习题7.1定积分的概念和可积条件
第七章 定积分
习 题 7.1 定积分的概念和可积条件
1. 用定义计算下列定积分：
⑴
⎰0(a x +b ) d x ;
12n n
1
⑵
⎰0a x dx (a >0).
1
解 （1）取划分：0
，及 ξ
n n
1
∆x i =，于是
n i 1a 1a
，即 () +b +b (n →∞) 2n 2i =1n n
n
a
。 (ax +b ) dx +b ⎰02
12n -1i 1
（2）取划分：0，及 ξ，则 ，
n n n n n
1
1
-11(1-a ) n
→ln a (n →∞) ，于是 ∑a 。因为 →1(n →∞) ，所=1
n i =1
n (1-a n )
n
n
i n
n
i n
1n
1n
以
∑
i =1
1(1-a ) a -1
， 即 1
n ln a
n (1-n )
1n
a -1
。 a dx ⎰0ln a
1x
⒉ 证明，若对[a , b ]的任意划分和任意ξi ∈[x , x ξi ) ∆x i -1i ]，极限lim f (i 都存
λ→0
i =1
∑
n
在，则f (x ) 必是[a , b ]上的有界函数。
证 用反证法。设lim f (则取ε=，对任意的划分P 与任意1, ∃δ>0ξi ) ∆x i =I ，
λ→0
i =1
∑
n
=max (∆x
i =1
n
x i =1, 2, n ) 取定了划分后，n 与∆也就确定，如果f (x ) 在[a , b ]上无界，则i (
必定存在小区间[x i -1, x i ]，f (x ) 在[x i -1, x i ]上无界。取定
ξ, , ξ, ξ, , ξ，必可取到ξ
1
i -1i +1
n
i
，使
f (ξ) ∆x +1 不成立，从而产∑
i
i
i =1
n
生矛盾，所以f (x ) 必是[a , b ]上的有界函数。
⒊ 证明Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数f (x ) ，恒有
l i ) =l 。
λ' 证 ∀，因为l 是的上确界，所以 ，使得 (P ) ε>0' 0≤l (P ) 。
2
'''''设划分P ，M , m 是f (x ) 的上、下确界，取 :a =x
⎛ε⎫
'' ⎪， δ=min ∆x , ∆x , , ⎪2(p -1)(M -m )
⎝
1
2
ε
⎭
对任意一个满足λ的划分 =max (∆x
1≤i ≤n
P ， :a =x
'，则由引记与其相应的小和为S (P ) ，现将P ', P 的分点合在一起组成新的划分P '
'''理7.1.1，S 。 (P ) -S (P ) ≤0
''下面来估计S ： (P ) -S (P )
''（1）若在(x i -1, x i ) 中没有P '的分点，则S (P ), S (P ) 中的相应项相同，它们的
差为零；
（2）若在(x i -1, x i ) 中含有P '的分点，由于两种划分的端点重合，所 以这样的区间至多只有p -1个。由δ的取法，可知
'x ≤≤∆x , i =1, 2, , n , j =1, 2, , p ∆， i j
δ
''所以在(x i -1, x i ) 中只有一个新插入的分点x 'j ，这时(P (P ) 中的相
应项的差为
'''''m (x -x ) +m (x -x )]-m (x -x ) ≤(M -m )(x x ) [
''≤S (P ) -S (P )
综合上面的结论，就有
ε2
ε
ε
2
2
''''''+0=ε， ≤l -S (P ) =[l -S (P )]+[S (P ) -S (P )]+[S (P ) ( 0
即
(P ) =l 。
λ→
⒋ 证明定理7.1.3。
证 必要性是显然的，下面证充分性。
设 ∀，存在一种划分P '，使得相应的振幅满足ε>0
ε''ω∆x
p i =1
3
''即(P ) -S (P ) 。取
3
ε
⎛ε⎫
''' ⎪，对任意一 δ=min ∆x , ∆x , , ⎪3(p -1)(M -m )
⎝
1
2
⎭
个满足λ的划分 =max (∆x
1≤i ≤n
P ， :a =x
'，则由Darboux 定理的证明过程，可现将P ', P 的分点合在一起组成新的划分P '
得
'''''(P ) -S () ((P ((P )]+
'''''''(P ) -S (P )]+[S (P ) -S (P )]+[S (P ) -S (P )]
+， 0+0=ε
εεε
333
由定理7.1.1，可知f (x ) 在[a , b ]上可积。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性：
, -],x ≠0 ⑴ f (x ) =⎨
0, x =0; ⎩, ⎧0, x 为有理数
⑶ f (x ) =⎨
x , x 为无理数; ⎩
⑵ f (x ) =⎨
, x 为有理数, ⎧-1
1, x 为无理数; ⎩
), x ≠0, ⎧= ⑷ f (x ) ⎨0, x =0. ⎩
解：（1）0，且f (x ) 在[0,1]上的不连续点为x , 与 , , ≤f (x )
11
231n
12
，f (x ) 在区间[, 1]上只有有限个不连续点，
m ε
11
所以f (x ) 在[, 1]上可积，即存在[, 1]的一个划分P ，使得
m m
，取定m >x =0。∀ε>0
ε
ω∆x
n i =1
2
εε''''ω∆x =ω∆x +ω∆x =ε， ∑∑22
n +1i =1
n
i
i
i
i
11
i =1
由定理7.1.3，f (x ) 在[0,1]上可积。
（2）因为对[0,1]的任意划分P ，总有 ωi =2，所以 定理7.1.2可知f (x ) 在[0,1]上不可积。
（3）因为对[0,1]的任意划分P ，f (x ) 在[x i -1, x i ]上的振幅为x i ，于是
n
x +x 122i -1
∑ ∆x =x (x -x ) (x -x (x x ) ∑∑i i i i i -1i i -1i -i -1
2i =1i =1i =12i =1
n
n
n
i
∑ω∆x
i i =1
n
i
=2，由
ω
12
(x x n -0) ， 所以f (x ) 在[0,1]上不可积。
（4）-≤，且f (x ) 在[0,1]上的不连续点为x =与 , , 1f (x ) ≤1
22
1
2
11231n
x =0。∀ε>0，取定m >
14
，则f (x ) 在[, 1] 上只有有限个不连续点，
m ε
n
11ε
所以f (x ) 在[, 1]上可积，即存在[, 1]的划分P ，使得∑ωi ∆x i
m m 2i =1
将P 的分点与0合在一起作为[0,1]的划分P ' ，则
εε''''， ω∆x =ω∆x +ω∆x =ε∑∑22
n +1i =1
n
i
i
i
i
11
i =1
所以f (x ) 在[0,1]上可积。
6. 设f (x ) 在[a , b ]上可积，且在[a , b ]上满足|f (（m 为常数）， x ) |≥m >0证明
1
在[a , b ]上也可积。 f (x )
=x
⎛⎫11111
''') =sup (f (x ) -f (ω(f ) ， f f (x ) f (x ) m m ⎝⎭
'''x ≤x , x ≤x i -1i
'''x ≤x , x ≤x i -1i
i ε>0, ∃δ>0由于f (x ) 在[a , b ]上可积，∀，当
ω∆x m ε，从而 ∑i (f ) i
2
i =1n
λ=max (∆x
ω∆x ∑i ) i
i =1
n
1
f 1
在[a , b ]上可积。 f (x )
n →∞
∞，且lim x 存在，证明 7. 有界函数f (x ) 在[a , b ]上的不连续点为{x n }n =1n
f (x ) 在[a , b ]上可积。
证 不妨设lim x n =c ，且c ∈(a , b ) ，并设
n →∞
f (x ≤M 。∀ε>0，取
⎧ε⎫
，则 ∃，当n >N 时，x n -0⎬
12M ⎩
⎭
由于f (x ) 在[a , c -δ]和[c +δ, b ]上只有有限个不连续点，所以f (x ) 在[a , c -δ]和[c +δ, b ]上都可积，即存在[a , c -δ]的一个划分P (1) 和
[c +δ, b ]的一个划分P (2) ，使得
(1) (1) (1) ε(2) (2) εω∆x , ω∆x ∑∑i i i i 。将P 、 i
3i 3
P (2) 的分点合并在一起组成[a , b ]的一个划分P ，则
∑ωi ∆x i ≤
i =1
n
εεε， ω∆x +ω∆x +4=ε∑∑333
(1) (1) i i
(2) (2)
i i
i
i
所以f (x ) 在[a , b ]上可积。
c =a 或c =b 的情况可类似证明。
8．设f (x ) 是区间[a , b ]上的有界函数。证明f (x ) 在[a , b ]上可积的充分 必要条件是对任意给定的ε>0与σ>0，存在划分P ，使得振幅ωi ≥ε的 那些小区间[x i -1, x i ]的长度之和
∆x
i
i ≥
区间的长度之和可以任意小）。
证 充分性: 设f (x ≤M 。 ∀, 存在划分P , 使得振幅ωi ≥ε的那些ε=σ>0小区间的长度之和
n
∆x
i
i ≥
ω∆x =ω∆x +ω∆x
i
i
i
i
i
i
i =1
≥i
即f (x ) 在[a , b ]上可积。
必要性：用反证法，如果存在ε0>0与σ0>0，对任意划分P ，振幅ωi ≥ε0的小区间的长度之和不小于σ0, 于是
ω∆x =ω∆x +ω∆x ≥ε∆x ≥σε， ∑∑∑∑ωεωεωε
i
i
i
i
i
i
i =1
≥i 0
0i
≥i 0
00
n
()则当λ时，∑ωi ∆x i 不趋于零，与f (x ) 在[a , b ]上可积矛盾。 =max ∆x →0i
1≤i ≤n
i =1
n
9. 设f (x ) 在[a , b ]上可积，A , g (u ) 在[A , B ]上连续，证明复合 ≤f (x ) ≤B 函数g (f (x ) ) 在[a , b ]上可积。
证 由于g (u ) 在[A , B ]连续, 所以可设g (u ≤M ，且g (u ) 一致连续, 于是
u 0δ>0u ' , u " ∈[A , B ]
。 g (u ' ) -g (u 2(b -a )
由于f (x ) 在[a , b ]可积, 由习题8, 对上述ε>0与δ>0, 存在划分P , 使得振幅ωδ的小区间的长度之和小于i (f ) ≥
n i
i =1
i
i
(f )
ε
ε
, 于是 4M
i
i (f ) ≥i
i
ω(g f ) ∆x =ω(g f ) ∆x +ω(g f ) ∆x ∑∑∑ωδωδ
i
2(b -a ) ω(f )
∑∆x +2M (b -a ) =ε， i
(b -a ) ω(f ) ≥δ2
i
4M
即复合函数g (f (x ) ) 在[a , b ]上可积。