工程数学数值分析部分-复习资料

第二篇 数值分析

2012-5-6 记录

重点提示：

第五章：有效数字，绝对误差，相对误差。这里有一道题，但不知道是什么方式出。有效数字题型，看了很长时间才看懂，后面贴上从网上找来的有关有效数字的计算题型，希望有用。

第六章 线性代数方程组

⎧Ly =b ⎫⎨⎬Ux =y ⎭ 1. 直接三角分解法 Ax=b⇔L Ux =b ⇔ ⎩

L =

⎛1 ⎫ ⎪ ⎪ l 21 1⎪ ⎪ l 31 l 32 1⎪⎝⎭⎛u 11 12 13 ⎪ ⎪ 22 23⎪Ux = ⎪ 33⎪

2. 迭代法 收敛性分析，重点关注P139 定理6.6的证明题

第七章 插值方法

1. 拉格朗日插值

2. 牛顿插值多项式

3. 插值余项

4. 曲线拟合的最小二乘法

第八章 数值积分和数值微分公式

1. 代数精度

2. 梯形公式

3辛普森公式

第九章 方程求根

1. 牛顿迭代法

重点关注P184 定理9.1 第三项误差估计式的证明题

第十章 常微分方程的数值解法

1. 欧拉方法

时间比较匆忙，还要准备下周的面试，简单总结一下，没来上课的同学们可以参照。：） 有时间我再继续把这些重点细化，主要是多看笔记，课堂上讲的例题。

附录 u u ⎫⎝u u u ⎭

第9章 数值分析中的误差 典型问题解析

考试知识点：误差、有效数字。（6%）

学习要点：误差、有效数字。

典型问题解析：

一、误差

绝对误差e ：e =x －x

（设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差) ）。

绝对误差限ε：e =x -x *≤ε

（绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界。）

相对误差e r ：e r =e x **=x -x x **

e

x （绝对误差e 与精确值x *的比值，常用e r =

计算） 相对误差限εr ：e r ≤εr （相对误差e r 绝对值的一个上界），

e r =|x -x ||x |**≤ε|x |*=εr ，εr =εx *，常用εx 计算.

绝对误差限的估计式：（四则运算中）

ε(x 1±x 2) =ε(x 1) +ε(x 2) ε(x 1x 2) ≈x 1ε(x 2) +x 2ε(x 1)

ε(x 1

x 2) =x 1ε(x 2) +x 2(x 1) x 22

二、有效数字

有效数字：如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.

(1)设精确值x *的近似值x ，若

m x =±0. a 1a 2 a n ⨯10

a 1, a 2, …, a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，

x -x *≤ε=0. 5⨯10m -l , 1≤l ≤n

则x 有l 位有效数字.

例1 设x *= π=3.1415926…,若x *的近似值x 为3.14，3.1415，3.143，求x 的有效数字位数.

解：若x =3.14＝0.314×10，（m =1）

x -x *1=0. 0015926 ≤0. 5⨯101-3（l =3）

故x =3.14有3位有效数字。

若x =3.1415＝0.31415×101，（m =1）

x -x *=0. 0000926 ≤0. 5⨯101-4（l =4）

故x =3.1415有4位有效数字。

若x =3.143=0.3143×101，（m =1）

x -x *=0. 0014074 ≤0. 5⨯101-3（l =3）

故x =3.143有3位有效数字。

m (2)设近似值x =±0. a 1a 2 a n ⨯10有n 位有效数字，则其相对误差限 εr ≤12a 1⨯10-n +1 （定理1）

m (3) 设近似值x =±0. a 1a 2 a n ⨯10的相对误差限不大于

1

2(a 1+1) ⨯10-n +1

则它至少有n 位有效数字。 （定理2）

(4) 要求精确到10－k (k 为正整数) ，则该数的近似值应保留k 位小数。 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：

2.000 4 －0.002 00 9 000.00

解：① x 1=2.000 4＝0.200 04×101, (m=1)

1―5绝对误差限ε(x 1)=0.000 05=0.5×10

故x =2.000 4有5位有效数字。

又a 1=2，相对误差限εr =1

2⨯a 1⨯10，(l =5) 1-5=0. 000025。

或εr =

ε(x 1) x 1=0. 000025。 ② x 2=－0.002 00=―0.200×10―2，(m=-2)

-5绝对误差限ε(x 2)=0.000 005=0.5×10，（l =3）

故x 2=－0.002 00有3位有效数字.

又a 1=2，相对误差限εr =1

2⨯2⨯101-3=0.0025

③ x 3=9 000.00=0.900000×104，(m=4)

绝对误差限ε(x 3)=0.5×10， （l =6）

故x 3=9 000有6位有效数字，

又a =9，相对误差限εr ＝

12⨯9101-6-2＝0.000 000 56 由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可－3

以.ln2≈0.693

例4 P15-5 解：ε(L ) =L -L *

ε(S ) =ε(L ) =2L (L )

ε(L ) =ε(S )

2L =1

200=0. 005 2