数学不等式在化学中的应用
数学不等式在化学计算中的应用
溶液部分是中学化学的一个重要知识点,在工农业生产,科学研究和生活中有重要意义。其中有关溶液组成的计算是教学的难点,纠其原因:主要是对所学计算公式掌握不熟练,对于一些结论性的东西,也是知其然,而不知其所以然,更不用说应用了。为了使学生从根本上解决此类问题,特总结如下相关实例:
一 已知同溶质不同质量分数的两溶液等体积混合,求混合后溶液的质量分数。
[例]已知H 2SO 4 溶液的质量分数越大时,其溶液的密度越大, 将质量分数为 3x%与
x%的两溶液等体积混合,则混合后溶液的质量分数 ( )
A 大于2 x% B 小于2 x% C 等于2 x% D 无法确定
解法一 (计算法) 设3x%H2SO 4 溶液的密度为d 1, x%H2SO 4 溶液的密度为d 2, 两体积均
为Vml, 混合后溶液的质量分数为y%.
y%=d1V3x%+d2V x%/ d1V+d2V
d 1V y%+d2V y%= d1V3x%+d2V x%
(3x%- y%)d 1 =(y%- x%)d 2
因为d 1 >d2
所以3x%- y%
y%>2 x%
解法二(估算法) 假设等质量的两硫酸溶液混合, 则混合后溶液的质量分数为2 x %(设
质量为m, 则 y%=m3x%+m x%/ m+m),因为3x%的密度大, 所以等体积混合相当于等质量混合后又与少量的3x%H2SO 4 溶液混合, 混合后溶液的质量分数必大于2 x%
故本题正确选项为A
[思维迁移]解答关于溶液密度与质量分数定量关系的试题, 有如下规律迅速解答: 含同溶质不同浓度的溶液, 设等质量混合的质量分数为 a%,等体积混合的
质量分数为b%
(1)d>1的两种溶液(如硫酸, 硝酸), 当d 1 >d2, x 1% >x2%,则a%
(2)dd2 ,x 1%b%
二 已知一种溶液的密度和质量分数, 求用等体积的水稀释后的质量分数
[例]密度为0.91 g.cm -3氨水质量分数为0.25, 该氨水用等体积的水稀释后的质量分数
为( )
A 大于0.125 B 小于0.125 C 等于0.125 D 无法确定
解法一(计算法) 设氨水密度为d 1, 水的密度为d 2, 体积为V, 所求为x
0.25 d1V /d1V+ d2V=x
0.25 d1= d1 x + d2x
(0.25- x) d1= d2x
因为d 1
所以0.25- x>x
所以0.125>x
解法二(估算法)假设等质量的两溶液混合, 则混合后溶液的质量分数为W /2(x=Wm
/m+m= W /2),等体积混合相当于等质量混合后又加少量的水稀释,所以混合后溶液的质量分数必小于W /2。
[思维迁移]解答关于同溶质同溶剂的两溶液A 和B ,其密度分别为d A 和d B ,溶质质量
分数分别为W A 和W B ,求等体积混合所得溶液质量分数W C 的规律:
(1) W A >0,WB =0 ,dA >1,dB =1 , WC >WA +WB /2
(2) W A >0,WB =0 ,dA
三 已知一种溶液的质量分数W A 和物质的量浓度C A , 求W A /2溶液的物质的量浓度与
C A /2的关系
[例] 已知98%的硫酸的浓度为18.4mol/L,则49%的硫酸的浓度为( )
A 大于9.2 mol/L B 小于9.2 mol/L C 等于9.2 mol/L D 无法确定
解法一(计算法) 设浓溶液的质量m 1=100g,m 质1=98g,n 质1=1 mol ,设稀溶液的质量
m 2=200g,m 质2=98g,n 质2=1 mol
由V=m/ d 得V 1=100/ d1 V 2=200/ d2
由C=n/ V 得C 1=n1/ V1= d1 /100 C 2=n2/ V2=d2 /200
d 1=100C1 d 2 =200 C 2
因为 d 1>d2
所以 100C 1 >200 C 2
所以C 2
解法二(计算法) 依C=1000 dW/M有C 1=1000 d1W 1/M C 2=1000 d2W 2/M
C 1/ C2=d1W 1/ d2W 2即9.2 /C2=d1/ d2
因为 d 1>d2
所以C 2
[思维迁移]解答关于同溶质同溶剂的两溶液A 和B ,其密度分别为d A 和d B ,溶质质量
分数分别为W A 和W B (WB =WA /2),物质的量浓度C A 和 C B ,求C B 物质的量浓度与C A /2的关系的计算规律:
(1) d 1>d2 >1,W A >WB ,有C B
(2) d 1WB ,有C B >CA /2
四 已知一定溶液的质量m 1密度为d 1 g.cm -3, 一定的物质的量浓度C 1溶液中加入一定体积
水Vml 稀释成C 1/2的溶液, 求加水的体积。
[例]在100g 物质的量浓度为18.4 mol/L密度为1.84g.cm -3的浓硫酸中加入一定体积的水稀释成9.2mol/L的硫酸溶液, 则加水体积( )
A 大于100 ml B 小于100ml C 等于100 ml D 无法确定
解法一(计算法)设浓溶液的各物理量分别为C 1,V 1, d1
稀溶液的各物理量分别为C 2,V 2 ,d2
由V= m/ d 得V 1= 100/ d1
由C 1V 1 =C2V 2 V 2= C1V 1 /C2=2 V1
d 2 =m2/ V2 =(100+ V水)/2 V1
V 水
所以 本题答案选B
解法二 (估算法)由于物质的量浓度为18.4 mol/L密度为1.84g.cm -3的浓硫酸溶液大于
水的密度,所以100g 溶液体积一定小于100ml ,要把溶液的物质的量浓度减小一半,则加水体积大约等于原溶液体积,即小于100ml 。
[思维迁移] 已知一定溶液的质量m 1密度为d 1 g.cm-3, 一定的物质的量浓度C 1 mol/L溶液中
加入一定体积水Vml 稀释成C 1/2的溶液, 求加水的体积的计算规律:
(1) d 1m1
(2) d 1>1 V
[综合运用] 向50g 物质的量浓度为C 1mol/L,密度为d 1g.cm -3,质量分数为W 1的浓硫酸
溶液中加入Vml 稀释成物质的量浓度为C 2 mol/L,溶液密度为d 1g.cm -3,质量分
数为W 2的稀溶液,则
(1)当W 1=2W2 则V ( = )50 ; C 1( > )2C 2 ;
(2)当C 1=2C2 则V (
解法 依C=1000 dW/M
(1) C 1/ C2=d1W 1/ d2W 2=2 d1W 2/ d2W 2
C 1 d2=2 C2d 1
由d 1>d2
有C 1 >2 C2
因为W 1=2W2(溶质质量不变溶液质量扩大2倍)
所以V = 50
(2)C 1V 1=C2V 2 C 1 m 1/d1= C2m 2/ d2
由C 1=2C2 50C 1/ d1 =(50+V)C 2/ d2
100 d2=(50+V)d 1
由d 1>d2 V
由 C 1/ C2=d1W 1/ d2W 2=2
得W 1
综上分析, 有关溶液浓度与密度定量关系计算, 主要考查学生对基础知识运用,
通过运用数学不等式性质的简单变形能力,对于启发学生的思维起了一定的作用。