论惯性积的平移变换和旋转变换
第23卷第6期2004年6月大 学 物 理COLLEGE PHYSICSVol.23No.6June.2004
论惯性积的平移变换和旋转变换
郭茂政
(黄冈师范学院物理系,湖北黄州 438000)
摘要:从惯性积的定义式出发,导出了惯性积的平移变换和旋转变换,举例说明利用这两种变换可使惯性积的计算得到简化.
关键词:惯性积;平移变换;旋转变换
中图分类号:O311.2 文献标识码:A 文章编号:100020712(2004)0620023202
1 引言
惯性积亦称离心转动惯量,即刚体内各质点的
]
Ixy=Ixz=Iyz=
因为
∑mx∑mxz∑myz
i
ii
iii
′=,Ix′z′=,Iy′z′=
i
i
yx′
z∑mx′z∑my′
i
i
i
i
i
i
i
i
i
∑m()(y′+y)=
+xy+xmy′+
y∑mx′
∑my′=0,∑mx′=0,所以有
Ixy=
i
i
cic
iicc
ciicii
iiii
Ixy=Ix′
y′+mxcyc(3a)(3b)(3c)
(1)
同理可得:
Ixz=Ix′z′+mxczcIyz=Iy′z′+myczc
对于质量连续分布的刚体,应以体积分代替求和.然
而,对任意坐标系应用定义式(1)对其进行计算通常较繁.下面介绍一种简便的计算方法,即坐标系之间惯性积的变换.
即:刚体在任意系中的惯性积,等于其质心平行系的相应惯性积,加上刚体的质量与质心在该系中相应两坐标三者的乘积.此乃惯性积的平移变换(或称平行轴定理).
2 惯性积的平移变换
如图1所示,质心坐标系Cx′y′z′与刚体坐标系
Oxyz为平行坐标系,于是有:
x=x′+xcy=y′+ycz=z′+zc
3 惯性积的旋转变换
如图2所示,两相交坐标系Oxyz与Ox′y′z′的
z、z′轴重合,刚体上任一点P在两坐标系中的位矢分别为r和r′,其相互间的变换为正交变换,即
r′=Ar
A为正交变换矩阵:
(2)
(4)
将式(2)代入式(1),得
图1 平移变换
图2 旋转变换
收稿日期:2003-03-03;修回日期:2003-12-29
基金项目:湖北省教育厅重点科研基金资助项目(2003X018)
),男,湖北武穴人,黄冈师范学院物理系副教授. 作者简介:郭茂政(1948—
24大 学 物 理 第23卷
cosψ
A=
sinψ
(5)
-sinψcosψ00
系出发,利用惯性积的平移变换和旋转变换,则对惯
性积的计算将可简化.下面举两例说明.
例1 边长为a和b的匀质矩形薄板如图3所示,求Ixy.
于是有:
x′=xcosψ+ysinψ
y′=-xsinψ+ycosψz′=z
(6)
将式(6)代入式(1),得
Ix′y′=
∑m(xcosψ+ysinψ)(-i
i
i
)=xisinψ+yicosψ
i
2
∑m
i
(y2i+z2i)-
∑m
(x2i+z2i)・
图3
sin2ψ+
∑
mixiyicos2ψ=
(I-2xx
(见图3),则有:解′y′
c Iyy)sin2ψ+Ixycos2ψ即
Ix′y′=
2
,yc=
2
,Ix′y′=0
(3a)得
(I-2xycosψ2xx
cosψ
-sinψ0cosψ0
0(7)
Ixy=Ix′y′+mxcyc=
mab4
又 r=A于是有:
x=x′cosψ+y′sinψy=x′sinψ+y′cosψz=z′
-1
例2 一匀质圆盘,由于安装的误差使转轴与
[2]
盘面法线成α角.已知圆盘重P,半径为r,重心
O在转轴上,求Ixy、Ixz和Iyz.
r′,A
-1
=A=sin
ψ
T
(y轴与y′解 建立中心主轴坐标系Ox′y′z′轴重合)如图4所示,于是有:
(8)
所以
Ixy=
cosψ-∑m(x′
i
i
)(x′)=y′osψisinψisinψ+y′ic
2
∑
22
mi(x′i+z′i)-
∑
22
mi(y′i+z′i)・
图4
Iz′z′=
sin2ψ+
y′cos2ψ=∑mx′
i
i
i
(Iy′-2y′
Ixz=
22
r,Ix′rx′=2g4g
Ix′z′=Ix′y′=Iy′z′=0
)sin2ψ+Ix′ Ix′cos2ψx′y′
根据惯性积的旋转变换———左手定则式(9)得
(Ix′-Iz′)sin2α+Ix′cos2α=z′z′2x′
2
rsin2α8g
即
Ixy=
(Iy′-Ix′)sin2ψ+Ix′cos2ψx′y′2y′
(9) -
于是得相交轴系惯性积的旋转变换规律———左右手定则:重合轴为拇指指向,由已知量的坐标系到待求量的坐标系,为右手旋转时用式(7),
为左手旋转时用式(9).
参考文献:
[1] 郭士 .理论力学 上册[M].北京:高等教育出版
社,1988.278.
[2]
周衍柏.理论力学教程[M].第2版.北京:高等教育
4 应用举例
惯性积的计算一般较繁,但若从中心主轴坐标
出版社,1986.192.
(下转31页)
第6期 王广泰:磁象法在解静磁场边值问题中的应用 31
μμ故 I′=I, I″=
μ+μμ+μ0I0象电流求出后,可根据磁场公式求出B.
3 讨论
通过以上讨论并与电象法对照比较可看出,磁
象法与电象法有许多相似之处,都是根据场的唯一性定理,在不改变场内电流、电荷分布和边界条件的情况下,用场外的象电流、象电荷所产生的场等效代替边界面上电流、电荷所产生的场,将解静场边值问题变成求解在无界空间中少数几个电流、电荷所产生的场,.但这类方法只限于求.
图2
矢势A为
μ
lnrerπI″2μ0μ0A2=-Ilnr1I′lnr2+lnrez
πππI′222
222222
式中r1=r+d-2rdcosθ,r2=r+b-2rbcosθ,
A1=
-
:
[1] 郭硕鸿.电动力学[M].北京:人民教育出版社,1979.
59～313.
[2] 朱允远.纵场和横场的边值问题[J].大学物理,1992,
11(9):12.
[3] 文盛乐.关于稳定磁场唯一性定理的再讨论[J].大学
b=
.由边值关系,r=a处,A1=A2,以及er×μd
2
×A1=μer××A2,可以得出:
μ0
I-I′=I″, I+I′=
μI″Δ
物理,1991,10(10):23.
[4] 姚尚锋.电象选择的唯一性[J].大学物理,2001,20
(4):18.
Δ
TheApplicationofmagneto2imagemethodinthesolutionof
staticmagneticfieldboundaryvalue
WANGGuang2tai
(DepartmentofPhysicsandElectronicalScience,LinyiTeacher’sUniversity,Linyi276005,China)
Abstract:TheuniquetheoremofBin
staticmagneticfieldisdiscussedandtheapplicationofmagneto2image
methodisintroduced,andthismethodisappetiedtosolvethefieldboundaryvalueproblems.
Keywords:staticmagneticfield;magneto2image;boundaryvalueproblem
(上接24页)
Adiscussionontheshiftingtransformationandrotating
transformationofinertialprouduct
GUOMao2zheng
(DepartmentofPhysics,HuanggangTeacher’sCollege,Huanggang438000,China)
Abstract:Fromthedefinitionofinertialprouduct,theshiftingtransformationandrotatingtransformationof
inertialprouductarededuced,andthattheywillsimplifythecalculationofinertialprouductisillustrated.
Keywords:inertialprouduct;shiftingtransformation;rotatingtransformation