椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法
河南 陈长松
对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：
一、定义法
例1 已知两圆C 1：(x -4) +y =169，C 2：(x +4) +y =9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．
解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴MC 1=13-r ，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴MC 2=3+r ，
∴MC 1+MC 2=16，
∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，
且2a =16, 2c =8，
b =a -c =64-16=48， 2222222x 2y 2
故所求轨迹方程为：+=1． 6448
评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．
二、待定系数法
例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(, 1), P 2(-3, -2) ，求该椭圆的方程．
分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： mx 2+ny 2＝１（m >0, n >0) ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为mx +ny ＝１（m >0, n >0) ． ∵椭圆经过两点P 1(6, 1), P 2(-3, -2) ， 22
1⎧m =, ⎪⎧6m +n =1, x 2y 2⎪9∴⎨ 解得⎨ ，故所求的椭圆标准方程为+=1． 93⎩3m +2n =1. ⎪n =1. ⎪3⎩
评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出a , b 的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．
三、直接法
x 2y 2
例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆+=1于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 42
AB 外一点，且满足PA ∙PB =1，求点Ｐ的轨迹方程．
分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式PA ∙PB =1即可求解．
解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（x A ，y A ），Ｂ（x B ，y B ） ，
由题意：x ＝x A ＝x B ，y A ＋y B ＝０
∴PA =y -y A , PB =y -y B ，∵Ｐ在椭圆外，∴y －y A 与y －y B 同号， 2∴PA ∙PB =（y －y A ）（y －y B ）＝y -(y A +y B ) y +y A y B =1
∵y A y B =-y A 2x A x 2=-2(1-) =-2(1-) 442
x 2x 2y 2
) =1，即+=1(-2
评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．
四、相关点法
例４ ∆ABC 的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．
分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．
解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，
设Ｇ（x ，y ），由GC +GB =2⨯30，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点， 3
x 2y 2
长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为+=1(y ≠0) ． 10036
x y （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（x 0, y 0) ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是0+0=1(y 0≠0) 1003622
x ⎧x =⎪x 2y 2⎪03 ∵ Ｇ为∆ABC 的重心 ∴⎨代入得：+=1(y ≠0) y 900324⎪y =0⎪3⎩
其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．
评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．