34 导数的概念.几何意义.运算

第34课导数的概念及运算

【教学目标】 一．知识目标

（1）理解导数的概念，探求导数的几何意义。

（2）掌握导数的运算，学会用导数的几何意义求切线斜率和切线方程。

二．能力目标 （1）通过对导数概念的理解培养学生运用极限思想去思考问题的能力以及建立数学模型的能力。

（2）通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。

三．情感目标

情感态度与价值观目标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。 【教学重点】

理解导数的概念及几何意义 【教学难点】

运用极限的思想抽象出导数的定义 【考点分析】

注意利用导数的几何意义求切线斜率或者利用定义求导数 【知识点梳理】

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，那么函数y 相应地有增量∆y =f

∆y

（x 0+∆x ）－f （x 0），比值叫做函数y=f（x ）在x 0到x 0+∆x 之间的平均变

∆x ∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y

化率，即=。如果当∆x →0时，有极限，我们就说函

∆x ∆x ∆x

数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|x =x 0。 即f （x 0）=lim 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指∆x →0时，在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。 可以是零。

∆y ∆y 有极限。如果不存∆x ∆x

∆x →0

f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y

=lim 。 ∆x ∆x →0∆x

（2）∆x 是自变量x 在x 0处的改变量，∆x ≠0时，而∆y 是函数值的改变量，

由导数的定义可知，求函数y=f（x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量∆y =f（x 0+∆x ）－f （x 0）； （2）求平均变化率

∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)

=； ∆x ∆x

（3）取极限，得导数f’(x0)=lim

∆y

。

∆x →0∆x

2．导数的几何意义

函数y=f（x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f（x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数:

①C '=0; ②(x n )'=nx n -1; ③(sinx ) '=cos x ; ④(cosx ) '=-sin x ;

11

⑤(e x ) '=e x ; ⑥(a x ) '=a x ln a ; ⑦(ln x )'=; ⑧(l o g a x )'=log a e

x x

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差) 的导数, 等于这两个函数的导数的和(或差) ， 即： (u ±v ) ' =u ' ±v ' . 法则2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：(uv ) ' =u ' v +uv ' .

若C 为常数, (Cu ) ' =C ' u +Cu ' =0+Cu ' =Cu ' . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu ) ' =Cu ' .

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与

u ' v -uv ' ⎛u ⎫

分子的积再除以分母的平方： ⎪‘=（v ≠0）。 2

v v ⎝⎭

形如y=f[ϕ(x ) ]的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y＇|U ²u ＇|X

【典型例题】 题型一 导数的定义

例题1、设f (x )在x 处可导，则lim

h →0

f (x +h )-f (x -h )

等于（ ）

2h

A ．2f '(x ) B ．

1

f '(x ) C. f '(x ) D ．4f '(x ) 2

评注：注意结合导数的定义中分子分母进行求解. 答案:C

变式训练：设函数f(x)在x 0处可导，则lim A ．2f ' (x 0) B ．

∆x →0

f (x 0+∆x ) -f (x 0-∆x )

=( )

∆x

11

f ' (x 0) C ．-2f ' (-x 0) D ．-f (-x 0) 22

评注:理解导数概念里的平均变化率对理解导数的概念的集中形式很重要. 答案:A

题型二： 导数的运算

例1

函数y =

的导数是（ ）

13234-14-1

5

A ．x B ．x C ．x D ．-x 5

5555

答案：C

变式训练 y =e x cos x ，则y ′(0)等于( )

0 B 1 C －1 答案：B

2

题型三： 导数的几何意义，求切线斜率和切线方程

例1：设f(x)为可导函数, 且满足条件l i x →0

f (1) -f (1-x )

=-1

2x

求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.

解： f (x ) 是可导函数且lim

x →0

f (1) -f (1-x )

=-1,

2x

1f (1) -f (1-x ) f (1-x ) -f (1) ∴lim =-1, ∴lim =-2,

x →0x →021-(1-x ) (1-x ) -1∴f '(1) =-2. 故所求的斜率为-2

变式训练1 求曲线f (x )=

132

x －x +5在x =1处的切线的倾斜角. 3

分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k =tanα，求出倾斜角α. 解：∵tan α=lim

∆x →0

f (x 0+∆x ) -f (x 0) f (1+∆x ) -f (1)

=lim ∆x →0∆x ∆x

11

(1+∆x ) 3-(1+∆x ) 2+5-(-1+5)

=lim ∆x →0∆x

1

(∆x ) 3-∆x

1

=lim[(∆x ) 2-1]=-1 =lim ∆x →03∆x →0∆x

∵α∈［0，π

33

) ，∴α=π. ∴切线的倾斜角为π.

44

变式训练2 y =x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.

解：设点P 的坐标(x 0，x 03)

f (x 0+∆x ) -f (x 0) (x 0+∆x ) 3-x 03

=lim ∴斜率3=lim ∆x →0∆x →0∆x ∆x

3x 02∆x +3x 0(∆x ) 2+(∆x ) 3

=lim[3x 02+3x 0∆x +(∆x ) 2]=3x 02 =lim

∆x →0∆x →0∆x

∴3x 02=3，x 0=±1

∴P 点的坐标是(1，1) 或(－1，－1)

变式训3已知曲线 y =2x 2+2 上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P 的切线的倾斜角

和切线方程.

解:K P =lim

∆y

, 而∆y =f (1+∆x ) -f (1) =2(1+∆x ) 2+2-2,

∆x →0∆x

2(1+∆x ) 2+2-2∆y 4∆x +2(∆x ) 2

lim =lim =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x →0∆x ∆x [2(1+∆x ) 2+2+2]=lim

4+∆x 2(1+∆x ) 2+2+2

∆x →0

=

4

=1.

2⋅1+2+2

∴K P =tan α=1, ∴α=45 , 即过P 点切线的倾斜角等于45 .

故过点P 的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.

例2:如图, 已知曲线 y =

(1)点P 处的切线的斜率; (2)点P 处的切线方程.

138

x 上一点P (2, ) , 求: 33

11

(x +∆x ) 3-x 3

1∆y 解：(1) y =x 3, ∴y '=lim =lim ∆x →0∆x ∆x →03∆x

13x 2∆x +3x (∆x ) 2+(∆x ) 3

=lim

∆x →03∆x 1

=lim [3x 2+3x ∆x +(∆x ) 2]=x 2. 3∆x →0

∴y '|x =2=22=4. 即点P 处的切线的斜率等于4.

(2)在点P 处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

变式训练1求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

解:k =lim

f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x →0∆x

(1+∆x ) 2+1-(1+1) =lim ∆x →0∆x

2∆x +(∆x ) 2

=lim =2. ∆x →0∆x

因此, 切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率, 然后 利用点斜式求切线方程.

变式训练2:求曲线f (x )=x 3+2x +1在点(1，4) 处的切线方程.

解:k =lim

∆x →0

f (x 0+∆x ) -f (x 0) f (1+∆x ) -f (1)

=lim ∆x →0∆x ∆x

(1+∆x ) 3+2(1+∆x ) +1-(13+2⋅1+1)

=lim ∆x →0∆x 5∆x +3(∆x ) 2+(∆x ) 3=lim ∆x →0∆x =lim[5+3∆x +(∆x ) 2]=5

∆x →0

∴切线的方程为y －4=5(x －1) ，即y =5x －1

例3：如图，函数y =f (x ) 的图象在点P 处的切线方程是y =-x +8

则f (5) +f '(5) = .

【解题思路】考查在某点处的切线方程，切点既在曲线上又在切线上. 【答案】2

【解析】观察图形, 设P (5,f (5)), 过P 点的切线方程为

，

y -f (5)=f '(5)(x -5) 即y =f '(5)x +f (5)-5f '(5)

它与y =-x +8重合, 比较系数知:f '(5)=-1, f (5)=3 故f (5) +f '(5) =2.

【注】切点的“两重性质”：切点既在切线方程上，又在曲线方程上. 既满足切线的方程，又满足曲线的方程.

【方法与技巧总结】

a. 导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。

b. 要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。

c. 弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。

【巩固练习】

1. 下列四个命题中, 正确命题的个数为

①若f (x )=x , 则f ′(0)=0

②若函数f (x )=2x 2+1,图象上点(1,3)的邻近一点为(1+Δx , 3+Δy ), 则③加速度是动点位移函数s (t ) 对时间t 的导数 ④曲线y =x 3在(0,0)处没有切线 A.1 B.2 C.3

∆y

=4+2Δx ∆x

D.4

2. 设函数f (x ) 在点x 0附近有定义, 且有f (x 0+Δx ) －f (x 0)=a Δx +b (Δx ) 2(a 、b 为常数), 则

A. f ′(x )=a B. f ′(x )=b C. f ′(x 0)=a D. f ′(x 0)=b

3. 物体自由落体运动方程为s =s (t )=

12s (1+∆t ) -s (1) g t ,g=9.8 m/s2, 若v =lim =g(m/s),那么说

∆t →02∆t

法正确的是

A.9.8 m/s是在0~1 s这段时间内的速率

B.9.8 m/s是从1 s到(1+Δt ) s这段时间内的速率 C.9.8 m/s是物体在t =1 s这一时刻的速率

D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt ) s这段时间内的平均速率

4. 已知曲线y 1=x 2, y 2=x 3, y 3=2sinx , 这三条曲线与x =1的交点分别为A 、B 、C , 又设k 1、k 2、k 3分别为经过A 、B 、C 且分别与这三条曲线相切的直线的斜率, 则

A. k 1

5. 一点沿直线运动, 若由始点起经过t s后的路程是s =

A.0

6. 函数y =e x 的导数是__________. 7. 函数y =ln

2

121

t +, 则速度为0的时刻为___秒末. 2t

D.1

B.2 C.3

1+x

的导数是__________. 1-x

15

x -9都相切，则a 等于 43

9、在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线C :y =x -10x +3上，且在第二象限内，已知

8. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 和y =ax +

3

2

曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求P 的坐标。10、若曲线f (x ) =ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是。

课后作业

11. 函数y =+ln x 的导数是

A. +

3

1 x

B.

+ln x

x

C.

1

2x +ln x

D.

2x

+ln x

12. 已知f (x )=x 3的切线的斜率等于1, 则这样的切线有

A.1条 B.2条 C. 多于2条 D. 不能确定

13. 若函数f (x ) 的导数为f ′(x )=－sin x , 则此函数图象在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为

A.

π

2

B.0 C. 锐角 D. 钝角

14. 曲线y =x 3－3x 上切线平行于x 轴的点为

A.(0,0),(1,3) B.(－1,2),(1,－2) C.(－1, －2),(1,2) D.(－1,3),(1,3)

15. 抛物线y =x 2上点A 处的切线与直线3x －y +1=0的夹角为45°, 则点A 的坐标是

A.(－1,1)

B.(,

11

) 416

C.(1,1) D.(－1,1) 或(,

11

) 416

16. 点P 在曲线y =x 3－x +

.

2

上移动, 设过点P 的切线的倾斜角为α, 则α的取值范围是___. 3

17. 过曲线y =x －e x 上某点的切线平行于x 轴, 求这点的坐标及切线方程.

18. 在曲线y =x 3－x 上有两个点O (0,0)、A (2,6),求弧OA 上使△AOP 的面积最大的点P 的坐标.

拓展训练． 1. 已知曲线y =

134x +， 33

（1）求曲线在点P (2,4)处的切线方程；

（2）求曲线过点P (2,4)的切线方程； （3）求斜率为4的曲线的切线方程.

2. 已知x 轴是曲线y =x 3＋bx ＋c 的切线，试求b 、c 满足的关系式.

3. 已知曲线C 1：y =x 2与C 2:y =－(x －2) 2, 若直线L 与C 1、C 2都相切, 求L 的方程.

4. 设f (x ) 在x =1处连续, 且lim

x →1

f (x )

=2,求f ′(1). x -1

【巩固练习】答案：

1. 分析:本题考查导数的定义及导数的几何意义、物理意义.

1

解:①中, f ′(x )=在x =0处无导数;

2x

③中, s (t ) 对时间t 的导数为动点在某时刻的瞬时速度; ④中, 曲线在(0,0)处的切线为x 轴. 故只有②正确. 答案:A

2. 分析:本题主要考查导数的概念.

解:∵f (x 0+Δx ) －f (x 0)=a Δx +b (Δx ) 2(a 、b 为常数), ∴∴f ′(x 0)=lim

f (x 0+∆x ) -f (x )

=a +b Δx .

∆x

∆x →0

f (x +∆x ) -f (x )

=lim (a +b Δx )=a . ∆x →0∆x

答案:C

3. 分析:本题考查导数的物理意义. s (t ) 在某一时刻的导数为在这一时刻的瞬时速度.

11g (t +∆t ) 2-gt 2

2gt (∆t ) +g (∆t ) 2解:s ′=lim =lim =lim (gt +gΔt )=gt ,

∆t →0∆t →0∆t →0∆t 2(∆t )

∴s ′|t =1=g³1=g=9.8(m/s).

答案:C

4. 分析:本题主要考查导数的几何意义及导数的运算法则.

解:∵y 1′=2x , y 2′=3x 2, y 3′=2cosx , ∴y 1′|x =1=2, y 2′|x =1=3, y 3′|x =1=2cos1. ∴k 3

5. 分析:本题主要考查导数的物理意义, 即位移对时间的导数是瞬时速度.

解:s ′=t －

11, 令s ′=t －=0,得t =1. t t

答案:D

6. 分析:本题主要考查指数函数以及复合函数的导数.

解:设y =e, μ=x 2, 则y x ′=y μ′²μx ′=(eu ) ′²(x 2) ′=e²2x =2x e x .

μ

μ

2

答案：2x e x

7. 分析:本题主要考查对数函数以及复合函数的导数.

解:y ′=

2

221-x 1+x 1-x (1-x ) +(1+x )

==². () '=

(1-x )(1+x ) 1-x (1-x ) 1+x 1-x 1+x

答案:

2

1-x 2

3

) 直线与y =x 相切于点(x 0, x 0) ，所以切线方程为8. 分析：设过(1, 0的

3

y -x 03=3x 02(x -x 0)

3

， 225152

x -9相切可得a =-， 当x 0=0时，由y =0与y =ax +

644

32727152

x -x -9相切可得a =-1，所以选A . 当x 0=-时，由y =与y =ax +

2444

23

即y =3x 0x -2x 0，又(1,0)在切线上，则x 0=0或x 0=-

9. 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。

y '=3x 2-10=2⇒x =±2，又点P 在第二象限内，∴x =-2点P 的坐标为（-2，15）

10. 解析：由题意可知f (x ) =2ax +所以2ax +

2

'

2

1

，又因为存在垂直于y 轴的切线， x

11

=0⇒a =-3(x >0) ⇒a ∈(-∞,0) 。 x 2x

课后作业 答案

1. 分析:本题主要考查复合函数的导数. 解题的关键是搞清函数的复合过程, 选好中间变量.

-111111

=解:y ′=(1+ln x ) 2(1+ln x ) '=.

22+ln x x 2x +ln x

1

答案:C

2. 分析:本题主要考查导数的几何意义的应用. 切线的条数是由切点的个数确定的.

解:f ′(x )=3x 2, 由f ′(x )=3x 2=1, 得x =±

3

. 所以符合条件的切线有2条. 3

答案:B

3. 分析:本题主要考查导数的几何意义的应用, 切线的倾斜角的正切即为函数在该点的 导数.

解:∵f ′(4)=－sin4, π

3π

, ∴sin40, 2

即函数在点(4,f (4))处的斜率为正值. ∴切线的倾斜角为锐角. 答案:C

4. 分析:本题主要考查导数的应用. 根据与x 轴平行的直线的斜率为零, 构造方程f ′(x )=0解得

x 值, 进一步求出交点的坐标即可.

解:y ′=3x 2－3, 令3x 2－3=0,得x =±1.

⎧x =1, ⎧x =-1,

代入曲线方程得⎨或⎨

y =-2y =2. ⎩⎩

答案:B

5. 分析:本题主要考查导数概念的灵活应用及两条直线的夹角公式.

解:设切线的斜率为k , 由两条直线的夹角公式, 得|从而k =－2或k =

k -3

|=1. 1+3k

1. 2

1. 2

因为y ′=2x , 得2x =－2, 或2x =所以x =－1或x =答案:D

111, 从而A (－1,1) 或(, ). 4416

6. 解:∵y ′=3x 2－1, 即tan α=3x 2－1, ∴tan α∈［－1,+∞). ∴α∈［0,

答案:α∈［0,

π

2

) ∪［

3π

, π). 4

π

2

) ∪［

3π

, π) 4

7. 分析:利用导数的几何意义, 先求切点, 再求切线的方程.

解:∵y ′=1－e x , 又切线与x 轴平行, ∴切线的斜率k =0. ∴令y ′=1－e x =0,得x =0. ∴切点坐标为(0,－1). ∴切线方程为y =－1.

8. 分析:本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义. 将点

P 的位置转化到与曲线

y =x 3－x 相切且与OA 平行的位置, 此时点P 到|OA |的距离最大. 也可设点, 构造目标函数求最值.

解法一:∵k OA =3,∴过弧OA 上点P 的直线的斜率k ′=k OA =3. ∴k ′=y ′=3x 2－1=3.∴3x 2=4.

22或x =－(舍去). 33

22223

∴x =, y =, 即P (, ).

3399

3

解法二:设P (a , a －a ), ∵O (0,0),A (2,6), ∴直线OA 的方程为3x －y =0.

∴x =

|3a -a 3+a |3

=|a -4a |. 点P 到它的距离d =

101

(4a －a 3). 10

1

把d 2视作一个整体, ∵(d 2) ′=(4－3a 2),

10

∵0a 3. ∴d 2=

223

或a =－. 3323

又∵0

3

233223223

此时y =() －=. ∴P (, ).

33399

拓展训练答案：．

令4－3a 2=0,得a =

1. 【解题思路】在点时：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程；过点时，先把切点设出来，然后解方程.

【解析】（1） P (2,4)在曲线y =

134

x +上，且y '=x 2 33

∴在点P (2,4)处的切线的斜率k=y '|x =2=4;

∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2) , 即4x -y -4=0.

134

A (x , x 0+) 0134P (2,4)33， （1）设曲线y =x +与过点的切线相切于点

33

则切线的斜率

k =y '|x =x 0=x 02

，

2341422

y =x 0 x -x 0+y -(x 03+) =x 0(x -x 0)

33 33∴切线方程为，即

∵点P (2,4)在切线上，

242

4=2x 0-x 03+32

x -3x +4=0， 3300∴，即

322

x +x -4x +4=0， 000∴

2(x +1)(x -2) =0，解得x 0=-1或x 0=2 0∴0

故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0. （3）设切点为

(x 0, y 0)

2

x =±2. k =x 0=4, 0则切线的斜率为

-∴切点为(2，4)， -2，

⎛

⎝4⎫⎪ 3⎭

∴切线方程为y -4=4(x +2)和y +

4

=4(x +2) 3

即4x -y -4=0和12x -3y +20=0

2. 分析:本题考查导数的几何意义. 可设中间参数建立b 、c 的等量关系，化简即得.

解:由y =x 3＋bx ＋c , 得y ′=3x 2＋b .

∵x 轴是曲线y =x 3＋bx ＋c 的切线，可设切点为(x 0,0), 则0=y ′|x =x =3x 02＋b .

2

⎧⎪3x 0+b =0, 由⎨3消去x 0, ⎪⎩x 0+bx 0+c =0,

可得(

b 3c

) ＋() 2=0. 32

3. 分析:本题主要考查导数几何意义的应用. 要求具有某种性质的切线, 只需求出对应的x 0

即可, 一般要求出x 0所需满足的方程或方程组, 解之即可.

解:设直线L 与C 1相切于点(x 1, x 12), ∵y =x 2, ∴y ′=2x .

∴y ′|x =x 1=2x 1.

∴L ：y －x 12=2x 1(x －x 1), 即y =2x 1x －x 12. 设直线L 与C 2相切于点(x 2, －(x 2－2) 2), ∵y =－(x －2) 2, ∴y ′=－2(x －2). ∴y ′|x =x 2=－2(x 2－2).

∴L ：y +(x 2－2) 2=－2(x 2－2)(x －x 2), 即y =－2(x 2－2) x +x 22－4. 比较L 的两个方程, 应有⎨

⎧⎪2x 1=-2(x 2-2),

22

⎪⎩-x 1=x 2-4.

将x 1=2－x 2代入第二个方程, 得－(2－x 2) 2=x 22－4,

解得x 2=0或x 2=2,于是x 1=2或x 1=0. 当x 1=2,x 2=0时, 直线L 经过两点(2,4)、(0,－4), ∴直线L 的方程为y =4x －4;

当x 1=0,x 2=2时, 直线L 经过(0,0)、(2,0)两点, ∴直线L 的方程为y =0.

4. 分析:本题考查抽象函数在某点处的导数. 根据f (x ) 在某点连续的定义及导数的定义求解.

解:∵f (x ) 在x =1处连续, ∴lim f (x )=f (1).

x →1

又lim f (x )=lim (x －1) ²

x →1

x →1

f (x ) f (x )

=lim (x －1) ²lim =0²2=0.

x →1x -1x -1x →1

∴f (1)=0.

根据导数的定义，得 f ′(1)=lim

∆x →0

f (1+∆x ) -f (1) f (1+∆x )

=lim =2. ∆x →0∆x ∆x