高考不等式经典例题
高考不等式经典例题
【例1】已知a >0,a ≠1,P =log a (a 3-a +1) ,Q =log a (a 2-a +1) ,试比较P 与Q 的大小.
【解析】因为a 3-a +1-(a 2-a +1) =a 2(a -1) , 当a >1时,a 3-a +1>a 2-a +1,P >Q ; 当0<a <1时,a 3-a +1<a 2-a +1,P >Q ; 综上所述,a >0,a ≠1时,P >Q . 【变式训练1】已知m =a +
A. m <n
11-
(a >2) ,n =x 2(x ≥,则m ,n 之间的大小关系为( )
2a -2
B. m >n
C. m ≥n
D. m ≤n
【解析】选C. 本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递. m =a +
111--
a -2+2≥2+2=4,而n =x 2≤() 2=4.
2a -2a -2
【变式训练2】已知函数f (x ) =ax 2-c ,且-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.
【解析】由已知-4≤f (1)=a -c ≤-1,-1≤f (2)=4a -c ≤5. 令f (3)=9a -c =γ(a -c ) +μ(4a -c ) ,
5⎧
γ=-, ⎪⎧γ+4μ=9, ⎪3所以⎨ ⇒⎨
⎩-γ-μ=-1⎪μ=8
⎪3⎩
58
故f (3)=-(a -c ) a -c ) ∈[-1,20].
33题型三 开放性问题
c d
【例3】已知三个不等式:①ab >0;② >bc >ad . 以其中两个作条件,余下的一个作结论,则能组
a b 成多少个正确命题?
c d bc -ad
【解析】能组成3个正确命题. 对不等式②作等价变形:>0.
a b ab bc -ad
(1)由ab >0,bc >ad ⇒>0,即①③⇒②;
ab (2)由ab >0,
bc -ad
0⇒bc -ad >0⇒bc >ad ,即①②⇒③; ab
bc -ad
>0⇒ab >0,即②③⇒①. ab
(3)由bc -ad >0,
故可组成3个正确命题.
【例2】解关于x 的不等式mx 2+(m -2) x -2>0 (m ∈R ). 【解析】当m =0时,原不等式可化为-2x -2>0,即x <-1; 当m ≠0时,可分为两种情况:
2
(1)m >0 时,方程mx 2+(m -2) x -2=0有两个根,x 1=-1,x 2=m 2
所以不等式的解集为{x |x <-1或x >;
m
(2) m <0时,原不等式可化为-mx 2+(2-m ) x +2<0,
m +222
其对应方程两根为x 1=-1,x 2=x 2-x 1=-(-1) =.
m m m
2
①m <-2时,m +2<0,m <0,所以x 2-x 1>0,x 2>x 1, 不等式的解集为{x |-1<x <;
m ②m =-2时,x 2=x 1=-1,原不等式可化为(x +1) 2<0,解集为∅; 2
③-2<m <0时,x 2-x 1<0,即x 2<x 1,不等式解集为{x |x <-1}.
m ax -1
【变式训练2】解关于x 的不等式>0.
x +1【解析】原不等式等价于(ax -1)(x +1) >0.
1
当a =0时,不等式的解集为{x |x <-1};当a >0时,不等式的解集为{x |x >或x <-1};
a 1
当-1<a <0时,不等式的解集为{x |<x <-1};当a =-1时,不等式的解集为∅;
a 1
当a <-1时,不等式的解集为{x |-1<x <a
【例3】已知ax 2+bx +c >0的解集为{x |1<x <3},求不等式cx 2+bx +a <0的解集. 1
【解析】由于ax 2+bx +c >0的解集为{x |1<x <3},因此a <0, 解得x <x >
1.
3
2y +1
(1)z =x +2y -4的最大值; (2)z =x 2+y 2-10y +25的最小值; (3)z =.
x +1【解析】作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标A (1,3),B (3,1),C (7,9). (1)易知直线x +2y -4=z 过点C 时,z 最大. 所以x =7,y =9时,z 取最大值21. (2)z =x 2+(y -5) 2表示可行域内任一点(x ,y ) 到定点M (0,5)的距离的平方, 过点M 作直线AC 的垂线,易知垂足N 在线段AC 上, |0-5+2|29
故z 的最小值是() =22
1
y -(-21
(3)z =2·表示可行域内任一点(x ,y ) 与定点Q (-1,-连线斜率的2倍.
2x -(-1)
7337
因为k QA =k QB =,所以z 的取值范围为[,4842【例1】(1)设x ,y ∈R +,且xy -(x +y ) =1,则( )
A .x +y ≥2(2+1) B .x +y ≤2(2+1) C. x +y ≤2(2+1) 2 D. x +y ≥(2+1) 2 a +b
(2)已知a ,b ∈R +,则ab ,,
2
a +b 2ab
, . 2a +b
x +y 2x +y 2
【解析】(1)选A. 由已知得xy =1+(x +y ) ,又xy ≤() ,所以(≥1+(x +y ).
22解得x +y ≥2(2+1) 或x +y ≤2(1-2). 因为x +y >0,所以x +y ≥2+1). (2)由
a +b 2ab 2ab
≥ab 有a +b ≥2ab ,即a +b ab
≥. 2a +b ab
a +b 又2
a +2ab +b ≤4
2(a +b )
4
a +b a +b
所以22
a +b a +b 2ab
≥ab . 22a +b
11λ
【变式训练1】设a >b >c ,不等式+>恒成立,则λ的取值范围是 .
a -b b -c a -c 【解析】(-∞,4). 因为a >b >c ,所以a -b >0,b -c >0,a -c >0.
而(a -c )(
1111) =[(a -b ) +(b -c )](+) ≥4,所以λ<4. a -b b -c a -b b -c
51
【例2】(1)已知x <,则函数y =4x -2+的最大值为 ;
44x -5
511
【解析】(1)因为x <,所以5-4x >0. 所以y =4x -2+(5-4x ++3≤-2+3=1.
44x -55-4x 1
当且仅当5-4x =x =1时,等号成立. 所以x =1时,y max =1.
5-4x
(a +b ) 2
【变式训练2】已知x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,求.
cd 【解析】由等差数列、等比数列的性质得a +b =x +y ,
(a +b ) 2(x +y ) 2(a +b ) 2(a +b ) 2x y y y
cd =xy ,所以=2+,当0时,≥4;当0时,≤0,
cd xy y x x cd x cd (a +b ) 2
故的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞).
cd
例 已知x , y , >0,
28
+=1,求xy 的最小值。 x y
2
⎛28⎫4y 64x 2
++32≥32=64。
解:xy =xy 1=xy +⎪=x y ⎝x y ⎭
当且仅当
281
==时,即x =4. y =16,上式取“=”,故(xy )=64。
min
x y 2x
例 已知0
41+的最小值。 x 1-x
解:因为00。
4(1-x )411⎫x ⎛4
所以y =+=⎡x +1-x +=5++≥9。 ⎤()⎦ x 1-x ⎪x 1-x ⎣x 1-x ⎝⎭
4(1-x )x 2
=当且仅当时,即x =,上式取“=”,故y min =9。
3x 1-x
例 已知x , y , z ∈R ,且x +
+
y +z =1,求
149
++的最小值。 x y z
解:设λ
>0,故有λ(x +y +z -1)=0。
⎫⎛9149149⎛1⎫⎛4⎫
∴++=+++λ(x +y +z -1)= +λx ⎪+ +λy ⎪+ +λz ⎪-λ x y z x y z ⎝x ⎭⎝y ⎭⎭
⎝z
≥λ=λ。当且仅当
149
=λx , =λy , =λz 同时成立时上x y z x +y +z =1,解得λ=36
,此
时
述不等式取“=”,
即
x =
y =
z =
,代入
149
,故++的最小值为36。 λ=36
x y z
例 若正实数x ,y 满足xy ______) 答案:18
解:因为x >0,y >0 ,所以xy =2x +
=2x +y +6 ,则
xy 的最小值是 。(变式:求2x +y 的最小值为
y +6≥22xy +6,
xy -6≥
0≥≤等号当且仅当2x=y=6时成立,故xy 的最小值为18。 变式答案:12
解:因为x >0,y >0 ,所以xy
12x +y 2
=2x +y +6≤()
22
整理得(2x +
y ) 2-8(2x +y ) -48≥0,解得2x +y ≥12或2x +y ≤-4(舍)
等号当且仅当2x=y=6时成立,故2x +y 的最小值为12。 例 若对任意x 答案:a
>0,
x
≤a 恒成立,则a 的取值范围是 。
x 2+3x +1
≥
1 5
解:因为x
1
≥2(当且仅当x=1时取等号),所以有 x
x 111
1x 1=≤=2a ≥,即的最大值为,故。 1x +3x +1x ++32+35
5x 2+3x +15
x
>0,所以x +