二次函数拔高训练题汇编1

二次函数拔高训练题

1、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y =x -1，令y ＝0，可得x ＝1，我们就说1

是函数y =x -1的零点． 己知函数y =x 2-2mx -2(m +3) (m 为常数) ．

（1）当m ＝0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为x 1和x 2，且111+=-，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B (点A 在点B x 1x 24

左侧) ，点M 在直线y =x -10上，当MA ＋MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．

2、某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A (万元) 与投资金额x (万元) 之间存在正比例函数关系：y A ＝kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；

信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B (万元) 与投资金额x (万元) 之间存在二次函数关系：y B ＝ax 2＋bx ，并且当投资2万元时，可获利润2. 4万元；当投资4万元，可获利润3. 2万元．

(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

(2) 如果企业同时对A 、B 两种产品共投资．．．10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．

3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x +bx +c 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，直线2

y =-x +3恰好经过B ，C 两点．

（1）求出抛物线y =x +bx +c 的解析式，并写出物线的对称轴；

（2）点P 在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D 若∠APD =∠ACB ，求点P 的坐标.

4、如图，抛物线y =212x +bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， 2

且A （一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M (m ，0) 是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．

5、如图26－108所示，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ 121x －6与直线y ＝x 相交于A ，B 两点． 42

(1)求线段AB 的长；

(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大? 最大面积是多少?

(3)如图26－109所示，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C ，D 两点，垂足为点M ，分别求出OM ，OC ，OD 的长，并验证等式

111是否成立． +=OC 2OD 2OM 2

6．如图，抛物线y =-x 2+5x +n 经过点A(1，0) ，与y 轴交于点B 。

⑴求抛物线的解析式；

⑵P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标。

7．如图9，在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出

发，以每秒1 cm的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .

(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；

(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤

10) ，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .

① 求S 关于t 的函数关系式；

② 求S 的最大值.

8． 如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点. 已知：A (-2,-6),C (1,-3)

(1) 求证：E 点在y 轴上；

(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.

(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′

C 的面积S 关于k 的函数解析式.

A （第3题图②）

29. 如图，抛物线C1：y=x-4x 的对称轴为直线x=a，将抛物线C 1向上平移5个

单位长度得到抛物线C 2，则图中的两条抛物线、直线x=a与y 轴所围成的图形

（图中阴影部分）的面积为 。

10. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y= x - x-10与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）．

（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过

程；

（3）当0＜t ＜4.5 时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出

此定值，若不是，请说明理由；

（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程． 2

11. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连接OA ，

将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存

在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB

是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，

请说明理由．

12. 如图，抛物线y =ax 2+bx （a >0）与双曲线y =

三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.

（1）求实数a ，b ，k 的值；

（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标. k 相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第x