高考 不等式专题的三大考点

不等式专题的几个常考点

考点一 用均值不等式求最值的类型及方法

一、几个重要的均值不等式

a 2+b 2

(a 、b ∈R ) ，①a +b ≥2ab ⇔ab ≤当且仅当a = b时，“=”号成立； 2

2

2

⎛a +b ⎫+

②a +b ≥2ab ⇔ab ≤ 当且仅当a = b时，“=”号成立； ⎪(a 、b ∈R ) ，

⎝2⎭

2

a 3+b 3+c 3

③a +b +c ≥3abc ⇔abc ≤当且仅当a = b = c时, “=”号成立； (a 、b 、c ∈R +) ，

3

3

3

3

⎛a +b +c ⎫+

④a +b +c ≥33abc ⇔abc ≤ ⎪(a 、b 、c ∈R ) , 当且仅当a = b = c时, “=”号成立.

3⎝⎭

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：

3

2

1

+a b

a +b

≤≤≤12

a 2+b 2

。 2

二、函数f (x ) =ax +

b

(a 、b >0) 图象及性质 x

(1)函数f (x ) =ax +

b

(a 、b >0)图象如图： x

b

(a 、b >0)性质： (2)函数f (x ) =ax +x

①值域：(-∞, -2ab ] [2ab , +∞) ；

②单调递增区间：(-∞,

，+∞

) ；单调递减区间：(0,0) . ，[

三、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数y =x +

1

(x >1) 的最小值。

2

2(x -1)

利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：

2

①y =x (3-2x )(0

3

)

2

利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y ∈R ，求f (x ) =x +

求解此类问题，要注意灵活选取方法，一般利用函数f (x ) =ax +类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x 、y

满足

+

4

(0

b

(a 、b >0) 图象即可。 x

81

+=1，求x +2y 的最小值。 x y

此类问题是学生求解易错得一类题目，想方设法凑成两个倒数的和的形式。 类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，试求xy 、x +

y 的范围。

一定要注意xy ，x+y，x —y ，x 方+y方 之间的关系。

综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

考点二 一元二次不等是恒成立问题

基本的题型有：

1. 一元二次不等式在R 上恒成立

2. 一元二次不等式在（a ，b ）恒成立 3. 一元二次不等式在（a ，＆）恒成立

一、主元变更转化法：

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0), 若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

⎧a >0⎧a 0ⅰ）⎨或ⅱ）⎨亦可合并定成⎨

f (m ) >0f (n ) >0f (n ) >0⎩⎩⎩

⎧f (m )

同理，若在[m,n]内恒有f(x)

⎩f (n )

2

例1、对于满足|p|≤2的所有实数p, 求使不等式x +px+1>2p+x恒成立的x 的取值范围。

二、利用判别式求解

把不等式转化为一元二次不等式，利用ax +bx +c >0在R 上恒成立

2

⎧a >0

的充要条件是⎨，可以求“在实数集R 上恒成立”这一类问题。

∆

2x 2+2mx +m

4x 2+6x +3

三、分离变量，巧妙求解

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例3、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x

例4、对于-1≤a ≤1，求使不等式() 。

四、数形结合求解

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例5、当x ∈(0, +∞) 时，不等式x +2ax +a -

2

2

12

x 2+ax

1

13

a ->0恒成立，求实数a 的取值范围。 22

考点三 简单的线性规划

1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域

（1）直线l :Ax +By +C =0把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。

（2）对于直线l :Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。对于二元一次不等式

（包括直线y ＝kx ＋b ）。对于二元一次不等式y ≤kx +b y ≥kx +b 表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方

表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。

注意：二元一次不等式Ax +By +C >0(或

我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤是：

（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。

（2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则

z

取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；b

若b ＜0，则反之。

（3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。 （4）注意实际问题中的特殊要求

题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1：

⎧y -x -2>0⎪

1. 不等式组⎨1表示的平面区域是

x -y +2≤0⎪⎩2

（ ）

A B C D

⎧x ≥0

⎪

例2：. 如图，若不等式组⎨x +3y ≥4所表示的平面区域

⎪3x +y ≤4⎩

被直线y =kx +

4

分为面积相等的两部分，则k ＝___________。 3

题型二：求目标函数的最值及线性规划知识的实际应用

⎧x -4y ≤-3⎪

例3： 设变量x ，y 满足不等式组：⎨3x +5y ≤25

⎪x ≥1⎩

则z =2x +y 的最大值是____________，最小值是_____________。 ⎧x -y +2≥0⎪

例4 已知不等式组⎨x +y -4≥0，求下列目标函数的最值或取

⎪2x -y -5≤0⎩

值范围。

（1）求z ＝x ＋2y －4的最大值。

（2）求z =x 2+y 2-10y +25的最小值。 （3）求z =

2y +1

的取值范围。 x +1

例5：实际应用题

制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30％和10%。该投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？