2016年中考数学冲刺满分常考易错点概率

6. 2 概率

易错清单

1. 在随机试验中, “一次取两个球”与“分两次各取一个球”, 其结果一样吗?

【例1】 (2014·广西模拟) 袋中装有3个红球和1个白球, 它们除颜色外都相同. 随机从中摸出两球, 两球都是红球的概率为 .

【解析】 将“随机从中摸出两球”错误理解为“先随机从中摸出一个球, 然后放回, 再随机从中摸出一个球”, 这样所有可能出现的结果就有16种(不妨把3个红球分别记为红1, 红2, 红3):红1红1, 红1红2, 红1红3, 红1白, 红2红1, 红2红2, 红2红3, 红2白, 红3红1, 红3红2, 红3红3, 红3白, 白红1, 白红2, 白红3, 白白, 这些结果出现的可能性是相等的, 两球都是红球的概率为. 事实上, “一次取两个球”相当于“连续两次不放回”, 所以所有可能出现的结果有12种:红1红2, 红1红3, 红1白, 红2红1, 红2红3, 红2白, 红3红1, 红3红2, 红3白, 白红1, 白红2, 白红3, 而不是16种.

【答案】

【误区纠错】 将“一次取两个球”转化为“连续两次不放回”, 然后用树状图或列表格法表示所有可能出现的结果, 也是解决概率问题的一种方法.

2. 如何正确理解“频率”与“概率”之间关系呢?

【例2】 (2014·河北) 某小组做“用频率估计概率”的实验时, 统计了某一结果出现的频率, 绘制了如图的折线统计图, 则符合这一结果的实验最有可能的是( ) .

A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中, 小明随机出的是“剪刀”

B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后, 从中任抽一张牌的花色是红桃

C. 暗箱中有1个红球和2个黄球, 它们只有颜色上的区别, 从中任取一球是黄球

D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子, 向上的面点数是4

【解析】 根据统计图可知, 试验结果在0. 17附近波动, 即其概率P ≈0. 17.

A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中, 小明随机出的是“剪刀“的概率为, 故此选项错

误;

B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,

从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是故此选项错误;

C. 暗箱中有1个红球和2个黄球, 它们只有颜色上的区别, 从中任取一球是黄球的概率为, 故此选项错误;

D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子, 向上的面点数是4的概率为, 故此选项正确.

【答案】 D

【误区纠错】 频率与概率是两个不同的概念, 概率是伴随着随机事件客观存在的, 只要有一个随机事件存在, 那么这个随机事件的概率就一定存在; 频率是通过试验得到的, 随着试验次数变化而变化, 但当试验的重复次数充分大时, 频率在概率附近摆动, 为了求出一个随机事件的概率, 我们可以通过多次试验, 用所得的频率来估计事件的概率. 此题考查了利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即概率. 用到的知识点为频率=所求情况数与总情况数之比. 同时此题在解答中要用到概率公式.

3. 公平性的判断

【例3】 (2014·贵州遵义) 小明、小军两同学做游戏, 游戏规则是:一个不透明的文具袋中, 装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔, 两人先后从袋中取出一支笔(不放回), 若两人所取笔的颜色相同, 则小明胜, 否则, 小军胜.

(1)请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果;

(2)请计算小明获胜的概率, 并指出本游戏规则是否公平, 若不公平, 你认为对谁有利.

【解析】 (1)列表将所有等可能的结果一一列举出来即可;

(2)根据列表由概率公式求得小明获胜的概率即可判断是否公平.

【答案】 (1)列表, 得:

∴ 不公平, 对小军有利.

【误区纠错】 生活中有许多类似以上的现象, 有时我们仅凭借个人有限的经验来判断是非, 这往往得出错误的想法, 运用概率的有关知识可以分析错误, 还原一个真实的结论.

名师点拨

1. 掌握用列表或树状图求概率的求法.

2. 概率在实际问题中的应用.

提分策略

1. 判断具体事件是确定事件(必然事件, 不可能事件) 还是随机事件.

【例1】 有两个事件, 事件A : 367人中至少有2人生日相同; 事件B :抛掷一枚均匀的骰子, 朝上的面点数为偶数. 下列说法正确的是( ) .

A. 事件A , B 都是随机事件

B. 事件A , B 都是必然事件

C. 事件A 是随机事件, 事件B 是必然事件

D. 事件A 是必然事件, 事件B 是随机事件

【解析】 事件A :一年最多有366天, 所以367人中必有2人的生日相同, 是必然事件; 事件B :抛掷一枚均匀的骰子, 朝上的面的点数为1,2,3,4,5,6共6种情况, 点数为偶数是随机事件.

【答案】 D

2. 用列表法或画树状图求概率.

当一次试验涉及多个因素(对象) 时, 常用列表法或画树状图法求出事件发生所有等可能性的结果, 然后找出要求事件发生的结果数, 根据概率的意义求其概率.

【例2】 小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏, 两同学同时出“剪刀”的概率是 .

【解析】 首先根据题意画出树状图, 然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同时出“剪刀”的情况, 再利用概率公式即可求得答案.

画树状图, 得

:

∵ 共有9种等可能的结果, 两同学同时出“剪刀”的有1种情况,

∴ 两同学同时出“剪刀”的概率是 . 【答案】

【例3】 如图, 用红、蓝两种颜色随机地对A , B , C 三个区域分别进行涂色, 每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色, 请用列举法(画树状图或列表) 求A , C 两个区域所涂颜色不相同的概率.

【解析】 画树状图得出所有等可能的情况数, 找出A 与C 中颜色不同的情况数, 即可求出所求的概率.

【答案】 画树状图, 如图所示

:

所有等可能的情况有8种, 其中A , C 两个区域所涂颜色不相同的有4种, 则

3. 概率与代数、几何、函数等学科知识的综合.

概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率, 只不过是需要应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数. 一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形, 再求出满足所涉及知识的情形, 进一步求概率.

【例4】 在学习“二元一次方程组的解”时, 数学张老师设计了一个数学活动. 有A , B 两组卡片, 每组各3张, A 组卡片上分别写有0,2,3; B 组卡片上分别写有-5, -1,1. 每张卡片除正面写有不同数字外, 其余均相同. 甲从A 组中随机抽取一张记为x , 乙从B 组中随机抽取一张记为y.

(1)若甲抽出的数字是2, 乙抽出的数是-1, 它们恰好是ax-y=5的解, 求a 的值;

(2)求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax-y=5的解的概率. (请用树形图或列表法求解)

【解析】 (1)将x=2, y=-1代入方程计算即可求出a 的值;

(2)列表得出所有等可能的情况数, 找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax-y=5的解的情况数, 即可求出所求的概率.

【答案】 (1)将x=2, y=-1代入方程得2a+1=5, 即a=2.

(2)列表得:

所有等可能的情况有9种, 其中(x , y ) 恰好为方程2x-y=5的解的情况有(0,-5),(2,-1),(3,1),共3种情况,

则

专项训练

一、 选择题

1. (2014·广东深圳模拟) 从一个袋中摸出一个球(袋中每一个球被摸到的可能性相等), 恰为红球的概率为, 若袋中原有红球4个, 则袋中球的总数大约是( ) .

A. 12

C. 32 B. 16 D. 24

2. (2014·山东日照模拟) 小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6) . 记甲立方体朝上一面上的数字为x 、乙立方体朝上一面朝上的数字为y , 这样就确定点P 的一个坐标(x , y ), 那么点P 落在双曲线y=上的概率为( ) .

A. B.

C. D.

3. (2013·山东德州一模) 现掷A , B 两枚均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6), 设两立方体朝上的数字分别为x , y , 并以此确定点P (x , y ), 那么各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y=-x+4x 上的概率为( ) .

A.

C. B. D. 2

4. (2013·山西模拟) 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中, 统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示, 则符合这一结果的实验可能是( ) .

(第4题)

A. 掷一枚正六面体的骰子, 出现1点的概率

B. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球, 取 到红球的概率

C. 抛一枚硬币, 出现正面的概率

D. 任意写一个整数, 它能被2整除的概率

二、 填空题

5. (2014·江苏无锡港下初中模拟) 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球, 它们除颜色不同外, 其余均相同. 若从中随机摸出一个球, 摸到黄球的概率是, 则n= . 6. (2014·山东聊城模拟) 从-2, -1,0,1,2这5个数中任取一个数, 作为关于x 的一元二次方程x -x+k=0的k 值, 则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 .

7. (2014·河南鹿邑县一模) 将三个均匀的六面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体同时掷出, 出现的数字分别为a , b , c , 则a , b , c 正好是直角三角形三边长的概率是 .

8. (2013·山东曲阜实验中学模拟) 甲、乙两人玩抽扑克牌游戏, 游戏规则是:从牌面数字分别为5,6,7的三张扑克牌中. 随机抽取一张, 放回后, 再随机抽取一张, 若所抽的两张牌面数字的积为奇数, 则甲获胜; 若所抽取的两张牌面数字的积为偶数, 则乙获胜, 这个游戏 . (填“公平”或“不公平”)

9. (2013·广西南丹中学一模) 某班共有50名同学, 其中有2名同学习惯用左手写字, 其余同2

学都习惯用右手写字, 老师随机请1名同学到黑板板演, 习惯用左手写字的同学被选中的概率是 .

三、 解答题

10. (2014·江苏镇江外国语学校模拟) 在物理实验中, 当电流通过电子元件

件的状态有两种可能:通过或断开, 并且这两种状态的可能性相等.

(1)如图(1),当两个电子元件a , b 并联时, 请用树状图或列表法表示图中P , Q 之间电流能否通过的所有可能情况, 并求出P , Q 之间电流通过的概率;

(2)如图(2),当有三个电子元件并联时, 请直接写出P , Q 之间电流通过的概率为 .

(1) 时, 每个元

(2)

(第10题)

11. (2014·四川中江县一模) 在一个不透明的布袋里装有4个标有1,2,3,4的小球, 它们的形状、大小完全相同. 小明从布袋里随机取出一个小球, 记下数字为x , 小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球, 记下数字为y , 这样确定了点Q 的坐标(x , y ) .

(1)画树状图或列表, 写出点Q 所有可能的坐标;

(2)求点Q (x , y ) 在函数y=-x+5的图象上的概率;

(3)小明和小红约定做一个游戏, 其规则:若x , y 满足xy>6则小明胜, 若x , y 满足xy

12. (2013·浙江湖州模拟) 取三张形状大小一样, 质地完全的相同卡片, 在三张卡片上分别写上“李明”“王强”“孙伟”这三个同学的名字, 然后将三张卡片放入一个不透明的盒子里.

(1)林老师从盒子中任取一张, 求取到写有李明名字的卡片概率是多少?

(2)林老师从盒子中取出一张卡片, 记下名字后放回, 再从盒子中取出第二张卡片, 记下名字. 用列表或画树形图列出林老师取到的卡片的所有可能情况, 并求出两次都取到写有李明名字的卡片的概率.

13. (2013·安徽马鞍山六中模拟) 儿童节期间, 某公园游戏场举行一场活动, 有一种游戏的规则是:在一个装有8个红球和若干个白球(每个球除颜色外, 其他都相同) 的袋中, 随机摸一个球, 摸到一个红球就得到一个玩具. 已知参加这种游戏的儿童有40 000人次, 公园游戏场发放玩具8 000个.

(1)求参加此次活动得到玩具的概率?

(2)请你估计袋中白球的数量接近多少?

14. (2013·浙江温州模拟) 在一个口袋中有5个小球, 这些球的形状、大小、质地等完全相同, 现把它们写上标号:其中两个的标号都为1, 其余三个的标号分别为2,3,4.

(1)在看不到球的情况下, 从袋中随机地取出一个球, 求取到标号为1的球的概率;

(2)随机地取出一个小球后不放回, 再随机地取出一个小球, 求第二次取出小球的标号大于第一次取出小球标号的概率.

参考答案与解析

1. B 2. C 3. B 4. B

5. 8

10. (1)画树状得

:

(第10题)

故P , Q 之间电流通过的概率. (2)

11. (1)画树状图, 得

:

(第11题)

点Q 所有可能的坐标有(1,2),(1,3), (1,4),(2,1),(2,3)(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种.

(2)∵ 共有12种等可能的结果, 其中在函数y=-x+5的图象上的有4种, 即(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

∴ 点Q (x , y ) 在函数y=-x+5的图象上的概率为=.

(3)∵ x , y 满足xy>6有(2,4),(3,4),(4,2),(4,3)共4种情况, x , y 满足xy

(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)共6种情况

,

∴ 游戏不公平.

公平的游戏规则为:若x , y 满足xy ≥6, 则小明胜; 若x , y 满足xy

(2)画树状图, 得

:

(第12题)

故两次都取到李明的概率为.

14. (1)由题意, 得取到标号为1的球的概率为.