2014年复旦附中自主招生测试数学试卷和答案
数学试卷
一．填空题
1．已知a =998，b =997，c =996，则a 2-ab -ac +bc = ． 2．已知：2a =3，3b =2，则
11+= ． a +1b +1
3．在△ABC 中，AB =10，AC =16，∠BAC 的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN = ． 4．方程
35+=x 2-4x -2的根为 ． x -3x -5
5．已知一次函数y =kx +b 经过点(1,1)，且k >2，则该函数不经过第 象限． 6．已知a , b , c , d , e , f 为实数，满足ace ≠0，已知ax +b +cx +d =ex +f 对于任意x 都成立，则ad -bc = ．
1222327．已知：A =+++
135
整数是 ．
二．解答题
[1**********]
，B =++++
[1**********]2
，则与A -B 最接近的+
2003
8．已知x , y 是正整数，且x >y >2014，
111++=2014，试求x -y 的最大值． x y xy
9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE =OF ，求证：△ABC 是等腰三角形或∠A =60︒．
10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．
数学试卷参考答案和评分标准
一．填空题
1．2 2．1 3．3 4．0；4
；4 5．二 6．0 7．501 二．解答题 8．解：由
111++=2014 x y xy
⎫2014
1+x ⎫1+y 2015得⎛； ⎪= ⎪⋅ ⎝x ⎭⎝y ⎭
⎛
即xy -2014x -2014y -2014=0； 即(x -2014)(y -2014) =2014⨯2013； 得：(x -y ) min =4028-4027=1． 9．证明：在AC 上截取AE ' =AE
①如果E' 和F 重合，那么△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ； 因此AB =AE +BE =AF +CF =AC ； 故△ABC 是等腰三角形；
②如果E' 和F 不重合，易知△AOE' ≌△AOF ； 于是OE ' =OF ；
即∠OFE ' =∠OE ' F =∠BEC ；
题图①
第9题图②
F (E' ) 11
由∠BEC =∠A +∠C ，∠AFO =∠B +∠C
2211
推出(∠B +∠C ) =(180︒-∠A ) =∠A ；
22即∠A =60︒．
10．解：首先构造两个数列：{1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}；
{3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512}．
共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数． 因此：n ≤21．
如果n >21，则构造如下集合：
{1}，{2,3}，{4,5,6,7}，{8,9,10, ,15}，…，{1024,1025, ,2014}；
共11个集合，如果n >21，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾．故n 的最大值为21．