第4课时 导数的四则运算

授课时间： 月 日

第4课时： （总编第154课时）

教学内容： 导数的四则运算

教学目标：1、知识与技能

⑴掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；

⑵熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过

曲线上一点的切线。；

2、过程与方法

通过用定义法求函数的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差、积、商求导方

法，结合定义给出证明；

3、情感、态度和价值观

培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归

纳——抽象的数学思维方法；

教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用

教学难点：导数四则运算法则的证明

教学方法：读、议、讲、练教学法

教 具：

教后反思：

教学过程：

一、 温故知新，引入课题

【知识回顾】

⑴导数的定义？求函数导数的一般步骤？

⑵导数的几何意义？

⑶基本初等函数的导数？

【问题引领，自主探究】

【问题1】求下列函数的导数：

⑴y =x 2+2x ； ⑵y =(x 2+1)(x -1) ； （学生利用导数定义计算）

【问题2】导数的四则运算法则？

（学生自学课本p 14-16，教师巡视）

二、进行新课

1、导数的四则运算法则

若两个函数f (x ) 和g (x ) 的导数分别是f '(x ) 和g '(x ) ，则有：

⑴[f (x ) +g (x )]'=f '(x ) +g '(x )

【证明】令y =f (x ) =u (x ) ±v (x ) ，

∴[f (x ) -g (x )]'=f '(x ) -g '(x ) ∆y =[u (x +∆x ) ±v (x +∆x )]-[u (x ) ±v (x )] =[u (x +∆x ) -u (x )]±[v (x +∆x ) -v (x )]=∆u ±∆v ， ∆y ∆u ∆v ∆y ∆u ∆v ⎫∆u ∆v =±，lim =lim ⎛ ±⎪=lim ±lim ∆x ∆x ∆x ∆x →0∆x ∆x →0⎝∆x ∆x ⎭∆x →0∆x ∆x →0∆x

即[u (x ) ±v (x )]' =u ' (x ) ±v ' (x ) ．

'⎡f (x ) ⎤f '(x ) g (x ) -f (x ) g '(x ) ⑵[f (x ) g (x )]'=f '(x ) g (x ) +f (x ) g (x ) ' ⎢ ⎥=g (x ) g (x ) ⎣⎦

【特别地】当g (x ) =k 时，有[kf (x )]'=kf '(x ) ；

2、例题分析

例1、求下列函数的导数：

⑴y =x 2+2x ； ⑵y =(x 2+1)(x -1) ；

⑶y x ； ⑷y =x ln x ；

【分析】⑴y '=(x 2+2x ) '=(x 2) '+(2x ) '=2x +2x ln 2

(x 2+1)(x -1) ⎤=(x 3-x 2+x -1) '=(x 3) '-(x 2) '+(x ) '-(1)'=3x 2-2x +1

⑵y '=⎡⎣⎦'

x ； 1⋅x -x ⋅=ln x +1 ⑷y '=(x ln x ) '=(x ) 'ln x -x (lnx ) '=1ln x ⑶y '=x ) '='sin x x ) '例2、求下列函数的导数： sin x x 2； ⑵y =； x ln x

sin x ⎫'(sinx ) '⋅x -sin x ⋅(x ) 'cos x ⋅x -sin x ⋅1x cos x -sin x ==【分析】⑴y '=⎛； ⎪=⎝x ⎭x x x 21'⎛x 2⎫(x 2) ⋅ln x -x 2⋅(lnx ) '2x ⋅ln x -x ⋅x (2lnx -1) ===⑵y '= ln x ⎪⎪(lnx ) ln x ln x ⎝⎭⑴y =

例3、（p 14例1）

例4、（p 15例3）

例5、求曲线y =x 3-在点(1,0)处的切线方程。 ''1⎛31⎫23'⎛1⎫【分析】y '= x -⎪=x - ⎪=3x + ∴y '|x =1=3⨯1+1=4 x ⎭⎝⎝x ⎭x

1 ∴曲线y =x 3-在点(1,0)处的切线斜率为4，从而其切线方程为 y -0=4(x -1) ，即y =4x -4。x 1x ()

三、归纳小结，强化思想

通过本节课的学习，了解两个函数的和、差、积、商的求导公式，会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

【梳理整合】

⎧若f (x )、g (x )都是可导函数，则⎪⎪⎡f x ±g x ⎤'=f 'x ±g 'x ； ()()⎪⎣()()⎦导数的⎪''=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )； ⎨⎡f (x )⋅g (x )⎤⎣⎦四则运算⎪⎪⎛f x ⎫'f 'x g x -f x g 'x ⎪ ()⎪=()()()()(g (x )≠0)；⎪ g x ⎪g x ⎡⎤⎝⎭()⎣⎦⎩

四、作业设计

【课后拓展延伸】

1、（09湖北）已知函数f (x ) =f '()cos x +sin x ，则f () 的值为 . 44ππ

【解析】因为f '(x ) =-f '() ⋅sin x +cos x 所以f '() =-f '() ⋅

sin +cos ⇒f '() 1 444444ππππππ

故f () =f '()cos +sin ⇒f () =1； 44444πππππ

2、下列结论不正确的是（ ）

A 、若y ＝3，则y ′＝0 B 、若f (x ) ＝3x ＋1，则f ′(1)＝3

1C 、若y ＝－＋x ，则y ′＝－1 D 、若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 2x

【答案】D ；

x 3、函数y ＝ ） 1－cos x

1－cos x －x sin x 1－cos x －x sin x A 、 B 、 1－cos x (1－cos x )1－cos x ＋sin x 1－cos x ＋x sin x C 、 D 、 【答案】B ； (1－cos x )(1－cos x )4、若函数f (x ) ＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1) 等于（ ）

A 、－1 B 、－2 C 、2 D 、0 【答案】B ；

x ＋15、设曲线y ＝(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于（ ） x －1

11A 、2 B C D 、－2 【答案】D ； 22

6、已知a 为实数，f (x ) ＝(x 2－4)(x －a ) ，且f ′(－1) ＝0，则a ＝________. 【答案】；

7、若某物体做s ＝(1－t ) 2的直线运动，则其在t ＝1.2 s时的瞬时速度为________． 【答案】0.4 m/s；

8、设函数f (x ) ＝g (x ) ＋x 2，曲线y ＝g (x ) 在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处切线的斜率为（ ）

11A 、4 B 、－ C 、2 D 、－ 【答案】A ； 421