控制工程基础-3频率特性
控制工程基础
第三章 频率特性
控制工程基础
课程负责人：魏燕定 教授 E-MAIL: [email protected] [1**********] (短号：649604) 现代制造楼108 （教七北侧） 87953851
2007.11
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
第三章 频率特性
本章主要内容: 3.I 频率特性的基本概念 3.2 频率特性图 3.3 系统开环频率特性 3.4 系统闭环频率特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
§ 3.1 频率特性的基本概念
3.1.1 频率特性的定义 3.1.2 频率特性的求取 3.1.3 频率特性的物理意义
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
3.1.1 频率特性的定义 在正弦信号作用下，系统输入量的频率由0变 化到 ∞ 时，稳态输出量与输入量的振幅和相位差 的变化规律。
x r ( t ) = x rm sin(ωt )
x c ( t ) = x cm sin(ωt + ϕ(ω))
稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
F(ω)=稳态输出量与输入量的变化
F(ω) = A(ω)e jϕ( ω) = U(ω) + jV (ω)
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
A(ω) =| F(ω) |= U 2 (ω) + V 2 (ω) −1 V (ω) ϕ(ω) = ∠F(ω) = tg U (ω) U(ω) = A(ω) cos ϕ(ω)
V(ω) = A(ω) sin ϕ(ω)
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
Why 频率特性? 联系系统的参数和结构
X r (t ) = A sin wt X r (s)= As /( s + w )
2 2
增加2个极点 s = jw, s = − jw
X c (s)= G(s) ⋅ X r (s)
通过实验直接求取数学模型 扫频试验，无需理论建模。 适用于非线性系统的分析 无需对非线性系统拉氏变换（非常微分方 程，无法进行拉氏变换）。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
3.1.2 频率特性的求取 1 已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态 解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比； 2 根椐传递函数来求取； 3 通过实验测得。 一般用这两种方法
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
3.1.2.1 传递函数求取法
x r ( t ) = A sin ωt p(s) p(s) G (s) = = q (s) (s + s1 )(s + s 2 )...(s + s n ) Aω p(s) Aω X c (s) = G (s) ⋅ 2 = ⋅ 2 2 部分分式展开为 s +ω q(s) s + ω2 a a b1 b2 bn = + + + + ... + s + jω s − jω s + s1 s + s 2 s + sn
设
x c ( t ) = ae − jωt + ae jωt + b1e − s1t + b 2 e − s 2 t + ... + b1e − s n t
( t ≥ 0)
对于稳定的系统, -s1,s2,…,sn 其有负实部 x c ( t ) = ae − jωt + ae jωt Aω AG(− jω) a = G (s) ⋅ 2 ⋅ (s + jω) |s = − jω = − 2 s +ω 2j
a = G (s) ⋅ Aω AG( jω) ⋅ (s − jω) |s = jω = s 2 + ω2 2j
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
AG( jω) a= 2j
G ( jω) =| G ( jω) | e j∠
G ( jω)
a=−
AG(− jω) 2j
G (− jω) =| G (− jω) | e − j∠G ( jω) =| G ( jω) | e − j∠G ( jω)
x c ( t ) = ae − jωt + ae jωt e j( ωt + ∠G ( jω)) − e − j( ωt + ∠G ( jω)) = A | G ( jω) | 2j = A | G ( jω) | sin(ωt + ∠G ( jω))
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
x r ( t ) = A sin ωt
x c ( t ) = A | G ( jω) | sin(ωt + ∠G ( jω))
频率特性与传递函数的关系: F(ω)= G（jω)=G(s)|s=jω
b 0 ( jω) m + b1 ( jω) m −1 + ... + b m −1 ( jω) + b m G ( jω) = a 0 ( jω) n + a 1 ( jω) n −1 + ... + a n −1 ( jω) + a n
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
∠G ( jω) = ∠ X c ( jω) G ( jω) = X r ( jω) | G ( jω) |=|
X c ( jω) X r ( jω)
X c ( jω) | X r ( jω)
G ( jω) = A(ω)e jϕ( ω) = U(ω) + jV (ω)
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
A(ω) =| G ( jω) |= U 2 (ω) + V 2 (ω) −1 V (ω) ϕ(ω) = ∠G ( jω) = tg U (ω) U(ω) = A(ω) cos ϕ(ω)
V(ω) = A(ω) sin ϕ(ω)
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
3.1.3 频率特性的物理意义 频率特性与传递函数的关系: G（jω)=G(s)|s=jω 频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦 输入的响应特性。
ϕ(ω)大于零时称为 相角超前，小于零 时称为相角滞后。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
U 2 (s) 1 G (s) = = U1 (s) 1 + Ts
第三章 频率特性
T = RC
U 2 ( jω) 1 G ( jω) = = = A(ω)e jϕ( ω) U1 ( jω) 1 + jωT
A(ω) =
1 1 + (Tω)
2
ϕ(ω) = tg −1 (−ωT )
幅值A(ω)随着频率升高而衰减 对于低频信号 (ωT > 1)
A(ω) ≈ 1
ϕ(ω) ≈ 0o ϕ(ω) ≈ −90o
A(ω) ≈
1 ≈0 ωT
!频率特性反映了系统(电路)的内在性质,与 外界因素无关。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
频率特性与传递函数的关系: G（jω)=G(s)|s=jω
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传 递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反 映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递 函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此， 系统动态过程的规律性也全寓于其中。 应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制 系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的 傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据 控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出 它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
NO4
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
§ 3.2 频率特性图 3.2.1 频率特性图的定义 3.2.2 典型环节的频率特性图 Nyquist/
Bode 放大环节 纯微分环节 一阶微分环节 二阶微分环节 积分环节 惯性环节 振荡环节 延滞环节
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
3.2.1 频率特性图的定义 幅相频率特性 极坐标图 (Nyquist) 对数频率特性 (Bode)
频率对数分度 幅值/相角线性分度
对数幅相频率特性 (Nichols)
以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L(ω) —ϕ(ω)图
虚频图/实频图
频率线性分度 幅值/相角线性分度
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
3.2.1.1 幅相频率特性图-Nyquist图 [极坐标图]在极坐标复平面上画出ω值由零变化到 无穷大时的G(j ω)矢量，把矢端连成曲线。 [实虚频图]不同频率ω时和实频特性和虚频特性。
奈奎斯特图 Nyquist
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
3.2.1.1 对数频率特性图-Bode图 波德图 (Bode) G ( jω) = A(ω)e jϕ( ω)
ln G ( jω) = ln A(ω) + jϕ(ω)
幅值相乘变为相加，简化作图。
对数幅频+对数相频
L(ω) = 20 lg A(ω) = 20 lg | G ( jω) | (dB)
频率比
dec
oct
拓宽图形所能表示的频率范围
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
About Bode图 ω =0不可能在横坐标上表示出来； 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范 围确定； 只标注ω的自然对数值。 通常用L(ω)简记对数幅频特性，也称L(ω)为增 益 用ϕ(ω)简记对数相频特性。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
放大环节幅相频率特性
G ( jω) = K
| G ( jω) |= U 2 (ω) + V 2 (ω) = K
V(ω) −1 0 ∠G ( jω) = tg = tg = 0o U(ω) K
−1
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
放大环节对数频率特性
改变K
G ( jω) = K
幅频曲线升高或降 低相频曲线不变
L(ω) |= 20 lg K
ϕ(ω) = 0o
K>1时，分贝数为 正； K
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
积分环节幅相频率特性
1 1 = −j jω ω 1 | G ( jω) |= ω 1 − ∠G ( jω) = tg −1 ω = −90o 0 G ( jω) =
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
积分环节对数频率特性
1 1 − j2 G ( jω) = = e jω ω
π
L(ω) = −20 lg ω
ϕ(ω) = −90o
L(ω) |ω=1 = −20 lg ω |ω=1 = 0
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
纯微分环节幅相频率特性
G ( jω) = jω
| G ( jω) |= ω
∠G ( jω) = tg −1 ω = 90o 0
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
纯微分环节对数频率特性
G ( jω) = jω = ωe
j π 2
L(ω) = 20 lg ω
ϕ(ω) = 90o
L(ω) |
ω=1 = 20 lg ω |ω=1 = 0
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
惯性环节幅相频率特性
G (s) = 1 Ts + 1
1 G ( jω) = jTω + 1 1 1 (U − )2 + V 2 = ( )2 2 2
| G ( jω) |=
1 T 2 ω2 + 1
∠G ( jω) = − tg −1 (Tω)
1 U(ω) = 2 2 T ω +1
Tω V(ω) = − 2 2 T ω +1
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
惯性环节对数频率特性
G ( jω) = 1 jTω + 1
L(ω) = −20 lg T ω + 1
2 2
ϕ(ω) = − tg −1 (Tω)
(ω
1 ) T L(ω) = −20 lg T 2 ω2 + 1 ≈ 0 1 ) T L(ω) = −20 lg ωT
低频段近似为0dB的水 平线，称为低频渐近 线。
(0
(ω >>
高频段近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。
( 1
1 (ω = ) T
L(ω) = −3
转角频率
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
ω = 0时 1 ω= 时 T ω→∞
第三章 频率特性
ϕ(ω) = − tg (Tω)
−1
ϕ(ω) = 0o ϕ(ω) = − tg −11 = −45o ϕ(ω) = −90o
! 低通滤 波特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
渐近线误差
1 ΔL(ω) = −20 lg 1 + T 2 ω 2 + 20 lg Tω ω T
转角频率处： 低于渐近线3dB 低于或高于转角频 率一倍频程处： 低于渐近线1dB
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
一阶微分环节幅相频率特性
G (s) = τs + 1 G ( jω) = jτω + 1 | G ( jω) |= τ 2 ω2 + 1
∠G ( jω) = tg −1 (τω)
U(ω) = 1 V(ω) = τω
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
一阶微分环节对数频率特性
G ( jω) = jτω + 1 L(ω) = 20 lg τ 2 ω2 + 1
ϕ(ω) = tg −1 (τω)
！高频放大 ！抑制噪声能力的下降
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础 惯性环节 一阶微分
G ( jω) = 1 jTω + 1
第三章 频率特性
L(ω) = −20 lg T 2 ω2 + 1
ϕ(ω) = − tg −1 (Tω)
G ( jω) = jτω + 1 L(ω) = 20 lg τ 2ω2 + 1
ϕ(ω) = tg −1 (τω)
频率特性互为倒数时： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
振荡环节幅相频率特性
G ( jω) = 1 T 2 ( jω) 2 + 2Tζ ( jω) + 1
G ( jω) = 1∠0o
(ω = 0)
1 1 (ω = = ωn ) G ( jω) = − j T 2ζ (ω = ∞ )
G ( jω) = 1∠ − 180o
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
当ξ较小时，在ω = ωn附近，A(ω)出现峰值，即发生 谐振。谐振峰值 Mr对应的频率为谐振频率ωr。
ωr = ωn 1 − 2ζ 2
M r = A (ωr ) = 1 2ζ 1 − ζ 2
!振荡环节出现 谐振的条件为 ζ ≤0.707
ζ→0 ωr → ωn M r → ∞
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
ζ→0
第三章 频率特性
ω r = ω n 1 − 2ζ 2
ωr → ωn
浙江大学现代
制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
振荡环节对数频率特性
G ( jω) = 1 T 2 ( jω) 2 + 2Tζ ( jω) + 1
ϕ(ω) = − tg −1 2ζTω 1 − T 2 ω2
L(ω) = −20 lg (1 − T 2 ω2 ) 2 + (2ζTω) 2
不考虑ξ
1 (ω > ) T (ω = 1 = ωn ) T
低频渐近线为0dB的水平线
L(ω) ≈ 0
L(ω) = −20 lg(ωT) 2 = −40 lg ωT
(0
高频渐近线斜率为-40dB/dec
1 (
转折频率
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
2ζTω ϕ(ω) = − tg 1 − T 2 ω2
−1
第三章 频率特性
ω = 0时 1 ω= 时 T ω→∞
2ζ ϕ(ω) = − tg ( ) = −90o 0 o ϕ(ω) = −180
−1
ϕ(ω) = 0o
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
ω 2 2 ω ) ] + (2ξ ) 2 ωn ωn ω ω ω ΔL(ω) = −20 lg [1 − ( ) 2 ]2 + (2ξ ) 2 + 20 lg( ) 2 ωn ωn ωn ΔL(ω) = −20 lg [1 − (
渐近线误差
ω ωn
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
n个积分/微分环节串联
( jω)
n
20 lg | ( jω) n |= 20n lg ω ϕ(ω) = n ⋅ 90o
1 ( jω) n
1 20 lg | |= −20n lg ω n ( jω) ϕ(ω) = −n ⋅ 90o
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
二阶微分环节幅相频率特性
G ( jω) = τ 2 ( jω) 2 + 2τζ( jω) + 1
(ω = 0)
| G ( jω) |= (1 − τ 2 ( jω) 2 ) 2 + 4τ 2 ζ 2 ω2
∠G ( jω) = tg −1
G ( jω) = 1∠0o
1 (ω = ) τ (ω = ∞ ) G ( jω) = 2ζ
2τζω 1 − τ 2 ω2
G ( jω) = ∞∠180o
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
二阶微分环节对数频率特性
G ( jω) = τ 2 ( jω) 2 + 2τζ( jω) + 1 L(ω) = 20 lg (1 − τ 2 ω2 ) 2 + (2ζτω) 2 ϕ(ω) = tg −1 2ζτω 1 − τ 2 ω2
二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数 二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线 关于0dB 线对称 相频特性曲线关于零度线对称
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
延滞环节幅相频率特性
G ( jω) = e − jωT
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
延滞环节对数频率特性
G ( jω) = −e − jωT L(ω) = 20 lg | G ( jω) |= 0 ϕ(ω) = −ωT(rad) = −57.3o ωT
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
延滞环节与惯性环节
ω
近似
e − jωT ≈ 1 − jωT 1 ≈ 1 − jωT 1 + jωT ω >> 1 T
不同
e − jωT
1 1 + jωT
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
§ 3.3 系统开环频率特性 系统开环 Nyquist图 系统开环 Nyquist图及绘制 Nyquist图的一般形状
增加零极点 增加非零极点 0型系统 I型系统 II型系统 例1 例2 例3
系统开环 Bode图 系统开环 Bode图 系统开环
Bode图的绘制 系统开环 Nichols图
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
系统开环 Nyquist图
K m ∏ (τ n s + 1)∏ (τ 2 s 2 + 2ζ k τ k s + 1) ∏ k
m =1 χ μ η
G (s) =
s
υ
∏ (T s + 1)∏ (T s
i i =1 j=1
ρ
n =1
k =1
σ
2 2 j
+ 2ζ jTjs + 1)
G ( jω) =
K m ∏ ( jωτ n + 1)∏ (( jω) 2 τ 2 + 2ζ k τ k ( jω) + 1) ∏ k
m =1
χ
μ
η
( jω) υ ∏ ( jωTi + 1)∏ (( jω) 2 Tj2 + 2ζ jTj ( jω) + 1)
i =1 j=1
n =1 ρ
k =1 σ
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：
G (s) = G1 (s)G 2 (s)...G n (s) G ( jω) = A1 (ω)e jϕ1 ( ω) A 2 (ω)e jϕ2 ( ω) ..A n (ω)e jϕn ( ω) A(ω) = A1 (ω)A 2 (ω)...A n (ω) ϕ(ω) = ϕ1 (ω) + ϕ2 (ω) + ... + ϕn (ω)
幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。 相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。
求A(0)、 ϕ(0)；A(∞)、 ϕ(∞)； 绘制： 补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根据 A(ω)、 ϕ(ω) 的变化趋势，画出Nyquist图的大致形 状。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
已知系统的开环传递函数，试绘制系统 的开环Nyquist图。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
已知系统的开环传递函数，绘制系统开 环Nyquist图并求与实轴的交点。
Nyquist图与实轴相交时
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
已知系统的开环传递函数，绘制系统的开环Nyquist图。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
0型系统（v = 0）
G ( jω) = K (1 + jωτ1 )(1 + jωτ 2 )...(1 + jωτ m ) ( jω) υ (1 + jωT1 )(1 + jωT2 )...(1 + jωTn − υ )
n>m
ω=0
A ( 0) = K
只包含惯性环节的0型系统Nyquist图
ϕ(0) = 0o
ω=∞
A (∞ ) = 0
ϕ(∞) = −(n − m) × 90o
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
I型系统（v = 1）
G ( jω) = K (1 + jωτ1 )(1 + jωτ 2 )...(1 + jωτ m ) ( jω) υ (1 + jωT1 )(1 + jωT2 )...(1 + jωTn − υ )
n>m
只包含惯性环节的I型系统Nyquist图
ω=0 A ( 0) = ∞
ϕ(0) = −90o ω=∞
A (∞ ) = 0
ϕ(∞) = −(n − m) × 90o
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
II型系统（v = 2）
K (1 + jωτ1 )(1 + jωτ 2 )...(1 + jωτ m ) G ( jω) = ( jω) υ (1 + jωT1 )(1 + jωT2 )...(1 + jωTn − υ )
n>m
ω=0
A ( 0) = ∞ A (∞ ) = 0
ϕ(0) = −180o ϕ(∞) = −(n − m) × 90o
ω=∞
只包含惯性环节的II型系统Nyquist图
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
υ=0 υ =1 υ=2
A ( 0) = K A ( 0) = ∞ A ( 0) = ∞ A ( 0) = ∞
ϕ(0) = 0o ϕ(0) = −90o ϕ(0) = −180o = 2 × (−
90o ) ϕ(0) = r × (−90o )
υ=r
开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自 幅角为－v90°的无穷远处。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
增加零极点
! ϕ(0) -=90° ϕ( ∝)-=90°
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
增加零极点
! ϕ(0) -=90° ϕ( ∝) -=90°
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
增加非零极点
! ϕ( ∝) -=90°
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
增加非零极点
! ϕ( ∝) -=90°
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
增加非零极点
! ϕ( ∝) -=90°
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
n > m时，Nyquist曲线终点幅值为 0 ， 而相角为－(n－m)×90°。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
系统开环 Bode图 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式；
G (s) = G1 (s)G 2 (s)...G n (s) G ( jω) = A1 (ω)e jϕ1 ( ω) A 2 (ω)e jϕ2 ( ω) ..A n (ω)e jϕn ( ω) A(ω) = A1 (ω)A 2 (ω)...A n (ω) L(ω) = 20 lg A(ω) = 20 lg A1 (ω) + 20 lg A 2 (ω) + ... + 20 lg A n (ω) ϕ(ω) = ϕ1 (ω) + ϕ2 (ω) + ... + ϕn (ω)
幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特 性之代数和。 相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之 代数和。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环Bode图。
系统开环包括了五个典型环节
ω2=2 rad/s
ω4=0.5 rad/s
ω5=10 rad/s
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
Bode图特点 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v斜率为 －20v dB/dec； 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为 L(ω)=20lgK-20vlg ω 当ω＝1 rad/s时，L(ω)=20lgK； 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数 幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的 转折频率； 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率 相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的 环节决定。
对惯性环节，- 20dB/dec ； 振荡环节， - 40dB/dec； 一阶微分环节，+20dB/dec ； 二阶微分环节， +40dB/dec。 浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
第三章 频率特性
单回路开环系统Bode图的绘制
确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上； 计算20lgK，在ω＝1 rad/s处找到纵坐标等于20lgK 的 点，过该点作斜率等于 -20v dB/dec的直线，向左延长此 线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。 向右延长最低频段渐近线，每遇到一
个转折频率改变一 次渐近线斜率； 对惯性环节，- 20dB/dec 振荡环节， - 40dB/dec 一阶微分环节，+20dB/dec 二阶微分环节，+40dB/dec 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性； 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
对数幅相频率特性（ Nichols)
可以通过开环奈魁斯特图或开 环BODE图通过尼柯尔斯图来 求取闭环频率特性的方法 略 一般了解
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
§ 3.4 系统闭环频率特性 闭环频率特性的求取 解析法--时域求解； 化简法--化成一个传递函数表达； 几何法--由开环系统频率特性得到。
单位反馈 非单位反馈 等M-N圆 Nichols图
本节仅作一般了 解 P71-84
系统频率特性参数
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
单位反馈系统等M-N圆法
G ( jω) = U(ω) + jV (ω)
Φ ( jω) =
G ( jω) = M (ω)e jα ( ω) 1 + G ( jω)
U2 + V2 ( U + 1) 2 + V 2
等M圆（等幅值轨迹）
M2 2 M (U + 2 ) + V 2 = ( 2 ) 2 M −1 M −1
U + jV |= M =| U + jV + 1
等N圆（等相位轨迹）
1 2 1 2 N2 +1 ( U + ) + (V − ) = 2 2N 4N 2
Im(Φ ( jω)) V N = tgα = = 2 Re(Φ ( jω)) U + V + V 2
例1
例2
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
等M园
M2 2 M (U + 2 ) + V 2 = ( 2 ) 2 M −1 M −1
对称于实轴 对称于直线U=-0.5
M>1时， 圆心位于直线U=-0.5左侧； M增大,半径变小,圆心靠近(1,0j)。
M
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
等N园
1 2 1 2 N2 +1 ( U + ) + (V − ) = 2 2N 4N 2
给定的α值，等N轨迹是一段圆 弧。 N圆的周期性
α = α1 α = α 1 ± 180 o n
(n = 1,2, L)
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
M-N园求取闭环特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
直角坐标系—开环L(ω) 和ϕ (ω)； 曲线坐标系—闭环等M曲线 和等N曲线。 等M曲线和等N曲线每360° 重复一次。 对称于ϕ =-180°。 等M曲线汇集(0dB,-180 °)。 等N曲线自(0dB,-180 °)向 外放射。
Nichols图 两组坐标系：
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
闭环频率特性与增益的关系
浙江大学现代制造工程研
究所
控制工程基础
第三章 频率特性
Nichols图求取闭环特性
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
G( >> ⎯|⎯jω)|⎯→ ⎯1 低频段
G(
G ( jω) Φ ( jω) = ≈1 1 + G ( jω)
M = 0(dB) α = 0o
Φ ( jω) =
G ( jω) ≈ G ( jω) 1 + G ( jω)
α≈ϕ
M ≈| G ( jω) | (dB)
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
非单位反馈系统的转换
1.画出开环传递函数G（jω)H（ jω）的Nichols图； 2.由开环Nichols图得到对应的单位反馈的闭环系统 的Bode图； G ( jω)H( jω) 3.在Bode图上画出H(jω)的曲线；
1 + G ( jω)H( jω)
4.在Bode图上，由2。求出的幅值和相角分别减支H(jω) 的幅值和相角。
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
常用频域性能指标 M0 =M(ω)| ω=0=M(0) 零频幅值M0 谐振频率:ωr 相对谐振峰值：M = M Max
r
M (0)
截止频率ωb：M(ω b ) = M(0)
2
带宽： 0≤ω≤ω b对应的频率范围 ！复现能力： 精度/频率/带宽
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
零频值 M(0)
G ( jω) = K∏ ( jωτ n + 1)∏ (( jω) 2 τ 2 + 2ζ k τ k ( jω) + 1) k
n =1 k =1 μ η ρ σ
( jω) υ ∏ ( jωTi + 1)∏ (( jω) 2 Tj2 + 2ζ j Tj ( jω) + 1)
i =1 j=1
Φ ( jω) =
G ( jω) = M (ω)e jα ( ω) 1 + G ( jω)
K
ν = 0 ⇒ M (0) =| Φ ( j0) |=
ν ≥ 1 ⇒ M (0) =| Φ ( j0) |= 1
与稳态误差相关！
浙江大学现代制造工程研究所
控制工程基础
第三章 频率特性
This is End of Chapter 3
浙江大学现代制造工程研究所