判别一元二次方程根的情况

22.2解一元二次方程

判别一元二次方程根的情况

黄严军 09．09

教学内容

用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况及其运用． 教学目标

掌握b 2-4ac>0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac

通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac

重难点关键

1．重点：b 2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac

2．难点与关键

从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系．

教具、学具准备（多媒体教学平台）

教学过程

一、复习引入

（学生活动）用公式法解下列方程．

（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2

（3）4x 2+x+1=0

老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=

二、探索新知

从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（

求根公式：

b 2-4ac>0

于一个具体数，所以一元一次方程的x 1

x 1

个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•

，所以x 1=x2=-b ，2a

即有两个相等的实根；当b 2-4ac

因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相

-b -b 等实数根即x 1

=，x 2

=． 2a 2a

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x2=-b ． 2a

（3）当b 2-4ac

例1．不解方程，判定方程根的情况

（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0

（3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac 的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．

解：（1）化为16x 2+8x+3=0

这里a=16，b=8，c=3，b 2-4ac=64-4×16×3=-128

所以，方程没有实数根．

（2）a=9，b=6，c=1，

b 2-4ac=36-36=0，

∴方程有两个相等的实数根．

（3）a=2，b=-9，c=8

b 2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0

∴方程有两个不相等的实根．

（4）a=1，b=-7，c=-18

b 2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0

∴方程有两个不相等的实根．

三、巩固练习

不解方程判定下列方程根的情况:

3=0 4

1 （3）3x 2+6x-5=0 （4）4x 2-x+=0 16

1 （5）x 2

=0 （6）4x 2-6x=0 4 （1）x 2+10x+26=0 （2）x 2-x-

（7）x （2x-4）=5-8x

四、应用拓展

例2．若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a 的式子表示）．

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a 的值是正、

负或0．因为一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a ）2-4（a-2）（a+1）

解：∵关于x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数根．

∴（-2a ）2-4（a-2）（a+1）=4a 2-4a 2+4a+8

a

∵ax+3>0即ax>-3

∴x

3 a ∴所求不等式的解集为x

五、归纳小结

本节课应掌握：

b 2-4ac>0一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实根；b 2-4ac=0 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实根；b 2-4ac

六、布置作业

1．教材P 46 复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．

2．选用课时作业设计．

第五课时作业设计

一、选择题

1．以下是方程3x 2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（ ）．

A．∵b 2-4ac=-8，∴方程有解

B．∵b 2-4ac=-8，∴方程无解

C．∵b 2-4ac=8，∴方程有解

D．∵b 2-4ac=8，∴方程无解

2．一元二次方程x 2-ax+1=0的两实数根相等，则a 的值为（ ）．

A．a=0 B．a=2或a=-2

C．a=2 D．a=2或a=0

3．已知k ≠1，一元二次方程（k-1）x 2+kx+1=0有根，则k 的取值范围是（ ）．

A．k ≠2 B．k>2 C．k

二、填空题

1．已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实数，则p 与q 的关系是________．

2．不解方程，判定2x 2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．

3．已知b ≠0，不解方程，试判定关于x 的一元二次方程x 2-（2a+b）x+（a+ab-2b 2）•=0的根的情况是________．

三、综合提高题

1．不解方程，试判定下列方程根的情况．

（1）2+5x=3x2 （2）x 2-（

2．当c

3．不解方程，判别关于x 的方程x 2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．

4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．