股票价值分析
第10章 股票价值分析 中央财经大学 刘志东2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东110.1会计对股票价值的评估方法(1)每股面值(Par value per share) 定义:公司新成立时所设定的法定每股价格 (The legal price per share) 面值是名义价格(Nominal price),每张股票 标明的特定面额 作用:1)计算新公司成立时的资本总额;2) 表明股东持有的股票数量。 法律规定:股票不得低于面值发行,为什 么? 会计处理:溢价部分在股东权益项下的科目 为资本公积Copyright by 中央财经大学 刘志东 22010-06-161
股票面值的作用十分有限,每股的股利与 其没有直接关系,因此有面值股和无面值 股。注意:债券的面值非常关键,是决定股息收入 和返还本金的依据。股票的面值与实际上购买股票是的市价差 距很大,股票的面值与市价没有必然的联 系,债券是“笼中鸟”,而股票是“笼外鸟”。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东3面值 vs.发行价格平价发行:发行价=面值 溢价发行:发行价>面值 折价发行:发行价
发行价格的影响因素: (a)市场因素:是牛市还是熊市 (b)发行数量:数量大,公司原有的股票被稀 释的程度大,股价低。 (c)原来股票价格:针对增发新股 (d)发行方式:配股(定向配售)给原有的股 东,公司的价值没有增加,只是股份稀释,价 格必然下跌。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东5(2)每股账面价值( Book value per share) 每股所代表公司的股东权益,股东权益是会计 意义上的概念。 例如某公司的拥有149,500,000的总资产,其中普通股:100,000,000 资本公积:5,000,000 盈余公积:30,000,000股东权益是:135,000,000,若在外发行 10,000,000股,则每股帐面价值是13.5元 账面价值不能代表公司股票的真正价值(市场 价值)2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 63
账面价格不一定大于企业的市场价 值,可能低、高或相等(在企业刚刚 开业的那一瞬间)。例如:1998拥有100部电脑资产的企业其 账面价值与市值差距很大。账面价值只是一种历史公允的的价 值,它仅仅代表过去的实际,而不是 今天的公允价值,是一种以过去的客 观而牺牲了现在的客观。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东7(3)清算价值(Liquidation Value) 将公司的资产分别出售,以出售所得的资金偿 还负债后的余额。 适合公司解体时候对资产负债的估计企业清算并不一定是由破产引起的,比如成功企业 的急流勇退,但破产一定要清算 企业在清算前,是一个系统,清算时则被分割处 理,所以清算价值是公司底价收购(投资意义上):清算价值 vs 公司市值案例:Mesa Petroleum 收购Gulf Oil2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东84
(4)重置价值(Replacement value) 重置公司各项资产的价值(成本),减去负债 项目的余额。 重置价值基本上代表公司的市值,尤其在通胀 期。它与市值的差异?重值价值不可能低于市值。为什么?若低于市价,则投资者可以重复复制该公司, 再以市价出售,这种行为将降低(类似)公司 的市价或提升重置成本。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东9重置价值与Tobin的Q值理论q= vm , 其中vm为公司所有资产的市值,vr为重置价值 vrq>1,公司的资产市值高于重置成本,故对公司具有投 资激励作用。Lindberg-Ross:具有高成长性的企业q=1,激励作用接近于0。 q
10.2 股票的市值与经济价值每股市值(Market value)股票在市场上实际的交易价格经济价值(Economic Value)未来每股股利的现值,也称为内涵价值 (Intrinsic value) 股票是一种没有偿还期的证券,股票转让的 本质是这种领取股利收入这种权利的转让市值与经济价值不一定相等?2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 11市值与经济价值不一致股票市场的效率股市的低效率使投资者无法获得完全的信息 股票价格未包含所有的信息,则与公司股票的真 正价值(充分信息)有差异投资者的期望在信息有效的前提下,大部分投资者将会有共同 的认识(期望),形成经济价值的共识值 (Common estimate) Black(1986)提出噪声交易者(Noise trader)和 信息交易者(Informed trader)本章剩下的部分介绍股票评估方法,是决定股 票的经济价值。2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 126
10.3 股票价值分析模型零增长模型 股息贴现模型 固定增长模型 两(三)阶段增长模型 多元增长模型 零增长模型 市盈率模型 固定增长模型 多元增长模型自由现金流模型2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东1310.3.1 股息贴现模型影响股价的主要因素: 公司的利润水平具体公司的股价市场的利率水平整个市场的股价红利折价模型的提出—— 威廉姆斯 1938年 《投资价值理论》2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东147
威廉姆斯的投资理论 威廉姆斯(1902-1989)本科在哈佛主修数学和化学。1923年毕业 转入哈佛商学院读MBA,毕业后他进入证券公司作证券分析师 的工作。, 他认为要想成为好的证券分析师就必须首先是一位好的经济学 家。因此,1932年他又回到哈佛攻读经济学博士学位。熊彼特 建议他研究股票的内在价值。论文在答辩之前印刷出版,即 《投资价值理论》。 投资价值分析时应运用数学,他的观点与格雷厄姆的看法很相 似,认为投资者应进行基本面的分析,根据股票发行公司的业 绩及公司未来预期的收益来决定购买什么股票。 投资者购买股票是期盼着股价上涨,但更是由于股票会给他带 来股息。因为预测股票会带来股息比预测股价会上涨要有把握 些。他用了大量篇幅说明估计未来股利的方法。 他认为投资者在选择股票时应先对公司未来的股利支付作长期 的预测,并对预测的正确性进行检定,据此判断出股票的内在 价值,然后与股票的市场价格进行比较,再作出投资的决策。 本书在理论界被认为是评价金融资产的权威著作,至今还有巨 大的影响。 2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 15股票的内在价值股票的内在价值为股票持有期内所得到的全 部现金收入(含股票转让的现金收入)的现 值之和。确定股票内在价值的现金股利公式:P0 = ∑Pn DIVt + t (1 + r ) n t =1 (1 + r )nDIVt=t期现金股利 n=持有股票时领取现金股利的期数 r=股东要求的投资报酬率 Pn=股票出售时的价格2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东168
股票的价值(续)永久持有时股票价值公式:P0 = ∑DIVt t t =1 (1 + r )∞固定现金股利支付的股票价值:P0 = ∑DIV DIV = t r t =1 (1 + r )Copyright by 中央财经大学 刘志东 17∞2010-06-1610.3.1 股息贴现模型持有一期: V0=股票价值 D1=红利 P1=期末的股价K为市场对该股票收益率的估计,称为市场资本率V0=(D1+P1)/(1+k)持有两期: 持有N期:V0=D1/(1+k)+(D2+P2)/(1+k)2 V0=D1/(1+k)+D2/(1+k)2+……+(DN+PN)/(1+k)N无限持有:V0=D1/(1+k)+D2/(1+k)2+D3/(1+k)3 +…… 股息不变时:V0=D/k 这就是股息折现模型(dividend discount model, DDM)2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 189
红利折现模型的含义根据这个模型,如果股票从来不提供任何红 利,这个股票就没有价值。 中国股市有许多上市公司就是不分红,亏损 不分红,赢利了也不分红,只是一味地配股、 圈钱,在这样的市场中,投资者很容易都成 为投机者。 长期持有对他们来说没有什么意义,只有正 值的资本利得才是追求的目标。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东1910.3.1 股息贴现模型∞ dt d1 d2 v0 = + + ... = ∑ t (1 + k ) (1 + k )2 t =1 (1 + k )其中:dt为t时刻的股息,k为某种风险 水平下适当的贴现率,假设各期相同变量:股息(未来现金流)的增长方式2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东2010
零增长模型假设股息额保持不变,即dt=d0∞ d0 d 1 v0 = ∑ = d0 ∑ = 0 t t k t =1 (1 + k ) t =1 (1 + k ) ∞应用:决定优先股的经济价值,判定优先股的价值是否合 理? 某公司的优先股股利为8元/股,且折现率为10%,则其经济 价值为80元,若当前价格为75元,则被低估,即可买进。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东21固定增长模型(Constant growth model)—— Gordon model若股息dt = dt 1 (1 + g ),则dt = d0 (1 + g )t∞ dt (1 + g )t = d0 ∑ v0 = ∑ t t t =1 (1 + k ) t =1 (1 + k ) ∞适用于稳 定增长的 企业若k > g , 则根据等比数列公式 d 1+ g )= 1 v0 = d0 ( kg kg某公司在过去的一年中所支付的股息为每股1.8元,同时预 测该公司的股息每年按5%的比例增长,若折现率为11%, 则其合理价格是?31.5元2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 2211
红利固定增长模型的推广当红利增长比率不变,股价增长率等于红利增长 率:P1=D2/(k-g)=D1(1+g)/(k-g)=[D1/(k-g)](1+g)=P0(1+g)当股票的市场价格等于其内在价值,预期持有期 收益率为:E(r)= 红 利 收 益 率 + 资 本 利 得 率 = D1/P0+(P1P0)/P0=D1/P0+g这个公式提供了一种推断市场资本化率的方法:股票以内在价值出售,有E(r)=k,即k=D1/P0+g 因此可以通过观察红利收益率,估计资本利得率计算 出k 西方国家的政府在确定公用事业价格时常常运用这个 公式2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 23红利折现模型的应用(1)公司增长前景与分红比率 [ 例 ] 两 公 司 资 产 都 为 5 亿 元 , 各 有 1000 万 股,市场资本率 k=4%,如果两公司的资产 收益率与市场资本率相同。预测未来一期 每股盈利都是2元。 平均收益公司(股权收益为4%)将全部收益作为红利,股价为 如果将50%的收益用于再投资,则 g=0.04×0.50=0.02,而股价仍然等于P0=D1/(k-g)=1元/(0.04-0.02)=50元2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 24P0=D1/k=2元/0.04=50元12
红利折现模型的应用(1)公司增长前景与分红比率 高收益公司(资产收益率为6%)如果将收益的50%用于再投资,则 g=0.06×0.50=0.03,股价为P0=D1/(k-g)=2元/(0.04-0.03)=100元股价不会因此下跌,实际反而上升。因为虽然红 利一开始下降,但由于再投资利润引起的公司 资产增长将使未来的红利增加,这会反映到当 前的股价上。2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 25红利折现模型的应用(2)公司增长前景与分红比率可将预期股价表达为零增长下的价值加上 增长机会的折现值:P0=E1/k+ PVGO公司的股本增长并不重要,重要的是公司 要有高收益的项目。只有这时公司的价值 才会提高。 “现金牛”:这些公司产生的现金应全部分配 给股东,让股东去寻找更好的投资机会。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东2613
Gordon Growth Model 的运用公司要素a) 目前公司资产的ROE为8%,且预期可持续至永远;b) 每股股票对应的净资产为50元; c) 贴现率为10%1、再投资比率(plowback ratio)为0目前的EPS=0.08×50元=4元,由于所有利润均用于分配,g=0 公司股票价格:P0=DIV/r=4/0.1=40元2、再投资比率为60%DIV/每股净资产=Payout Ratio×ROE=0.40×0.08=3.20% 第一年现金股利为:DIV1=0.032×50=1.6元 现金股利增长率为: g=0.60×0.08=4.8% 据Gordon Growth Model,股票价格为: P0=DIV1/(r-g)=1.6/(0.10-0.048)=30.77元2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 27在上例中,公司因利用利润进行内部投资而导致股票 价格的下降。其原因是公司的再投资只能产生8%的收 益率(ROE),而市场要求的回报率为10%。 由于公司利用公司股东的收益(用于再投资的资金 本来是股东可以得到的现金股利)进行投资不能向股东 提供其要求的回报率,投资者当然要降低公司股票的价 格。 投资律条: 如果企业的投资回报低于公司股东在同等风险条件 下通过其它投资渠道可能得到的回报,则该企业不应利 用留存收益进行投资。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东2814
3、当ROE > r 时(如果公司的ROE增加至12%)若plowback ratio = 0, P0=EPS/r=每股净资产×ROE/r =50 × 0.12/0.10 = 6/0.10=60元 若plowback ratio=60% DIV1=0.60×4=2.4元 g=0.60×0.12=7.2% 据Gordon Growth Model,股票价格为: P0=DIV1/(r-g)=2.4/(0.10-0.072)=85.71元 85.71-60=25.71=PVGOPVGO=25.71就是所有未来增长机会的净现值。2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 294、市盈率与增长机会 市盈率是进行投资评价时常用的指标, 市盈率= P /EPS 如果公司的增长率为0,则市盈率的倒数EPS/P反映的就是公司 股票的收益率,在前例中有: EPS1/ P0=4/40=0.10=r=0.10 因为如果没有增长机会,公司的盈利应全部作为现金股利进行 分配,现金股利是股东的唯一收入。 如果公司的增长机会为负值,则市盈率的倒数将大于公司股东 所要求的基本回报率,在前例中有: EPS1/P0=4/30.77=0.13 > r=0.10 这是因为,当公司的增长率为负值时,公司未来的收益将 越来越少,所以股东必须在前面得到较多的收益以平衡未来收 益的减少。2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 3015
如果公司的增长机会为正值,市盈率的倒数将小于公司 股东所要求的基本收益率,在前例中为: EPS1/P0=6/85.71=7%r,公司股票的资本利得小于0。 当PVGO > 0时,EPS/P
公式 P0=EPS1/r+PVGO+Bubble 中 EPS/r 反映的是企业当前经营活动所创造收益的价 值。 PVGO 反映的是企业增长机会的价值,对许多网络 公司和高科技公司,其EPS/r 往往是负值,对这类公司 的估价只能依靠对PVGO的估计。 实际上,股票的价格可以极大地偏离其价值,由市 场供需及投资者的心态决定。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东33红利折现模型的应用(3)不同阶段的模型选择在不同的周期阶段,公司的红利增长率是不 同的,从而红利政策应有区别。 在公司处于创业和成长的高增长阶段,运用 红利折现模型来预测股票的价格;在公司处 于成熟的稳定增长阶段,运用红利固定增长 模型来预测股票的价格创业阶段和成长阶段,增长率较高,红利的分派 率应较低 成熟阶段,增长率稳定,红利分派比率应提高, 也可以全部分掉。2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 3417
两阶段增长模型v0 =∑t =1 nn∞ dt dt + ∑ t (1 + k ) t = n +1 (1 + k ) t ∞ d 0 (1 + g 1 ) t d n (1 + g 2 ) t n + ∑ (1 + k ) t (1 + k ) t t = n +1 ∞ d 0 (1 + g 1 ) t d n (1 + g 2 ) t n + ∑ (1 + k ) t (1 + k ) t t = n +1=∑t =1 n t =1 n=∑ =∑t =1d 0 (1 + g 1 ) t d n +1 + (1 + k ) t (1 + k ) n ( k g 2 )其 中 , d n +1 = d n (1 + g )三阶段增长模型两阶段模型假设公司的股利在头n年以每年g1的 速率增长,从(n+1)年起由g1立刻降为g2,而 不是稳定地有1个从g1到g2的过渡期,这是不合 理的,为此,Fuller(1979)提出了三阶段模型成长期g g1过渡期 成熟期gt g2n12010-06-16n2Copyright by 中央财经大学 刘志东t3618
Fuller模型假设从n1到n2年间的增长率是线性下降 的,则在此期间增长率为gt = g1 ( g1 g 2 ) t n1 其中,n1 + 1 ≤ t ≤ n2 , n2 n1则第二阶段的折现值为n2 dt d (1 + gt ) = ∑ t 1 v = ∑ t (1 + k )t t = n1 +1 (1 + k ) t = n1 +1 n2 2 0总折现值为1 2 3 v0 = v0 + v0 + v0 n2 d n2 (1 + g 2 ) d (1 + gt ) 1 + g1 t = d0 ∑ ( ) + ∑ t 1 + (1 + k )t (1 + k ) n2 (k g 2 ) t =1 1 + k t = n1 +1 n12010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 37例子:三阶段增长模型假设永安公司是新成立的公司。目前的股利为4元/ 股,预计未来6年股利的成长率为25%,第7~10年股 利增长呈现直线下降,第11年稳定为10%,随后按此 速率持久增长,若贴现率(资本成本)为15%,求其 股票的经济价值。6 1 + g1 t 1 + 0.25 t v = d0 ∑ ( ) = 4∑ ( ) = 32.463 t =1 1 + k t =1 1 + 0.15 n1 1 02010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东3819
10 dt d (1 + gt ) v =∑ = ∑ t 1 t t t =7 (1 + k ) 7 (1 + 0.15) 10 2 0其中 76 = 0.22 11 6 d71 = d6 = 4(1 + 0.25)6 = 15.26 g7 = 0.25 (0.25 0.10) 0.16 0.13 类似地,g8 ~ g10分别为0.19、 、2 则v0 = 28.2492010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东393 v0 =d11 (1 + g2 ) (1 + k )11 (k g2 )d10 = d9 (1 + 0.13) = 29.04 29.04(1 + 0.10)2 v = = 151.068 (1 + 0.15)11 (0.15 0.10)3 0 1 2 3 v0 = v0 + v0 + v0= 32.463 + 28.249 + 151.068 = 211.7820
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为简化讨论,假设只有一种利率,适合于任何到期日现金流的 折现 债券每期支付的利息相同,到期支付本金V0 = ∑ C F + t (1 + i)n t=1 (1 + i ) F 1 ] i+ = C[1 (1 + i)n (1 + i)n 1/ i 1 ]+ F (1 + i)n (1 + i)n现值因子Copyright by 中央财经大学 刘志东 61n=C[1/ i 年金因子2010-06-16几种特殊形式附息债券 :C表示利息,F表示面值V =∑t =1nC F + (1 + r ) t (1 + r ) n贴现债券:如n=0.5年V =2010-06-16F 1 + nrCopyright by 中央财经大学 刘志东 6231
几种特殊形式一次还本付息债券:i表示票面利率(1 + in ) F V= (1 + r ) n永久性债券: 或优先股C V= r2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 63几种特殊形式半年付息一次:有的附息债券半年付息 一次Fi / 2 F V =∑ + t (1 + r / 2) (1 + r / 2) 2 n t =1其中:i表示年票面利率,r表示年贴现率2n2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东6432
例:计算696国债的内在价值696国债,2006年6月14日到期,票面利率为11.83%, 2002年10月10日的收盘价是132.93元,问此时是否值 得投资? 计算它的内在价值V =∑100 × 11 .83 % 100 + (1 + r ) t (1 + r ) n t =14如果取r=3%,则V=131.87元,低于市场价格,不值得 投资;如果取r=2.6%,则V=133.76元,高于市场价 格,值得投资(注意手续费);其到期收益率 IRR=2.98%2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 6511.2 到期收益率到期收益率(Yield to maturity):使债券未来支付 的现金流之现值与债券价格相等的折现率。到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率若已知债券当前购买价格P0,面值为F,现在距离到期 时间为不n年,每年支付的利息总额为C ,1年内共分m次 付息,则满足下式的y就是到期收益率 C mn F m +∑ P0 = mn t y y t =1 1 + 1 + m m2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东1 ()6633
若每半年支付1次利息,到期收益率 仍以年表示则 P0 = ∑t =1 2nC/2 F + (1 + y / 2)t (1 + y / 2) 2 n(2)若1年付息1次则 P0 = ∑t =1 nCt(1 + y ) (1 + y )+Fn(3)2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东67到期收益率实际上就是内部报酬率 (internal rate of return)注意:债券价格是购买日的价格,购买日不一 定是债券发行日到期收益率能否实际实现取决于3个条件:投资者持有债券到期 无违约(利息和本金能按时、足额收到)收到利息能以到期收益率再投资2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东6834
P0 = ∑C F + t n (1 + y) t =1 (1 + y )nP0 (1 + y)n = C (1 + y)n1 +,..., +C (1 + y) + C + F以到期收益 率再投资2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东6911.2.1 判断债券价格低估还是高估的方法第一种,比较到 期收益率与实际 利率的差异。 若y>i,则该债券的价格被低 估;如果y
第二种方法,比较债券的内在价值与债券价格 的差异。 我们把债券的内在价值V0与债券价格P0之间的 差额,定义为债券投资者的净现值NPV。当净现值大于零时,意味着内在价值大于债券价 格,即实际利率低于债券承诺的到期收益率,该 债券被低估; 反之,当净现值小于零时,该债券被高估。N P V = V 0 P02010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 7111.2.2债券价格与到期收益率(1)价格与到期收益具有反向相关关系。对于固定的收入流,要使得投资者的到期收 益率越高,投资者购买债券的价格就必须越 低,这样投资回报才越高。(2)当到期收益率为0时,债券的价格正好 等于它的所有现金流的和。比如票面利率为10%的债券,每年为10元, 一共30年,得到300元,再加上100元的面 值,得到的价格为400元。2010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 7236
价格表示为到期收益率的函数。图中价格表示为面值(100元)的倍数;所有债券的 期限为30年;每条曲线上的数字表示票面利率。 从图可以看出4个特征。 价格 500 400 300 2005% 10%15% 100 0% 2010-06-16051015到期收益率Copyright by 中央财经大学 刘志东73(3)当到期收益率和票面利率相等时,债 券的价格正好等于其面值。例如票面利率为10%的曲线,当到期收益 率为10%时,其中的价格正好等于100元。 这两者相等的原因在于,每年的利息支付 正好等于10%的收益,从而每年的价格保 持不变,均为100元。(4)当到期收益率越来越大时,债券的价 格趋于零。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东7437
例题:某公司债券的面值为100元,现距离到期日为15 年,债券的票面利率为10%,每半年付息一次。 若该债券的现价为105元,求到期收益率。 解:利用公式(2)有105 = ∑t =130100 5% 100 + (1 + y / 2)t (1 + y / 2)30解得(用Matlab程序) y=0.09342010-06-16 Copyright by 中央财经大学 刘志东 75总结: Malkeil定理C F PV = ∑ + t (1 + i ) n t=1 (1 + i )nCt ∑ (1 + i)t t=1n由公式可见,债券的持有期限、利息、本金以及市 场利率(或者收益率)决定了债券的内在价值,若 市场是有效的(无套利条件),则内在价值=价格。 在市场有效的前提下,Malkeil的5个定理总结了债 券价格(现值)与这些因素的关系。2010-06-16Copyright by 中央财经大学 刘志东7638
定理1:债券价格与市场利率具有反向相关关系。 定理2:若利率不变,则债券的到期时间与债券价格的 波动幅度之间成正相关关系。证明:PVn = ∑t =1 n 1C C F + + t n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n F k F k F + + t n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n=∑t =1n 1F k F k F k F + + + t n n +1 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n +1 t =1 (1 + i ) 1+ k 当i 1,则 1+ i 1+ k F k F F F , 从而 + = > n +1 n +1 n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 1 + i (1 + i ) n PVn +1 = ∑n 1原因:长期债券 由于期限长,利 率对其价格的作 用大。PVn +1 > PVn。同理,当i > k时,PVn +1
由于ΔPVn ,n +1 ΔPVn = F k F F + n +1 n +1 (1 + i) (1 + i ) (1 + i) nΔPVn,n + 2 ΔPVn,n +1 =则有F k F F + (1 + i ) n + 2 (1 + i ) n + 2 (1 + i ) n +1= 1
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