上海市高二上学期期中考试(数学)
2010学年第一学期高二数学学科期中试卷
一、填空题(每题4分,共48分) 1.若A =
→
⎛1⎝23⎫⎛-1, B =⎪ 4⎭⎝3
→
2⎫
⎪,则3A -B = . -3⎭
→
2.设a =(2, -3), b =(-1,1),c 是与a -b 同向的单位向量,则c 的坐标是 . 3.已知等比数列{a n }中,a 1=3, a 4=81, 则该数列的通项a n =. 4.计算:lim
→
→→→
3n +4n -2(2n +1)
2
2
n →∞
.
→
→
→
5.设a =(2k +2, 4) ,b =(k +1, 8) ,若a //b ,则k 的值为 . 6.等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 8+a 12+a 15=20,则S 15= .
→
→
→
→
→→
7.已知向量a =5, b =3, a -b =7,那么a ⋅b =
→
→
→
8.已知M (2, 5), N (3, -2), 点P 在直线MN 上,且满足MP =3PN .则点P 的坐标为 .
→
→
→
→
→→
9.平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于O ,若AC =a , BD =b , 那么用a , b 表
→
示的AB 为 . 10.设S n =
12+16+112+ +
1n (n +1)
,且S n ⋅S n +1=
34
,则n =.
11.若数列{a n }是等差数列,则数列b n =
a 1+a 2+ +a n
n
(n ∈N )也为等
*
差数列;类比上述性质,相应地,若数列{c n }是等比数列,且c n >0,则有
d n = 也是等比数列.
12.在数列{a n }中,如果存在非零常数T ,使得a m +T =a m 对于任意非零正整数m 均成立,那么就称数列{a n }为周期数列,其中T 叫做数列{a n }的周期.已知周期数列{x n }满足x n +1=x n -x n -1(n ≥2, n ∈N *) 且x 1=1,x 2=a (a ∈R , a ≠0),当{x n }的周期最小时,
该数列前2005项和是 .
二、选择题(每题3分,共12分)
13.下列命题中,真命题是 ( )
(A )若a 与b 互为负向量,则a +b (C )若a , b 都是单位向量,则a ⋅b (D )若k 为实数且k a
14.1n +1
+
→
→
→→
→→→→
=0 (B )若a ⋅b =0,则a =0或b =0
→→→→→→
→→
=1
→
→
=0, 则k =0或a =0
1n +2
1n +n 12k +2
1324
+ +>
(n ≥2, n ∈N *) 的过程中,从“k 到
k +1”左端需增加的代数式为 ( )
(A )
12k +1
(B )
12k +2
(C )
12k +1
+
(D )
12k +1
-
12k +2
15.等差数列{a n }中,a 1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是 ( )
(A )a 11 (B )a 10 (C )a 9 (D )a 8
16.一条曲线是用以下方法画成:∆A B C 是边长为1的正三角形,曲线C A 1、
A 1A 2、A 2A 3分别以A 、B 、C 为圆心,AC 、BA 1、C A 2为半径画的弧, C A 1A 2A 3为曲线的第1圈,然后又以A 为圆心,AA 3为半径画弧 ,这样
画到第n 圈,则所得曲线C A 1A 2A 3 A 3n -2A 3n -1A 3n 的总长度S n 为 ( )
(A )n (3n +1) π
(B )
n (n +1π)
3
(C )2π(3 (D )n (n +1πn -1 ) )
→
→
→
→
→
三、解答题(每题8分,共40分)
b =(0, -1),c =a +k b ,17.已知a =(2,1),
→
→
→
A →→
d =a -b ,若c ⊥d ,求实数k 的值.
18. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个
数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
19.已知正数数列{a n }的前n 项和S n 与通项a
n 满足=a n +1,求a n .
20.某市2003年共有一万辆燃油型公交车.现计划于2004年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:
(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车?
(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的
21.若有穷数列a 1, a 2,... , a n (n 是正整数),满足a 1=a n ,a 2=a n -1,.... ,
a n =a 1,即a i =a n -i +1(i 是正整数,且1≤i ≤n ),就称该数列为“对称数列”.
13?
(1)已知数列{b n }是项数为7的对称数列,且b 1, b 2, b 3, b 4成等差数列,b 1=2, b 4=11,试写出{b n }的每一项.
(2)已知{c n }是项数为2k -1(k ≥1)的对称数列,且c k , c k +1... c 2k -1构成首项为50,公差为-4的等差数列,数列{c n }的前2k -1项和为S 2k -1,则当k 为何值时,S 2k -1取到最大值?最大值为多少?
2m -1(3)对于给定的正整数m >1,试写出所有项数不超过2m 的对称数列,使得1, 2, 2...2
成为数列中的连续项;当m >1500时,试求其中一个数列的前2008项和S 2008.
2010度第一学期高二数学学科期中考试试卷
一、填空题(每题4分,共48分)
⎛1
1.若A = 2
⎝
→
3⎫⎛-1⎪, B = ⎪ 34⎭⎝
→
2⎫⎛4
⎪, 则3A -B = ⎪ 3-3⎭⎝
→
7⎫
⎪. 15⎪⎭
→
2.设a =(2, -3), b =(-1, 1), ,c 是与a -b 同向的单位向量,则c 的坐标是(, -
5
→→
345
) .
3.已知等比数列{a n }中,a 1=3, a 4=81, 则该数列的通项a n =3n (n ∈N *).
3n +4n -2(2n +1)
→
2
4.计算:lim
→
n →∞
2
=
34
.
→
5.设a ={2k +2, 4}, b ={k +1, 8}, 若a //b , 则k 的值为-1. 6.等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 8+a 12+a 15=20, 则S 15=
→
→
→
→
→
→→
7.已知向量a =5, b =3, a -b =7, 那么a ⋅b =-
→
152
.
→
→
8.已知M (2, 5), N (3, -2), 点P 在直线MN 上,且满足MP =3PN .则点P 的坐标为
1⎫⎛11
, -⎪.
4⎭⎝4
→
→
→
→
→→
9.平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于O ,若AC =a , BD =b , 那么用a , b 表
→
示的AB 为
12
→
a -
12
→
b .
10.设S n =
12
+
16
+
112
+L +
1n (n +1)
, 且S n ⋅S n +1=
34
, 则n =
11.若数列{a n }是等差数列,则数列b n =
a 1+a 2+ +a n
n
(n ∈N )也为等差数列;类比上
*
述性质,相应地若数列{c n }是等比数列,且c n >0,则有d n
=数列.
n ∈N *)也是等比
12.在数列{a n }中,如果存在非零常数T , 使得a m +T =a m 对于任意的非零自然数m 均成立,那么就称数列{a n }的周期数列,其中T 叫做数列{a n }的周期.已知周期数列{x n }满足
x n +1=x n -x n -1n ≥2, n ∈N
(
*
), 且x
1
=1, x 2=a (a ∈R , a ≠0),当数列{x n }的周期最小
时,该数列前2005项和是1337.
二、选择题(每题3分,共12分)
13.下列命题中,真命题是 ( D )
→
→
→→→→→→→→
A . 若a 与b 互为负向量,则a +b =0 B . 若a ⋅b =0,则a =0或b =0
→→
→→→→→→
C . 若a , b 都是单位向量,则a ⋅b =1 D . 若k 为实数且k a =0, 则k =0或a =0
14.用数学归纳法证明:
1n +11
+
1n +2
+
1n +3
+ +
1n +n 1
>
1324
(n ≥2, n ∈N )的过程中,
*
从"k 到k +1"左端需增加的代数式为 ( D )
A .
12k +1
B .
2k +2
C .
12k +1
+
2k +2
D.
12k +1
-
12k +2
15.等差数列{a n }中,a 1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是 ( A ) A .a 11 B .a 10 C .a 9 D .a 8 16.一条曲线是用以下方法画成:∆A B C 是边长为1的正三角形,曲线
C A 1、A 1A 2、A 2A 3分别以A 、B 、C 为圆心,AC 、BA 1、C A 2为半径画的
A 弧, C A 1A 2A 3为曲线的第1圈,然后又以A 为圆心,AA 3为半径画弧 ,
A 3的总长度S n 为 这样画到第n 圈,则所得曲线C A 1A 2A 3 A 3n -2A 3
n -1n
( A )
A .n (3n +1) π B .
n (n +1) π
3
→
C .2π(3n -1) D .n (n +1) π
三、解答题(每题8分,共40分)
17.已知a =(2, 1), b =(3, -2), c =a +k b , d =a -b , 若c ⊥d ,求实数k 的值.
解:由条件得c =a +k b =(2+3k , 1-2k ),d =a -b =(-1, 3), c ⊥d ∴c ⋅d =0, ∴(2-3k )⨯(-1)+(1-2k )⨯3=0,∴k =
13
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
→
→→
→→→→
.
18. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
⎧x +(12-y ) =2y ⎧x
=0
解:设四个数分别为x , y , 12-y , 16-x ,根据题意得⎨,解得⎨2
y (16-x ) =(12-y ) ⎩y =4⎩
或⎨
⎧x =15⎩y =9
,所以这四个数为0、4、8、16或为15、9、3、1.
20.某市2003年共有一万辆燃油型公交车.有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:
(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车?
(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的
1
3?
21.若有穷数列a 1, a 2... a n (n 是正整数),满足a 1=a n , a 2=a n -1.... a n =a 1即a i =a n -i +1(i 是正整数,且1≤i ≤n ),就称该数列为“对称数列”.
(1)已知数列{b n }是项数为7的对称数列,且b 1, b 2, b 3, b 4成等差数列,b 1=2, b 4=11,试写出{b n }的每一项
(2)已知{c n }是项数为2k -1(k ≥1)的对称数列,且c k , c k +1... c 2k -1构成首项为50,公差为-4的等差数列,数列{c n }的前2k -1项和为S 2k -1,则当k 为何值时,S 2k -1取到最大值?
最大值为多少?
(3)对于给定的正整数m >1,试写出所有项数不超过2m 的对称数列,使得1, 2, 22...2m -1成为数列中的连续项;当m >1500时,试求其中一个数列的前2008项和S 2008
解:(1)设{b n }的公差为d ,则b 4=b 1+3d =2+3d =11,解得 d =3,∴ 数列{b n }为
2,,,5811,,,852.
(2)S 2k -1=c 1+c 2+ +c k -1+c k +c k +1+ +c 2k -1=2(c k +c k +1+ +c 2k -1) -c k , S 2k -1=-4(k -13) 2+4⨯132-50,∴当k =13时,S 2k -1取得最大值.S 2k -1的最大值为626.