第六讲 周期性与指数函数
第六讲：函数的周期性与二次函数
一．知识点梳理 1. 周期性:
①周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T, 使得对定义 域内的任意x, 都有
f (x +T ) =f (x ) , 那么就称函数y=f(x)为周期函数, 称T 为这个函数的周期.
②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数, 那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2. 周期性函数的性质:
函数周期性常用结论: 对f(x)定义域内任一自变量的值x: ① 若f (x +a ) =-f (x ) ，则T=2a(a>0);②若f (x +a ) =
k
,则T=2a(a>0). f (x )
③若f (x +a ) =f (x +b ) ，则T =b -a ，其中a>0,b>0且a ≠b 3. 二次函数的三种表示
(1) 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) ; (2) 两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) ; (3) 顶点式: y=a(x-x0) 2+n(a≠0) .
4. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的图象形状主要由对称轴、顶点坐标、开口方向、与坐标轴的交点、区间端点值等是处理二次函数问题的重要依据. 5. 一元二次方程的根的分布问题
二次函数对应的一元二次方程的实根的分布问题是一个比较复杂的问题, 给定一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0).
(1) 若f(x)=0在(m,n)(m
⎧Δ≥0, ⎪b ⎪m 0,
(3) 设x 1,x 2为方程f(x)=0的两个实根: ⎪
f(n)>0. ⎪⎩f(m)>0, ⎧①若x 1
⎪f(n)
②若m
⎪f(p)
⎪⎩f(q)>0.
⎧f(m)
⎩f(n)
⎧Δ=b -4ac ≥0,
⎪b (5) 若二次方程f(x)=0的两根都大于r, 则需满足 ⎪⎨->r, ⎪2a 或f(n)=0,另一根在(m,n)内.
二．考点突破
1. 函数周期性及其应用
例1：(1)函数f(x)的定义域为R, 且满足f(x) 是偶函数,f(1-x)=f(1+x),若f(0.5)=9,则f(8.5)=
(2)(2014·四川高考) 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数, 当x ∈[-1,1)时,
⎧-4x 2+2, -1
3f (x ) =⎨
f () =则⎩x ,0≤x
总结：函数周期性的判定与应用
(1)判定:只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0) 便可证明函数是周期函数, 且周期为T.
(2)应用:根据函数的周期性, 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质, 在解决具体问题时, 要注意结论:若T 是函数的周期, 则kT(k∈Z 且k ≠0) 也是函数的周期.
变式练习：
1. 函数f(x)的定义域为R, 若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数, 则 ( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数
2. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数, 且满足 f(x+2)=f(x),若当x ∈[0,1)时
,
f (x ) =2x 则
f (log1 的值为2
3. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数, 并 且f (x +2) =-
1
,当2≤x ≤3时,f(x)=x,则f (x )
f(105.5)= .
4. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x
5. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数, 且对任意 的x ∈R, 都有f(x+2)=f(x).当0≤x ≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数 y=f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点, 则实数a 的值是
2. 求二次函数的解析式
例2：已知二次函数f(x)的二次项系数为a, 且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根, 求二次函数f(x)的解析式.
总结：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系. 一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根, 也就是二次函数与x 轴的交点. 因而在解题时
要充分利用它们之间的关系. 变式练习：
1. 已知某二次函数图象的顶点是(1,-3),且过点P(2,0),那么此函数的解析式是 .
3a
2. 已知二次函数f(x)=x2-2bx+a,满足f(x)=f(2-x),且方程f(x)-4=0有两个相等的实数根,
求函数f(x)的解析式.
3. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 满足f(0)=-1,对任意的x ∈R 都有f(x)≥x-1, 且
⎛1⎫⎛1⎫-+x ⎪ --x ⎪
⎭=f⎝2⎭, 求函数f(x)的解析式. f ⎝2
3. 二次函数的图象和性质
例3：已知a ∈R , 函数f(x)=x2-2ax+5. (1)求函数f (x ) 在[0,2]上的值域；
(2)若不等式f(x)>0对任意的x ∈(0,+∞) 恒成立, 求实数a 的取值范围; （3）若a>1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a 的值.
变式练习：
1. 已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在[0,3]上有最大值4和最小值1, 求a,b 的值. 2. 已知函数f (x ) =x 2-2x -3在[t , t +1]的最小值为g (t ) ，求g (t ) 的表达式
4. 一元二次方程实根的分布问题
例4：已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2与x 轴非负半轴至少有一个交点, 求实数a 的取值范围.
变式练习：若关于x 的方程x 2+2kx-1=0的两根x 1,x 2满足-1≤x 1
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1. 已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的值域为[1,+∞), 那么实数a 的值为 . 2. 若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的负实数根, 则实数m 的取值范围是 .
⎧-2,x >0,
3. 设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x 的不等式f(x)≤1的解集⎨2
⎩x +bx +c,x ≤0,
为 .
4. 已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x ∈(-∞,-1) 时, 它是单调减函数; 当x ∈(-1,+∞) 时, 它是单调增函数, 那么实数m= .
5. 函数f(x)=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值为 , 最大值为 . 6. 已知不等式ax 2-bx-1≥0的解集是[2,3],那么不等式x 2-bx-a
b =0的两个实根分别在(-3, -2)和(0,1)内，求8. 已知f (x ) =x 2+2bx +c 满足f (1)=0，且f (x ) +x +
实数b 的取值范围。
9. 已知函数f (x ) =4x 2-4ax +a 2-2a +2在区间[0,2]有最小值3，求a 的取值范围.
课后作业（函数的周期性与二次函数）
一、填空题
1. 若函数y=x2+mx+1的最小值为0, 则实数m= .
2. 函数f(x)=2x2-4x+1在区间[-1,4]上的最小值是 , 最大值是 .
3. 已知某二次函数的图象经过点A(1,2),B(0,-7),且对称轴方程为x=2,那么该函数的解析式为 .
4. 若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称, 则实数b= . 5. 若函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b= .
6. 若f(x)是R 上周期为5的奇函数, 且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于 7. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R ,c ∈R ), 若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,
⎧f (x ), x >0, F(x)= 则F(3)+F(-4)的值为 . ⎨
-f (x ), x
8. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)·f(x)=1对于x ∈R 恒成立, 且 f(x)>0,则f(119)= .
9. 若函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4) 上是增函数, 则实数a 的取值范围是 . 10. 已知定义域为R 的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈(0,1]时,f(x)=x2-x, 那么当x ∈[-2,-1]时,f(x)的最小值为 . 二、解答题
11. 已知函数f(x)=x2+2x,x∈[-2,a],求f(x)的值域.
12. 已知函数f(x)=2x2-2ax+3在[-1,1]上有最小值, 记作g(a).
(1) 求g(a)的表达式 (2) 求g(a)的最大值.
13. (2014·廉江模拟) 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数, 且a ≠0) 满足条件f(x+1)=f(1-x),且方程f(x)=2x有等根. (1) 求f(x)的解析式.
(2) 是否存在实数m,n(m
参考答案
1
1. ±2 2. -1 17 3. f(x)=-3x2+12x-7 4. 6 5. 2 6. 7 7. [5,+∞) 8. -16
9. 当-20时, f(x)的值域为[-1,a2+2a].
⎧2a +5,a ≤-2, ⎪2⎪a
10. （1） g(a)= ⎨3-,-2
⎪2
⎪⎩5-2a,a ≥2.
(2) 当a ≤-2时,g(a)≤1; 当-2
11. (1) f(x)=-x2+2x.
1
(2) 因为f(x)=-(x-1)2+1≤1, 所以4n ≤1, 即n ≤4.
而抛物线y=-x2+2x的对称轴方程为x=1,
1
所以当n ≤4时,f(x)在[m,n]上为增函数.
⎧f(m)=4m, ⎨
若满足题设条件的m,n 存在, 则⎩f(n)=4n,
⎧-m 2+2m =4m, ⎨2
即⎩-n +2n =4n, 即m,n 是方程x 2+2x=0的两根,
1
又m
综上, 满足条件的m,n 存在, 且m=-2,n=0.