大一上学期高数期中考试
大一上学期高数期中考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f (x ) =cos x (
x +sin x ), 则在x =0
处有( ) .
（A ）f '(0)=2 （B ）f '(0)=1（C ）f '(0)=0 （D ）f (x ) 不可导.
1-x 设α(x ) =，β(x ) =3-33x ，则当x →1时（ ）1+x 2. .
（A ）α(x ) 与β(x ) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）α(x ) 与β(x ) 是等价无穷小；
（C ）α(x ) 是比β(x ) 高阶的无穷小； （D ）β(x ) 是比α(x ) 高阶的无穷小.
3
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二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5 x →0
6 l i m (1+3x ) 2sin x = .
已知
7. cos x cos x 是f (x ) 的一个原函数, 则⎰f (x ) ⋅d x =x x
n →∞lim πn (cos2π
n +cos 22πn -1+ +cos 2π) =n n .
8 设f '(e x ) =1+x ， 则f (x ) =三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
x +y y =y (x ) e +sin(xy ) =1确定，求y '(x ) 以及y '(0). 9 设函数由方程
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1-x 7
求⎰d x . 7x (1+x )
a x +b x +c x
x 11 求 lim () (a >0, b >0, c >0) x →031
(s i x +1-s i x ） 12 x lim →+∞
13 判别间断的类型，对可去间断点，将间断点去掉。 设 f (x ) =1
1+e 1
1-x
四、 解答题（本大题7分）
14将一个边长为a 的正方形铁皮，从每个角截去同样的小方块，然后把四边折起来，能做成一个无盖的方盒，为了使这个方盒的体积最大，问应截去多少。
五、解答题（本大题7分）
15、已知f (x ) 是周期为5的连续函数，它在x =0的某个邻域内满足关系式
f (1+sin x ) -3f (1-sin x ) =8x +o (x )
且f (x ) 在x =1处可导，求曲线y =f (x ) 在点(6, f (6)) 处的切线方程。
六、证明题（本大题有2小题，每小题7分，共14分）
16、（本小题7分） 设f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 内可导，且，
1f (0) =f (1) =0，f () =1，证明：存在ξ∈(0, 1) ，使f '(ξ) =1 2
17、（本小题7分）设f (x ) 在区间[-1, 1]上具有三阶连续导数，且f (-1) =0, f (1) =1，f '(0) =0，证明：在（-1,1）内至少存在一点ξ，使f '''(ξ) =3