对双圆四边形的性质的探讨
第4卷第4期遵义师范学院学报Vol. 4, No. 4
2002年12月Journal of Zunyi Normal College Dec. 2002
对双圆四边形的性质的探讨
张少华
(遵义师范学院数学系, 贵州遵义 563002)
摘 要:对双圆四边形的几条新性质进行了证明, 并找到了画双圆四边形的一般方法. 关键词:双圆四边形; 性质; 证明; 作图
中图分类号:O123.1 文献标识码:A 文章编号:1009-3583(2002) 04-0064-03
The Exploration of the N ature of Two -circle Q uadrilateral
ZHA N G S hao 2hua
(Mathematics Department , Zunyi Normal College ; Zunyi 563002, China )
Abstact :The new
nature of two -circle quadrilateral has been proved , and a useful method of drawing it has been
discovered in this paper.
K ey w ords :two 2circle quadrilateral ;
nature ; prove ; construction
所谓双圆四边形, 即是既有外接圆又有内切圆的四边形的简称. 作者对这种四边形的性质进行了探讨, 并给出了这种四边形作图的一般方法.
∴∠APQ +∠A TS +∠CST +∠CQ P =360°. 又∵∠A +∠APQ +∠A TS +∠P KT +∠C +∠CST +∠CQ P +∠SKQ =720°,
一、双圆四边形的性质
定理1 双圆四边形的内对角互补, 其各边的中垂线交于一.
由于双圆四边形具有外接圆, 此定理显然成立. 推论:双圆四边形的任一外角等于它的内角的对角.
定理2 双圆四边形的一组对边的和等于另一组对边的和, 其各内角的平分线交于一点.
由于双圆四边形具有内切圆, 此定理显然成立. 推论:如果双圆四边形的内切圆的切点是它的各边的中点, 则这个四边形是正方形.
定理3 双圆四边形的两组对边上的切点的连线互相垂直.
设双圆四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的切点分别为P 、S 、Q 、T (如图1) . 求证:PQ ⊥ST.
证明(一) :连结PS 、SQ 、Q T 、TP , 则 ∠APQ =∠PSQ , ∠A TS =∠SQ T , ∠CST =∠SPT , ∠CQ P =∠PTQ. ∵∠PSQ +∠SQ T +∠PTQ +∠SPT =360°.
∠A +∠C =180°.
∴∠P KT +∠SKQ =180°. ∴∠P KT =∠SKQ =90°. ∴PQ ⊥
ST.
证明(二) :连结PT 、SQ (如图2所示) .
∵∠APT =(180°-∠A ) ,
2 ∠CSQ =(180°-∠C ) ,
2
∠APT =Pm T 的度数,
2 ∠CSQ =SQ 的度数,
2
收稿日期:2002-05-14
作者简介:张少华(1963-) , 男, 贵州遵义人, 遵义师范学院数学系教师。
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张少华・对双圆四边形的性质的探讨
∠A +∠C =180°.
∴∠P KT =∠Q KS (Pm T +SQ ) 的度数=2=∠APT +∠CSQ (180°=-∠A ) +(180°-∠C ) 22
(∠=180°-A +∠C ) 2=180°-=90°.
2
∴PQ ⊥ST.
此外, 许莼舫著《许莼舫初等几何四种》一书上还记述了证明这个定理的另外三种证法[1].
定理4 如果双圆四边形的两条对角线和两组对边上切点的两条连线这四条直线共点, 则这两条切点连线平分它的两条对角线所成的角.
设双圆四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的切点分别为P 、S 、Q 、T ,AC 、BD 、PQ 、ST 共点K (如图3) .
求证:∠1=∠2, ∠5=∠6. 证明:在ΔA T K 与ΔBSK 中,
∵∠A T K =∠BSK , ∠TA K =∠SB K. ∴∠3=∠1. 又∵∠2=∠3. ∴∠1=∠2. 又∵PQ ⊥ST. ∴∠6=
∠7. 又∵∠7=∠5. ∴∠5=∠6.
FQ ∩ES =C.
又∵C 、K 、A 共线.
∴根据Desargues 定理的逆定理,
ΔPQ F 与ΔTSE 对应顶点的连线TP 、SP 、EF 共点或平行.
定理6 如果双圆四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 和两组对边上的切点P 、Q 、S 、T 的两条连线
线PQ 、ST 这四条直线共点K ,BC 与AD 交于E 点, AB 与DC 交于F 点, TP 和EF 交于X 点(如图4) . 则Q 、S 、X 共线.
ΔPT K 与ΔFEC 彼此对应, 证明:∵
P K ∩FC =Q , T K ∩EC =S , PT ∩FE =X.
又∵FP 、C K 、ET 共点A.
ΔPT K 与ΔFEC 的对应∴根据Desargues 定理, 边的交点Q 、S 、X 共线.
定理7 设双圆四边形的外接圆为定圆, 则它的内切圆的半径不大于外接圆半径的
倍. 2
思路:为了证明的方便, 不妨设双圆四边形关于它的一条对角线对称, 因为这并不影响结论的正确性.
设双圆四边形ABCD 关于对角线AC 对称, 它的外接圆是半径为R 的定圆, 它的内切圆的半径为γ, 求证:0
2
证明:设∠ACD =θ(0
2
∠DAC =-θ, ∠AO ′D =+θ,
24θAD =2Rsin .
在ΔAO ′D 中, 利用正弦定理, 得
=
Sin ∠DAO ′Sin ∠AO ′D
=,
) Sin (+θ) Sin (-θ24
) ∴DO ′=
Sin (+θ
4
定理5 如果双圆四边形ABCD 的两条对角线
γ=DO ′又∵.
2AC 、BD 和两组对边上的切点P 、Q 、S 、T 的两条连线
PQ 、ST 这四直线共点K ,BC 与AD 交于E 点,AB 与γ==∴θ+Cos θSin
) Sin (+θDC 交于F 点(如图4) . 则TP 、SQ 、EF 共点或平行. 4
ΔPQ F 与ΔTSE 彼此对应. 证明:∵θθ=R Cos
θθ2Cos PQ ∩ST =K ,FP ∩ET =A ,
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第4卷第4期 遵义师范学院学报 2002年12月
=
R 2
θR. 2
∴0
2
显然, 当γ取最大值时, 双圆四边形为正方形. 定理8 设双圆四边形的内切圆为定圆, 则它的
外接圆的半径不小于内切圆半径的倍.
思路:为了证明的方便, 不妨设双圆四边形关于它的一条对角线对称, 因为这并不影响结论的正确性.
设双圆四边形ABCD 关于对角线AC 对称, 它的内切圆是半径为γ的定圆, 它的外接圆半径为R (如
图5) .
显然, 当R 取最小值时, 双圆四边形为正方形.
二、双圆四边形的一般作图方法
问题1:已知一个圆, 求作它的内接四边形, 使其具有内切圆. 分析:如果图形已作出, 则这个四边形的一组对边的和必然等于另一组对边的和, 若能作出这
样的四边形, 问题就解决了. 因此, 我们根据这个四边参考文献:形有内切圆的性质和圆的半径相等以及两圆相切时[1] 许莼舫. 许莼舫初等几何四种[M ].北京:中国青年出版
社,1980. 连心线过切点的性质, 在已知圆上取四个点为圆心,
(责任编辑:朱 彬) 作四个圆, 使这四个圆中的相邻圆相切, 这样, 依次连
结这四个圆的圆心所得的四边形, 即为所求.
已知:⊙O , 求作它的内接四边形ABCD , 使其具有内切圆.
作法:1. 在⊙O 上任选一点A , 作⊙A. 2. 选点B 、C 、D 在⊙O 上, 作⊙B , ⊙C 、⊙D , 并使⊙B 与⊙A 相切于E , ⊙C 与⊙B 相切于F , ⊙D 与⊙C 相切于G , ⊙D 与⊙A 相切于H.
3. 顺次连结AB 、BC 、CD 、DA , 所得四边形ABCD 即为所求.
证明:根据作法,
AE =AH ,B E =BF ,CG =CF ,DH =D G. ∴AE +B E +CG +D G =AH +DH +BF +CF. 即AB +CD =AD +BC. ∴四边形ABCD 必有内切圆. ∴四边形ABCD 既有外接圆又有内切圆. 注意:图中E 、F 、G 、H 四点不一定是四边形ABCD 的内切圆的切点.
问题2:已知一个圆, 求作它的外切四边形, 使此四边形具有外接圆.
分析:如果图形已作出, 则这个四边形的两组对边上的切点的连线必然互相垂直. 因此, 利用这一性质即可作出符合要求的图形来.
已知⊙O ′, 求作它的外切四边形ABCD , 使其具有外接圆. 作法:1. 在⊙O ′内任作两条互相垂直的弦PQ 、ST , PQ 与ST 交于K 点. 2. 分别过P 、S 、Q 、T 作⊙O ′的切线, 这四条切线围成的四边形ABCD 即为所求. 证明:根据作法,
PQ ⊥ST , ∴∠P KT =∠SKQ =90°. 又∵∠A TS +∠CSK =180°, ∠APQ +∠CQ K =180°, ∠A +∠A TS +∠APQ +∠P KT + ∠SKQ +∠CSK +∠CQ K +∠C =720°. ∴∠A +∠C =180°. ∴四边形ABCD 必有外接圆. ∴四边形ABCD 既有外接圆又有内切圆.
至于其它的具有特殊性质的双圆四边形的作图问题, 一般地说, 是比较容易的, 在此不再赘述.
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