2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

2015年全国高中数学联赛江苏赛区

初赛参考答案与评分细则

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1) 在函数f (x ) ＝log a (x －b ) (b ＞0) 的图象上，则ab 的最大值是 (a ＋b ) 2解：由题意知，log a (4－b ) ＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ＝4，

4当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．

π43π

2．函数f (x ) ＝3sin(2x ) 在x ＝处的值是

424

π43ππ40π10π4π43π4π3

解：2x －＝＝＝2π＋f () 3sin ．

[1**********]23．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 解：设函数f (x ) ＝|ax ＋1|，则f (－2) ＝ f (1)＝3，故a ＝2．

4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是

3×10307×642

解：有两类情况：同为白球的概率是＝＝25×2562525×25625

72

概率是

625

x 2y 2x 2y 2

5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆＋＝1(a ＞b ＞0) 与椭圆1有相同

a b b c 的离心率e ，则e 的值是 ．

2222

－1＋5c 2c －b c 2b －c

解：若c ＞b ，则a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有，解得e

a c a b 2

6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体V 积为V 2，则的值是 ．

V 2

（第6题图） A 1

解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．

2

如图，DE ＝1，

3

21V 2

从而V 1＝V ．又V 2，所以＝

33V 29

A （第6题图）

1

7．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 ．

解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cosα，sin α) ，b ＝(－sin α，cos α) ．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则∑x i y i 的可能取值中最小的为 ．

i =1

7

解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以∑x i y i 的最小值为2．

i =1

7

9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ． 解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知

2 1

a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．

2015

因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014． 2011

由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－

2201118099

这9个数的和为3×(－－2011) ，

22

1809922135

所以幻方中其余6个数之和为－2018＝－

22

（第9题图） e d a

c x 2015

1 2 b

（第9题图）

10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y ) 形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为 ． 解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2若n }的前n 项和．

S 2n ＝2T n ，求q 的值．

解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．

若q ＝－1，则a n ＝2×(－1) n ，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．

……………………………… 5分

242n

×(1－q 2n ) ×(1－q ) q q －2n －4

若q ≠±1，则a n ＝2q n 2，a 2＝4q ，从而S ＝T ＝ 2n n n 1－q 1－q ……………………………… 15分

由S 2n ＝2T n ，则

－1±174

1，q 2＋q －4＝0，解得q ．

2q (1＋q )

－1＋17－1－17

综上，q 和． ……………………………… 20分

2212．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角

平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．

C

求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．

证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．

因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD ＝∠PED ，∠P AF ＝∠PDE ． 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线， 所以∠P AD ＝∠P AF ， 从而∠PED ＝∠PDE ，

A F

(第12题图)

B

C A

(第12题图)

B

故PD ＝PE ． ……………………………… 10分 又∠ADP ＝∠AEP ， 所以∠BDP ＝∠CEP ．

又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ，

所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分

13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若

两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2) ，求直线l 的方程． 解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴与直线l

若直线l 的斜率k ＝tanα， α2t

设t ＝tan k ＝．

21－t 圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上， 可设O 1(m ，mt ) ，O 2(n ，nt ) ．

交点P (2，2) 在第一象限，m ，n ，t ＞0． ……………………………… 4分 所以⊙O 1：(x －m ) 2+(y －mt ) 2=(mt ) 2，

⊙O 1：(x －n ) 2+(y －nt ) 2=(nt ) 2，

⎧(2－m ) 2＋(2－mt ) 2＝(mt ) 2，⎧m 2－(4＋4t ) m ＋8＝0，

所以⎨即⎨2……………… 8分 222

⎩(2－n ) ＋(2－nt ) ＝(nt ) ，⎩n －(4＋4t ) n ＋8＝0，

所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．

11

由半径的积(mt )(nt ) ＝2，得t 2＝，故t ＝．……………………………… 16分

422t 144

所以 k ＝l ：y x ． ……………………………… 20分 ＝1331－t

1－414．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色． （1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；

（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色) 的等腰三角形个数最少？并说明理由． 解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都

不是正三角形．

以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11) 为顶角顶点11－1

的等腰三角形有5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j ≠i 时，以A j 为顶角

2顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．

故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分

当k ＝2时，设其中A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色．

以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)

×2－3＝27个．

注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． ………………………… 10分

（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11－k 个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角k (k －1) (11－k )(10－k )

线) 中，两端点染红色的有条，两端点染一红

22一蓝的有k (11－k ) 条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．

把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个，则按顶点颜色计算连线段，

k (k －1)

3x 1＋x 3＝3× ①

2(11－k )(10－k )

3x 2＋x 4＝3× ②

22x 3＋2x 4＝3×k (11－k ) ， ③

3

由①＋②得 3(x 1＋x 2) ＋x 3＋x 4k (k －1) ＋(11－k )(10－k )]，

2

11

用③代入得 x 1＋x 2＝[ k(k －1) ＋(11－k )(10－k ) －k (11－k )](3k 2－33k ＋110) ．

221

当k ＝5或6时，(x 1＋x 2) min ＝(5×4＋6×5－5×6) ＝10．

2

即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k ＝5或6．………… 20分