乘法公式的应用

乘法公式的几何背景

1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为

第2题

2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是 3、如图，图①是边长为a 的正方形中有一个边长是b 的小正方形，图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图①和图②阴影部分的面积，可验证的是 ．

第4题图

4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是．

5、如图：边长为a ，b 的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义．

6、如图1，A 、B 、C 是三种不同型号的卡片，其中A 型是边长为a 的正方形，B 型是长为b 、宽为a 的长方形，C 是边长是b 的正方形．

7、小杰同学用1张A 型、2张B 型和1张C 型卡片拼出了一个新的图形（如图2）．请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是 ． 8、图1是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．

（1）你认为图1的长方形面积等于 ；

（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中 阴影部分的面积． 方法1： 方法2：

（3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b ）2、ab 之间的等量关系； （4）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含m 、n 的代数式表示）．

9、如图，ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上一点，过P 点作直线EF 、GH 分别平行于AB 、BC ，交两组对边于E 、F 、G 、H ，则四边形PEDG ，四边形PHBF 都是正方形，四边形PEAH 、四边形PGCF 都是矩形，设正方形PEDG 的边长是a ，正方形PHBF 的边长是b ． 请动手实践并得出结论：

（1）请你动手测量一些线段的长后，计算正方形PEDG 与正方形PHBF 的面积之和以及矩形PEAH 与矩形PGCF 的面积之和．

（2）你能根据（1）的结果判断a 2+b2与2ab 的大小吗？ （3）当点P 在什么位置时，有a 2+b2=2ab ？

1.5平方差公式

一、点击公式

(a +b )(a -b )(a +b )(b -a )，(-a +b )(-a -b )(a -b )(b -a )(a +b )(-a -b )(-a +b )(b -a )二、公式运用 1、化简计算：

122122

（1）(x -y )(-x -y ) （2）（x -2）（x 4+16）（x +2）（x 2+4）

4343

（3） (a -b )(a +b ) -(a -b )(-a -b ) （4）

⎛1⎫⎛1⎫

a +b ⎪a -b ⎪-(3a -2b )(3a +2b ) ⎝2⎭⎝2⎭

2、简便计算

（1）899×901+1 （2）99.9×100.1-99.8×100.2 （3）2006×2008-20072

20002

（5）9×11×101×10001 (4)

1999⨯2001+1

课时测试——基础篇

1、下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ） A 、 (-a +b )(a -b ) B 、(x +2)(2+x ) C 、 (x +y )(y -2、已知 (x - ay) (x + ay ) = x2 - 16y2 , 那么 a 3、化简：-x -y

131

x ) D 、 (x -2)(x +1) 3

(

m m

)(x

2m

-y 2m -x m +y m 。

)()

4、用平方差公式计算

（1）(2x -y ) (y -2x )-(y +3x )(3x -y ) （2）2004-2003⨯2005

2

（3）(1-)(1+)(1+)(1+11111

) +2 （4）(2+1) (22+1) (24+1)…(216+1)+1 2241616

5、先化简，再求值：(3+m )(3-m )+m (m -6)-7，其中m =12

6、若a =

20072008，b =2008

2009

，试不用．．将分数化小数的方法比较a 、b 的大小．

拓展篇

⎛a +b ⎫2⎛2

1、计算：（1） ⎝2⎪⎭- a -b ⎫⎝2⎪⎭ （2）1002-992+982-972+…+22-12

（3）(1-

122)(1-132)(1-142) (1-11992)(1-100

2)

2、请你估计一下, (22-1)(32-1)(42-1) (992-1)(1002-1)

12⋅22⋅32⋅42 992⋅1002

的值应该最接近于 A 、 1 B 、

1112 C 、 100 D 、 200

） （

1.6完全平方公式

一、点击公式

1、(a ±b )，(-a -b )(a -b )(b -a )22

2、a +b =(a +b )(a -b )、(a +b )-(a -b )2

2

2

2

2

2

二、公式运用 1、计算化简

2

（1） ⎡(2x +y )-(2x +

⎣

y )(

2-x )⎤y （2）(-x -y )(x -y ) +(x +y ) 2 (3)1-(-1-2x ) 2

⎦

（4）(2x +y -3z )(2x -y +3z ) （5）(2a -b +1)(2a -b -1)

2、简便计算：

（1）（-69.9）2 （2）472-94×27+272

3、公式变形应用：

在公式（a ±b ）2=a2±2ab+b2中，如果我们把a+b，a-b ，a 2+b2，ab 分别看做一个整体，那么 只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值．

（1）已知a+b=2，代数式a 2-b 2+2a +8b +5的值为x =

1125

, y =, 代数式 7522

（x +y ）2-（x -y ）2的值为 ，已知2x -y -3=0，求代数式12x 2-12xy +3y 2的值 是 ，已知x=y+4，求代数式2x 2-4x y+2y 2-25的值是2244

（2）已知a +b =3，ab =1，则a +b ＝ ，a +b ；若a -b =5，ab =4，22

则a +b 的值为；(a -b )=8，(a +b )=2，则ab =_______.

2

2

（3）已知：x+y=-6，xy =2，求代数式（x-y ）2的值． （4）已知x+y=-4，x-y =8，求代数式x 2-y 2的值． （5已知a+b=3， a 2+b 2=5，求ab 的值.

（6）若(x -2)+(x +3)=15，求(2-x )(x +3)的值. （7）已知x-y =8，xy =-15，求

的值.

2

2

（8）已知：a 2+b2=2，ab =-2，求：（a-b ）2的值．

4、配方法（整式乘法的完全平方公式的反用）

我们知道，配方是一种非常重要的数学方法，它的运用非常广泛．学好它，对于中学生来说显得尤为重要．试用配方法解决下列问题吧!

（1） 如果y =x 2-2x +5，当x 为任意的有理数，则y 的值为（ ） A 、有理数 B 、可能是正数，也可能是负数 C 、正数 D 、负数

（2）多项式9x +1加上一个单项式后成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式 是 ．(填上所有你认为是正确的答案) （3）试证明：不论x 取何值，代数x 2+4x +

2

9

的值总大于0． 2

（4）若 2x 2-8x +14=k ，求k 的最小值． （5）若x 2-8x +12-k =0，求2x +k 的最小值．

x 2+y 2

-xy 的值. （6）已知x (x -1) -(x -y ) =-2，求

2

2

（7）已知a 2b 2+a 2+b 2+16=10ab ，那么a 2+b 2=

（8）若关于x 的一元一次方程ax +b -5=0的解为x =2，求4a +b +4ab -2a -b +3的 值.

（9）若m 2+2mn+2n2-6n+9=0，求m 和n 的值．

（10）若△ABC 的三边为a,b,c, 并满足a +b +c =a b +b c +c a ，试问三角形ABC 为何种三角形？

2

2

2

2

2

课时测试——基础篇

1、下列式子中是完全平方式的是（ ）

A 、a +ab +b B 、a +2a +2 C 、a -2b +b D 、a +2a +1 2、x +2ax +16是一个完全平方式，则a 的值为（ ） Ａ、４ Ｂ、８ Ｃ、４或—４ Ｄ、８或—８ 3、已知y +2x =1，代数式（y +1）2-（y 2-4x ）的值是22

2

2

2

2

2

4、化简求值：[(x+y)²-(x-y )²+2x²y ]÷(-4y) 其中x=-2.

52

5、当x =2, y =时，求[(2x +y )+(2x +y )(2x -y )-4xy ]÷(-2x )的值.

2

拓展篇

1、若a +

1111

=2，则a 2+2的值是a 4+4的值是a -的值是 a a a a

1

的值是 a 4

13

2、若a +b =-，a +3b =1，则3a 2+12ab +9b 2+的值是( )

55

224

A 、 B 、 C 、 D 、0

935a 4-

3、已知3x -x =1，则代数式9x +12x -3x -7x +1999的值是( ) A 、1997 B 、1999 C 、2003 D 、004

2222

4、若M =x +2x +1x -2x +1，N =x +x +1x -x +1(x ≠0) ，则M 与N 的

3

4

3

2

()()()()

大小关系是( )

A 、M >N B 、M

2

()

A 、a +b =b -c B 、a +b +c =1 C 、a =b =c D 、ab =bc =ca 6、计算：

（1）(a +b -c ) （2）(a-b+c-d)(c-a-d-b ) (3) (a +2b -3c )(3c -a -2b )

2

7、已知x 2-2x =2，求代数式(x -1)2

+(x +3)(x -3)+(x -3)(x -1)的值．

8、求代数式3x 2+6x -5的最小值.

9、证明x 2-4x +5的值不小于1.

10、解方程：(1-3x ) 2+(2x -1) 2=13(x -1)(x +1)

11、已知：x 2+3x +1=0，求x 2

+1x 2

的值．

12、已知x 2-5x -1=0，求：（1）x 2+1x 2 （2）2x 2

-5x +1x 2

拓展——立方和、立方差公式

一、探究应用：

（1）计算（a -2）（a 2+2a +4）（2x -y ）（4x 2+2xy +y 2）= ． （2）上面的整式计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式是 （请用含a ．b 的字母表示）．

（3）下列各式能用你发现的计算的是 ． A ．（a -3）（a 2-3a +9） B ．（2m -n ）（2m 2+2mn +n 2） C ．（4-x ）（16+4x +x 2） D ．（m-n ）（m2+2mn+n2）

（4）直接用计算：（3x -2y ）（9x 2+6xy +4y 2）= ；（2m -3）（4m 2+6m +9）． 二、立方和、立方差公式的应用

224 1的因数中两位的正因数有个.

已知实数x ，y 满足方程组x 3+y3=19，x+y=1，求值：（1）xy （2）x 2+y2． 已知x+y=1，求代数式x 3+y3+3xy的值．