2014高考数学三角函数汇编
2014高考三角函数汇编
ππ
1. (辽宁)将函数y =3sin(2x +) 的图象向右平移个单位长度,所得图象对
32应的函数( B ) A .在区间[
π7π
1212,
]上单调递减 B.在区间[
, ]上单调递增
1212
π7π
C .在区间[-
ππ
, ]上单调递减 D.在区间[-, ]上单调递增 6363
ππ
2. 为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2sin 3x 的图像( C )
ππ
个单位 B.向左平移个单位 44ππ
C. 向右平移个单位 D.向左平移个单位
1212A. 向右平移
⎧x 2+1, x >0
3. (福建)已知函数f (x )=⎨则下列结论正确的是( D )
⎩cos x , x ≤0A. f (x )是偶函数B. f (x )是增函数 C.f (x )是周期函数D. f (x )的值域为[-1, +∞) 4. (江苏) 已知函数y =cos x 与y =sin(2x +ϕ) (0≤ϕ
坐标为
π
3
的交点, 则ϕ的值是 ▲
.
5、
(浙江)如图,某人在垂直于水平地面
知点到墙面的距离为
确瞄准目标
点
的墙面前的点处进行射击训练. 已
移动,此人为了准
的大小.
若
,某目标点
沿墙面的射击线
观察
点
,需计算由
点
则
的仰
角
的最大值
(仰角为直线AP 与平面ABC 所成角)
6. (新课标二4)钝角三角形ABC 的面积是,AB=1,
,则AC=( )
A. 5
C. 2 D. 1 【答案】B
1112
ac sin B =•2•1•sin B =∴sin B =, 2222π3ππ
∴B =, 或. 当B =时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去。
4443π
∴B =,使用余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B , 解得b =. 故选B .
4 S ΔABC=
7. (江苏)若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C , 则cos C 的最小值是 ▲
.
8. ((浙江)本题满分14分)在∆ABC 中,内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c .
已知a ≠b , c
,cos 2A -cos 2B A cos A B cos B . (I )求角C 的大小; (II )若sin A =
4
,求∆ABC 的面积. 5
解:(I
)由题意得,
1+cos 2A 1+cos 2B -=2A -2B ,
2222
即
11
2A -cos 2A =2B -cos 2B , 2222
sin(2A -) =sin(2B -) ,由a ≠b 得,A ≠B ,又A +B ∈(0, π),得
66ππ2ππ2A -+2B -=π,即A +B =,所以C =;
6633
4a c 8
=(II
)由c =sin A =,得a =,
5sin A sin C 5
3
由a
5
ππ
sin B =sin (
A +C )=sin A cos C +cos A sin C =
, 1所以∆
ABC 的面积为S =ac sin B =.
2
9. (新课标二14. )函数f (x )=si n 2)-2si ϕn cos (x +ϕ(x +ϕ)的最大值为_________. 【答案】 1
f (x ) =sin(x +2φ) -2sin φcos(x +φ)
=sin(x +φ) •cos φ+cos(x +φ) •sin φ-2sin φcos(x +φ) =sin(x +φ) •cos φ-cos(x +φ) •sin φ=sin x ≤1. ∴最大值为1.
ππ
10. (大纲卷16). 若函数f (x ) =cos 2x +a sin x 在区间(, ) 是减函数,则a 的
62
取值范围是 a《=2 . 11.
(
重
庆
10
)
已
知
∆A
B 的
内角
A ,B , C 满足s 2A i +s n A i -B +n C ) =(s
1
C i -A -n B ) +2
,面积满足
1≤S ≤2,记a , b , c 分别为A , B , C 所对的边,则下列不等式成立的是( A ) A. bc (b +c ) >8 B.ac (a +c ) C.6≤abc ≤12 D. 12≤abc ≤24
π
12. (陕西)函数f (x ) =cos(2x -) 的最小正周期是( )
6
π
A . B . π C .2π D .4π 2【答案】 T =
13. (天津)在D ABC 中,内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知b -c =
2sin B =3sin C ,则cos A 的值为_______.
2π2π==π, ∴选B |ω|2
1a ,4
解:-
3c 1
因为2sin B =3sin C ,所以2b =3c ,解得b =,a =2c .
24
b 2+c 2-a 21
=-. 所以cos A =
2bc 4
ππ
14. (北京14) 设函数f (x ) =sin(ωx +ϕ) ,A >0, ω>0,若f (x ) 在区间[, ]上
62
⎛π⎫
具有单调性,且f ⎪=
⎝2⎭
⎛2πf ⎝3
⎫⎛π⎫
⎪=-f ⎪,则f (x ) 的最小正周期为___π_____. ⎭⎝6⎭
15.12(广东12). 在∆ABC 中,角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c ,已知
b cos C +c cos B =2b ,则
a
= . b
答案:2
a
提示:解法一:由射影定理知b cos C +c cos B =a , 从而a =2b , ∴=2.
b
解法二:由上弦定理得:sin B cos C +sin C cos B =2sin B , 即sin(B +C ) =2sin B ,
a
∴sin A =2sin B , 即a =2b , ∴=2.
b
a 2+b 2-c 2a 2+c 2-b 2
解法三:由余弦定理得:b ⋅+=2b , 即2a 2=4ab ,
2ab 2ac
a
∴a =2b , 即=2.
b
16. (辽宁)(本小题满分12分)
1在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a >c ,已知BA ∙BC =2,cos B =,
3b =3,求:
(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C ) 的值.
解. (Ⅰ)由BA ⋅BC =2得,c ⋅a cos B =2,又cos B =由余弦定理,得a +c =b +2ac cos B . 又b =3,所以a +c =9+2⨯2=13.
2
22
2
2
1
,所以ac =6. 3
⎧⎪ac =6解⎨2,得a =2,c =3或a =3,c =2. 2
⎪⎩a +c =13
因为a >c , ∴ a =3,c =2.
(Ⅱ)在∆
ABC 中,sin B ===
3
由正弦定理,得sin C =
c 2,又因为a =b >c ,所以C 为
sin B =⋅=
b 339
锐角,因此cos C ==7
=. 9
于是cos(B -C ) =cos B cos C +
sin B sin C =⋅
17(福建)(本小题满分13分)
1723
. +⋅=
393927
已知函数f (x ) =cos x (sinx +cos x ) -.
12
(1)若0
π
2
,且sin α=
,求f (α) 的值; 2
(2)求函数f (x ) 的最小正周期及单调递增区间. 解法一:(1)因为0
α
π
2
, sin α=
所以cos α=.
22
所以f (α) =
11
+-= 22222
(2)
因为
f (x ) =sin x cos x +cos 2x -
111+cos 2x 111π=sin 2x +-=sin 2x +cos 2x =x +) 22222224
, 所以T =
k π-
2ππππ
=π. 由2k π-≤2x +≤2k π+, k ∈Z , 得2242
3ππ
≤x ≤k π+, k ∈Z . 所以f (x ) 的单调递增区间为883ππ[k π-, k π+],k ∈Z .
88
解法二:
f (x ) =sin x cos x +cos 2x -
111+cos 2x 111π
=sin 2x +-=sin 2x +cos 2x =x +) 2222224
(1)因为0
α
π
2
, sin α=
π所以α=
42
从而f (α) =(2)T =由2k π-
π3π1
α+) == 24242
2π
=π 2≤2x +
π
2
π
4
≤2k π+
π
2
, k ∈Z , 得k π-
3ππ
≤x ≤k π+, k ∈Z . 所以f (x ) 的88
单调递增区间为[k π-
3ππ
, k π+],k ∈Z . 88
18. (重庆17)(本小题13分,(I )小问5分,(II )小问8分)
ππ⎫⎛πf (x )=sin (ωx +ϕ) ω>0,-≤ϕ
22⎭的图像关于直线⎝3对已知函数
称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(I )求ω和ϕ的值;
⎛π2π⎫3π⎫⎛α⎫⎛cos α+f ⎪=⎪
22463⎭的值. ⎝⎭,求⎝(II )若⎝⎭
解:因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f (x )的最小正周期
T =π,从而ω=
2π
=2. T
又因f (x )的图象关于直线x =
2⋅
π
3
对称,所以
, 因-
π
3
+ϕ=k π+
π
2
, k =0, ±1, ±2,
π
2
≤ϕ
π
2
得k =0
所以ϕ=
π
2
-
2ππ=-. 36
⎛α⎫⎛απ⎫
(II )由(I
)得f ⎪= 2⋅-⎪=
2264⎝⎭⎝⎭
π⎫1⎛
所以sin α-⎪=.
6⎭4⎝
由
π
6
2πππ得0
362
π⎫⎛ 所以cos α-⎪===
64⎝⎭因此
3π⎛
cos α+
2⎝π⎫ππ⎫π⎡⎛π⎫π⎤⎛⎛⎫
=sin α-cos +cos α-=sin α=sin α-+ ⎪ ⎪sin
⎪⎪⎢ ⎥6⎭66⎭66⎭6⎦⎝⎝⎭⎣⎝
11+==⨯ 42428
19、(广东16) (12分)已知函数f (x ) =A sin(x + (1)求A 的值; (2)若f (θ) +f (-θ) =
3π3
,θ∈(0, ) ,求f (π-θ) . 224
π
4
), x ∈R ,且f (
53
π) =, 122
解:(1)f (
5π5ππ
2π33) =
A sin(+) =A sin =, ∴A =
=12124322(2)由
(1)得:f (x
) =sin(x +),
4
∴f (θ) +f (-θ) =sin(θ
+) -θ+)
44
+cos θsin ) (sin(-θ)cos +cos(-θ)sin ) 4444π
3
=cos θsin =θ=
42
π
∴cos θ=θ∈(0,), ∴sin θ=
23π3ππ∴f (-θ) =-θ+) =π-θ) =θ==.
444=θcos
π
ππ
ππππ
20. (天津)(本小题满分13分)
π⎫⎛
已知函数f (x )=cos x ⋅sin x +⎪2
x
+,x ∈R .
3⎭4
⎝
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期;
⎡ππ⎤
(Ⅱ)求f (x )在闭区间⎢-, ⎥上的最大值和最小值.
⎣
44⎦骣
ç1sin x +
x ÷÷-解:(Ⅰ)解:
由已知,有f (x ) =cos x ÷ç÷ç22
桫
2x +
4
=
1
sin x ? cos x 22x + =
1sin 2x -1+cos2x + )
4441
sin 2x -4
x 4
=
=所以,f (x ) 的最小正周期T =
1骣p
. sin ç2x -÷÷ç÷ç2桫32p
=p . 2
轾p 轾p p p
(Ⅱ)解:因为f (x ) 在区间犏上是减函数,在区间犏-, --, 上是增函数.
犏犏412124臌臌骣p ÷1
,f ç-=-÷ç÷ç桫44
骣p ÷1
,f ç-=-÷ç÷ç桫122
骣p ÷1f =. ÷÷桫44
轾p p 11
所以,函数f (x ) 在闭区间犏-, 上的最大值为,最小值为-.
犏42臌44
21. (江苏)(本小题满分14分)
已知α∈(, π) , sin α=
2
π
. 5
(1)求+α) 的值;
π
45π
(2)求cos(-2α) 的值
.
6