂ω2∂ω1 （4-3-18） 其中： ⎨ ⎪b '=k k /2k

231⎩

将(4-3-17)代入(4-3-14)式积分，可求的自发参量辐射在ϕ≤θ的立体角内产生的信频光ω2的总功率为：

2

⎫''⎡⎤sin a (d ω) -b ϕl /2⎪+∞θ⎧2⎪2

P 2=β''l P 3(0)⎰⎰⎨⎬ϕd ϕd ω22-∞0 （4-3-19）''⎡⎤a (d ω) -b ϕl /22⎪⎪⎦⎭⎩⎣=[β''lP 3(0)/a ']πθ2

（2）2⎡χ（0）（4-3-19）式表明，P 2与晶体长度l ，泵浦功率P ，3⎣eff ⎤⎦及πθ成正比，与

2

a '成反比。图4-3-2为探测参量荧光的装置示意图。由（4-3-19）式可知，在一

定的条件下，通过测量信频光功率与相关量的关系，可获得其带宽、二次非线性

极化系数等。

图4-3-2 光探测器参量荧光的装置示意图

参考文献

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