三角板问题
三角板问题
1,将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起,如果 ∠1=40°,那么 ∠2=___。
若∠AOD=145°,则∠BOC= ____。
例2.如图2,将一副三角板重叠在一起,使直角顶点重合于D点,则∠AOB+∠DOC= ___。
例3.如图3,将一副三角尺如图放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是_____ 例4.一副三角板如图4所示叠放在一起,则图中∠α 的度数是___。
观察∠α 与 ∠1 易得所求问题相同。图4′是2010河南中考题
例5.一副三角板按图5所示叠放在一起,若固定△AOB ,将△ACD绕着公共顶点A,按顺时针方向旋转α度(0°
例6.取一副三角板图6(1)拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为 α的角(0°
(2)当旋转至图6(3)位置时,此时 α 又为多少度?图中你能找出哪几对相似三角形,并求出其中一对的相似比;
(3)连接BD,当0°
例7.将两块三角板如图7放置,其中∠C=∠EDB=90°, ∠A=45°,∠E=30°,AB=DE=6,求重叠部分四边形DBCF的面积。 如图7',已知AB=14cm,求阴影部分面积(2010吉林)
例8.将一副三角尺如图8摆放在一起,连接AD,试求∠ADB的正切值。
例9如图9(1),一副三角板满足AB=BC,AC=DE, 。
操作:将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使DE与AB交于点P,EF与BC交于点Q。
探究1:在旋转过程中,
CE
=1 时,EP与EQ满足怎样的数量关系,并给出证明。 EACE
(2)如图9(3),当=2 时,EP与EQ满足怎样的数量关系,并说明理由。
EA
CE
(3)根据你对(1)(2)的探究结果,试写出当=m时,EP与EQ满足的数量关系式____,
EA
(1)如图9(2),当
其中m的取值范围是______.(直接写出结论,不必证明)
探究2:如图9(3),若AC=30cm,连接PQ,设△EPQ的面积为 S(cm2),在旋转过程中: (1)S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由。 (2)随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化?求出相应S值的取值范围。
例10.如图10,小颖利用一个锐角是30°的三角形测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离),那么这课树的高是_____________。
例11.如图11,已知EF是⊙O的直径,把∠A 为60°的直角三角板ABC的一条直角边放在直线EF上,斜边AB与⊙O交于点P,点B与点O重合,将三角板ABC沿OE方向平移,使得点B与点E重合为止,设∠POF=x°,则x的取值范围是__________。
例12.如图12,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD的中点,一块三角板的直角顶点与E点重合,将三角板绕点E按顺时针方向旋转,当三角形的两直角边与AB、BC分别相交于点M 、N时,观察或测量BM与CN的长度,你能得到什么结论?并证明你的结论。
例13.在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G,一等腰直角三角尺按如图13(1)所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边也恰好经过点B。
(1)在图13(1)中请你通过观察,测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图13(2)所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E。此时请你再通过观察测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在图13(2)的基础上沿AC方向平移到图13(3)所示位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,图13(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)
例14.用两块相同的含30°角的三角尺如图14放置,若AD=66 ,求三角尺各边的长。
例15.如图15,两个全等的含30°、60°的三角板ADE和ABC如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD中点M,连接ME,MC。试判断△EMC 的形状,并说明理由。
例16.将两块全等的含30°角的三角尺如图16(1)摆放在一起,它们的较短直角边为3。 (1)将△ECD沿直线l向左平移到图16(2)的位置,使E点落在AB上,则CC′= ____;
(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图16(3)的位置,使点E落在AB上,则△ECD 绕点C旋转的度数为____; (3)将△ECD沿直线AC翻折到图16(4)的位置,ED′与AB相交于点F,求证:AF=FD′
例17.把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4。把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交与点Q。 (1)如图17(1),当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时, 易证△APD∽△CDQ。此时,AP·CQ=____。
(2)将三角板DEF由图17(1)所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α,其中0°
(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y ,求y与x的函数关系式。
例18.(2008山东威海)(1)把两个含有45°角的直角三角板如
图18(1)放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F。 求证:AF⊥BE。
(2)把两个含有30°角的直角三角板如图18(2)放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F。问AF与BE是否垂直?并说明理由。
例19.两个大小不同的等腰直角三角板如图19(1)所示放置,图19(2)是由它抽象出来的几何图形,B、C、E在同一条直线上,连接DC。
(1)请找出图19(2)中的全等三角形,并给予证明。(说明:结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:DC⊥BE。
关于三角板的中考热点
1、一副三角板如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是_________。
2、把两块含有300的相同的直角尺按如图所示摆放,使点C、B、E在同一条直线上,连结CD,若AC=6cm,则ΔBCD的面积是 。
3、将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:(1)∠1=∠2;(2)∠3=∠4;(3)∠2+∠4=90°;(4)∠4+∠5=180其中正确的个数 是()
A.1 B.2 C.3 D.4
4、两个大小不同的等腰直角三角形三角板
如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形, B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明 (说明:结论中不得含有未标识的字母);
(第3
题
图1
(第22题)
图2
(2)证明:DC⊥BE.
5、(1)把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD
的延长线交BE于点F. 求证:AF⊥BE.
(2)把两个含有30°角的直角三角板如图2放置, 点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.
C 图 1
问AF与BE是否垂直?并说明理由.
E C 图 2
6、将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3.
(1) 将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置,使E点落在AB上,则CC′=_____ A
A A
E DE E D l D’ B C D l B C’ C D l B C B C
(4) (3) (2)
第23题
(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置,使点E落在AB上,则△ECD绕点C旋转的度数=______;
(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置,ED′与AB相交于点F,求证AF=FD
A
B'
E
7、含30角的直角三角板ABC(∠B=30)绕直角顶点C沿逆
C
B
时针方向旋转角α(∠α
(2)当∠α=30时,找出ME与MB'的数量关系,并加以说明.
13、如图(1),将斜边长为6cm的直角三角板放置在直角坐标系中,直角顶点与原点重合,直角边分别与x轴、y轴重合,且∠MNO=60°。将长和宽分别为6cm、2cm的直尺ABCD的长边与直线MN重合,其中C点与N点重合(如图(2))。三角板固定不动,直尺以1cm/s的速度沿着直线MN向左上方滑动(如图(3)), 直到C点与M点重合为止。设移动t s后,直尺和三角板重叠部分的面积为Scm2。 求:(1)直线MN的函数关系式;
(2)S与t 之间的函数关系式,并求S的最大值。