ch3 二维随机变量及其分布
10 01 二维随机变量及其分布
知识网络图
⎧联合分布函数F (x , y )) X , Y 相互独立
分布函数→⎨−−−−−→F (x , y ) =F X (x ) F Y (y )
边缘分布函数F (x ), F (y ) X Y ⎩⎧⎧联合分布律离散型→独立性⎨⎪二⎧⎧均匀分布边缘分布律⎪⎩概率分布→⎨常见分布⎨⎨维联合概率密度⎧⎩正态分布⎪连续型⎨→独立性⎩⎪随⎩边缘概率密度⎩
机⎧离散型
条件分布⎨
变⎩连续型
⎧离散型量
⎪⎧Z =X +Y ⎪
随机变量的函数的概率分布⎨⎪
连续型⎨Z =X /Y ⎪
⎪U =max(X , , X ), V =min(X , , X ) ⎪1n 1n ⎩⎩
主要内容
一、 二维随机变量
定义1 设随机试验的样本空间为S ={e }, e ∈S 为样本点,而
X =X (e ), Y =Y (e )
是定义在S 上的两个随机变量, 称(X , Y ) 为定义在S 上的二维随机变量或二维随机向量.
二、 二维随机变量的分布函数
1. 联合分布函数
定义2 设(X , Y ) 是二维随机变量, 对任意实数x , y , 二元函数
F (x , y ) =P {(X ≤x )} P {(Y ≤y )}
记为
P {X ≤x , Y ≤y }
称为二维随机变量(X , Y ) 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数.
联合分布函数的性质: (1) 0≤F (x , y ) ≤1, 且
对任意固定的y , F (-∞, y ) =0, 对任意固定的x , F (x , -∞) =0, F (-∞, -∞) =0, F (+∞, +∞) =1;
(2) F (x , y ) 关于x 和y 均为单调非减函数, 即
对任意固定的y , 当x 2>x 1, F (x 2, y ) ≥F (x 1, y ), 对任意固定的x , 当y 2>y 1, F (x , y 2) ≥F (x , y 1);
(3) F (x , y ) 关于x 和y 均为右连续, 即 F (x , y ) =F (x +0, y ), F (x , y ) =F (x , y +0).
(4)F (x 2, y 2) -F (x 2, y 1) +F (x 1, y 1) -F (x 1, y 2) ≥0
2. 边缘分布函数
对X 的边缘分布有:F X (x ) =P {X ≤x }=P {X ≤x , Y
三、 二维离散型随机变量及其概率分布
1. 离散型随机变量的联合分布律
定义 若二维随机变量(X , Y ) 只取有限个或可数个值, 则称(X , Y ) 为二维离散型随机变量.
结论:(X , Y ) 为二维离散型随机变量当且仅当X , Y 均为离散型随机变量.
若二维离散型随机变量(X , Y ) 所有可能的取值为(x i , y j ) i , j =1, 2, , 则称
P {X =x i , Y =y j }=p ij
(i , j =1, 2, )
为二维离散型随机变量(X , Y ) 的概率分布(分布律), 或X 与Y 的联合概率分布(分布律).
与一维情形类似, 有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表:
性质:(1)p ij ≥0, (2) ∑∑p ij =1
i =1j =1
∞∞
2. 离散型随机变量的边缘分布的分布律
X 的分布律为:P {X =x i }=∑p ij =p i ⋅, i =1, 2,
j =1
∞
Y 的分布律为:P {Y =y j }=∑p ij =p ⋅j , j =1, 2,
i =1
∞
四、二维连续型随机变量及其概率密度
1. 联合概率密度
定义 设(X , Y ) 为二维随机变量, F (x , y ) 为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数f (x , y ) , 使对任意实数(x , y ) , 有
F (x , y ) =⎰
x
-∞-∞
⎰
y
f (s , t ) dsdt ,
则称(X , Y ) 为二维连续型随机变量, 并称f (x , y ) 为(X , Y ) 的概率密度(密度函数), 或X , Y 的联合概率密度(联合密度函数).
概率密度函数f (x , y ) 的性质:
(1) f (x , y ) ≥0; (2) ⎰
∞-∞-∞
⎰
∞
f (x , y ) dxdy =F (+∞, +∞) =1;
(3) 设D 是xOy 平面上的区域, 点(X , Y ) 落入D 内的概率为
P {(x , y ) ∈D }=⎰⎰f (x , y ) dxdy
D
∂2F (x , y )
=f (x , y ). (4) 若f (x , y ) 在点(x , y ) 连续, 则有
∂x ∂y
2. 边缘概率密度
X 是连续型随机变量, 且其密度函数为:
f X (x ) =⎰f (x , y ) dy ,
-∞+∞
同理, 是连续型随机变量, 且其密度函数为:
f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx ,
-∞+∞
分别称f X (x ) 和f Y (y ) 为(X , Y ) 关于X 和Y 的边缘密度函数.
五、二维均匀分布
设G 是平面上的有界区域, 其面积为A . 若二维随机变量(X , Y ) 具有概率密度函数
⎧1
⎪, (x , y ) ∈G
f (x , y ) =⎨A
⎪0, 其它⎩
则称(X , Y ) 在G 上服从均匀分布.
六、二维正态分布
若二维随机变量(X , Y ) 具有概率密度
1
2πσ1σ2-ρ
2
⎡⎛x -μ⎫2
⎛x -μ1⎫⎛y -μ21⎪⎢ ⎪ --2ρ ⎪ σ⎪ σ⎢ σ2(1-ρ) ⎝1⎭1⎭⎝2⎝⎣
1
⎫⎛y -μ2
⎪+ ⎪ σ
2⎭⎝
⎫⎪⎪⎭
2⎤
f (x , y ) =e
⎥⎥⎦
其中μ1, μ2, σ1, σ2, ρ均为常数, 且σ1>0, σ2>0, |ρ|
七、条件分布
1. 离散型随机变量的条件分布
定义:设二维离散型随机变量(X , Y ) 的分布律为
P {X =x i , Y =y j }=p ij , i , j =1, 2, ,
X 的边缘分布律为:
P {X =x i }=∑p ij =p i ⋅, i =1, 2,
j =1
∞
Y 的边缘分布律为:
P {Y =y j }=∑p ij =p ⋅j , j =1, 2,
i =1
∞
设p ⋅j >0,由条件概率的公式可得
P {X =x i Y =y j }=
P {X =x i , Y =y j }
P {Y =y j }
, i =1, 2,
称为在Y =y j 的条件下随机变量X 的条件分布律; 同理,设p i ⋅>0,由条件概率的公式可得
P {Y =y j X =x i }=
P {X =x i , Y =y j }
P {X =x i }
, j =1, 2,
称为在X =x i 的条件下随机变量Y 的条件分布律; 性质:
以上两个条件分布律均满足分布律的基本性质。 2. 连续型随机变量的条件分布 (1) 条件分布函数
定义:设二维连续型随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ), f X (x ) 和f Y (y ) 分别是关于X 和Y 的边缘分布的概率密度。
若f Y (y ) >0,我们把
P {X ≤x =y }=⎰
x
-∞
f (x , y )
dx f Y (y )
称为在Y =y 的条件下,X 的条件分布函数,记为F X Y (x y ) 。 若f X (x ) >0,我们把
P {Y ≤y X =x }=⎰
y
-∞
f (x , y )
dy
f X (x )
X
称为在X =x 的条件下,Y 的条件分布函数,记为F Y (2) 条件概率密度
(y x ) 。
在Y =y 的条件下,X 的条件概率密度为:
f X Y (x y ) =
f (x , y )
f Y (y )
在X =x 的条件下,Y 的条件概率密度为:
f Y X (y x ) =
f (x , y )
.
f X (x )
八、 随机变量的独立性
1. 定义 设随机变量(X , Y ) 的联合分布函数为F (x , y ) , 边缘分布函数为F X (x ) , F Y (y ) , 若对任意实数x , y , 有
P {X ≤x , Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y },
即 F (x , y ) =F X (x ) F Y (y ), 则称随机变量X 和Y 相互独立. 2. 离散型随机变量的独立性
设(X , Y ) 是二维离散型随机变量, 其概率分布为
P {X =x i , Y =y j }=p ij , i , j =1, 2,
若对(X , Y ) 的所有可能取值(x i , y j ), 有
P {X =x i , Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }
即 p ij =p i ⋅p ⋅j , i , j =1, 2, 则称X 和Y 相互独立.
3. 连续型随机变量的独立性
对二维连续型随机变量(X , Y ) , 其独立性的定义等价于: 若对任意的x , y , 有
f (x , y ) =f X (x ) f Y (y )
几乎处处成立, 则称X , Y 相互独立. 九、二维随机变量的函数的分布 1. Z =X +Y 的分布
(1). 两个离散型随机变量的函数的分布
设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布律为:P {X =x i , Y =y j }=p ij , i , j =1, 2, 若随机变量Z 是X 和Y 的和,即Z =X +Y ,则Z 的任一可能的值z k 是X 的可能值x i 和
Y 的可能值y j 的和:z k =x i +y j
于是有:P {Z =z k }=
=
或者P {Z =z k }=
∑∑
i
j i
P {X =x i , Y =y j }
∑
P {X =x i , Y =z k -x i }
∑
j
P {X =z k -y j , Y =y j }
讲解例题:P71-72:例1、2;练习:P76:1。 (2) 两个连续型随机变量的函数的分布
设二维随机变量(X , Y ) 的联合概率密度为f (x , y ) ,则
Z =X +Y 的概率密度为:
f (=⎰f (z -y ,y )dy Z z )
-∞
+∞
或
=⎰f (x ,z -x )dx
-∞
+∞
+∞
特别地,当X 和Y 相互独立时,有
f (=⎰f (Z z )X z -y )f (Y y )dy
-∞
或
f (=⎰f (Z z )X x )f (Y z -x )dx
-∞
+∞
上面两个式子称为卷积公式。 2. 商 Z =
X
(Y ≠0)的概率密度函数. Y
f Z (z ) =⎰
若X 与Y 相互独立,则
+∞-∞
y ⋅f (zy , y )d y
f Z (z ) =⎰[|y |⋅f X (zy ) ⋅f Y (y )]dy
-∞
+∞
3. M =max(X , Y ) 及N =min(X , Y ) 的分布 (1). M =max(X , Y ) 及N =min(X , Y ) 的分布
设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,则有
F max (z ) =F X (x ) F Y (y )
F min (z ) =1-[1-F X (x )][1-F Y (y )]
(2. )推广:
设X 1, X 2, , X n 是相互独立的随机变量,则M =max(X 1, X 2, , X n ) 及
N =min(X 1, X 2, , X n ) 的分布函数分别为:
F max (z ) =F X 1(x 1) F X 2(x 2) F X n (x n ),
F min (z ) =1-[1-F X 1(x 1)][1-F X 2(x 2)] [1-F X n (x n )]
特别地,当X 1, X 2, , X n 相互独立且具有相同的分布函数F (x ) 时有:
F max (z ) =[F (z )]n , F min (z ) =1-[1-F (z )]n
常见题型
1、二维随机变量联合分布、边缘分布与条件分布
1. (98,3分)设平面区域D 由曲线y =
1
及直线y =0, x =1, x =e 2所围成,x
二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,则(X ,Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为
2. (99,3分) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,
。
1)和N (1,1),则
1
21
(C )P {X -Y ≤0}=
2
(A )P {X +Y ≤0}=
1 21
(D )P {X -Y ≤1}=
2
(B )P {X +Y ≤1}=
3. (99,8分) 设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X ,
Y )联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处。
4. (06,9分)随机变量x 的概率密度为
⎧1
⎪2, -1
f x (x )=⎨,0≤x
⎪4
⎪0, 其他⎪⎩
(Ⅰ) 求Y 的概率密度f Y (y )
⎛1⎫(Ⅱ) F -, 4⎪
⎝2⎭
5. (07,4分)设随机变量(X , Y ) 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,f X (x ), f Y (y ) 分
别表示X 与Y 的概率密度,则在Y =y 的条件下,X 的条件概率密度f X Y (x y ) 为( )
(A) f X (x ) (B) f Y (y ) (C) f X (x ) f Y (y ) (D) f X (x ) /f Y (y )
⎧e -x
⎪
6. (09,11分)设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为f (x , y ) =⎨
⎪0, ⎩
0
其他.
试求:
(1)求条件分布密度f Y X (y x ) ; (2)求条件概率P {X ≤≤1}.
7. (09,11分)袋中有一个红球,两个黑球,三个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一个求以X , Y , Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数 (1)求P {X =Z =0}
(2)求二维随机变量(X , Y ) 的概率分布.
8. (10,11分)箱内有6个红球,其中红,白,黑球的个数分别为1,2,3个,现从箱中随机取2个球,记X 为取出的红球个数,Y 为取出的白球的个数。 (1)求(X,Y )的概率分布 (2)求Cov (X , Y )
⎡⎤-101⎢⎥
⎥, i =1, 2,且P (X X =0) =1,求P (X =X ). 9. 设随机变量X i ~⎢1212
⎢⎥
11⎥⎢1⎢24⎥⎣4⎦
10. 设随机变量X 在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值,试求(X ,Y )的分布律,X ,Y 的边缘分布律,并判断独立性。
2、二维随机变量的函数的分布
例11. (87,6分) 设随机变量X ,Y 相互独立,其概率密度函数分别为
⎧1, 0≤x ≤1
f X (x ) =⎨
⎩0, 其他
⎧e -y , y >0
f Y (y ) =⎨
y ≤0⎩0,
求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数。
12. (91,6分) 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为
⎧2e -(x +2y )
f (x , y ) =⎨
⎩0,
求随机变量Z=X+2Y的分布函数。
x >0, y >0
其他
13. 设随机变量X i (i =1, 2, 3, 4) 相互独立同分布于B (1,0.4),求行列式
X 1
X =
X 3
X 4X 2
的概率分布。
14(09,4分)设随机变量X , Y 相互独立,且X 服从标准正态分布N (0, 1), Y 的概率分布为
P {Y =0}=P {Y =1}=
断点个数为( )
(A )0 (B )1 (C) 2 (D) 3
1
,记F Z (z ) 为随机变量Z =XY 的分布函数,则函数F Z (z ) 的间2
15. (06,4分)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0, 3]上的均匀分布,则P {max{X , Y }≤1}.
16(08.4分)设随机变量X , Y 独立同分布,且X 的分布函数为F (x ) ,则Z =max{X , Y }的分布函数为( )
(A )F 2(z ) (B )F (x ) F (y ) (C )1-[1-F (x )]2 (D )[1-F (x )][1-F (y )] 例17. 设某型号的电子元件寿命(以小时计)近似服从N (160,20)分布,随机
2
选取4件,求其中没有一件寿命小于180小时的概率。